Ранг произведения матриц не превосходит ранг каждого из сомножителей.

rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

Доказательство. Пусть C=AB. Из операции перемножения вытекает, что каждый столбец матрицы C[*,j] есть линейная комбинация ∑А[*,k].

C[*,j]=∑A[*,k]B[k,j]→ rank(C)<=rank(A) – из основной теоремы о линейных пространствах

С^Т=А^ТB^Т→ rank(C)=rank(C^T) <=rank(B^Т)=rank(B)

α1, α2,…, αn { β1, β2,…,βn

rank(α)<=rank(β) Значит rank(AB)<=min(rank(A),rank(B))

Следствие. Пусть С=АВ, если |A|≠0, то rank(C)=rank(B)

Доказательство:

rank(C)<=rank(B) B=A^-1C rank(B)<=rank(C)

Значит, rank(B)=rank(C)

Аналогично, если |B|≠0, то rank(B)=rank(A)

При элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется. С помощью элементарных преобразований матрицу можно привести к квази-треугольной форме. Ранг квази-треугольной матрицы равен r, поскольку ее минор с главной диагональю а₁₁а₂₂,...,а_nn равен произведению не равным нулю а все миноры более высокого порядка равны нулю (как содержащие нулевые строки).

К элементарным преобразованиям относят следующие:

1) перестановки строк (столбцов);

2) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля;

3) прибавление к элементам строки (столбца) соответствующих элементов другой строки (столбца), предварительно умноженных на некоторое число.

Эти преобразования не меняют ранга матрицы, так как известно, что 1) при перестановке строк определитель меняет знак и, если он не был равен нулю, то уже и не станет; 2) при умножении строки определителя на число, не равное нулю, определитель умножается на это число; 3) третье элементарное преобразование вообще не изменяет определитель. Таким образом, производя над матрицей элементарные преобразования, можно получить матрицу, для которой легко вычислить ранг ее и, следовательно, исходной матрицы.

 

АХ=В (1) A m*n X n*1 B m*1

Система называется однородной, если матрица В=Θ

АХ= Θ (2)

Если к системе (2) применима правило Крамера, то эта система имеет только нулевое решение.

Опр. Общим решением системы (2) нзв. Х(Р₁,...,Р _n) и обладающий следующими свойствами:

1) При любом наборе параметров получаем решение системы

2) И наоборот для любого решения х₀ можно подобрать Р°₁,…,Р°_n х₀=х(Р°₁,…,Р°_n)

Предложение: сумма 2ух решений системы (2) явл решением этой системы. Умножив произведение решений системы (2) на число, получим то же самое решение системы

АХ₁=Θ АХ₂= ΘАХ₁+ АХ₂=Θ

А(bX₁)=(Ab)X₁=b(AX₁)=Θ, rank(A) = r

можно предположить, что первые r строк матрицы А линейно-независимы, то все остальные строки явл линейной комбинацией остальных строк. Все уравнения с номерами больше чем r, явл следствием первых r уравнений. Ранг- максим. число линейно-независимых строк, все остальные явл зависимыми от первых. Вместо исх системы (2) получаем новую систему

a₁₁x₁+…+а₁ᵣxᵣ+a₁ᵣ₊₁x_r+1+a_1nx_n=0

(3) a₂₁x₁+…+а_2rx_r+a_{2 r+1}x_r+1+a_2nx_n=0

a_r1x₁+….+a_rrx_r+…a_rnx_n=0

в первой было m уравнений,а в(3) r

Ar представили в блочном виде, Ar=(A₁,A₂)

A₁₌ r×к >> A₂₌ ) r×(n-r)

Вектор х разобъём на 2 части Х= ) >> x1=r×1 >> x2=(n-r)×r >> (A₁|A₂)()=Θ

Система (4)- краткая запись A₁X₁+A₂X₂=Θ >> A₁X₁=-A₂X₂ (5) >> |A1|≠0

1 шаг - нашли ранг (из всех уравнений берём только r), 2 шаг-преобразовали в (5)

Теорема: Пусть дана однородная система уравнений (2),если ранг матрицы равен r, то общее решение системы имеет вид X(P₁,…P_n-r)= P₁Z₁+P₂Z₂+…+P_n-rZ_n-r

Построение решения: если в системе (5) в качестве вектора х₂ взять любой вектор длины n-r, то решая систему (5) по правилу Крамера мы находим вектор х⁰, и составляя из них х_on= )

D (n-r)×(n-r), |D|≠0, AX₁=-A₂D[*|i], i=1,…,n-r

Y_i () было доказано, что любая линейная комбинация решений однородной системы явл решением той же самой системы

Y= (2) решение системы (1)

Док-ть, что любое решение можно представить в этом виде

[Пусть z-любое решение AZ=Θ Z=()

1часть имеет длину r, 2 часть имеет длину (n-r)

A₁Z₁=-A₂Z₂

По построению определитель матр D≠0, значит его столбцы матр В линейно-независимы, следовательно столбцы образуют базу в пространстве столбцов длины (n-r), значит вектор z_{2 можно} представить как Z₂=

c_j - коэффициент разложения по базе

вектор W=Z- каждый из векторов, есть решение системы (1)

AW=Θ

A₁W₁=-A₂W₂

W₂=Z₂- , поэтому W₂=Θ, значит A₁W₁=Θ, а к системе применим правило Крамера(решение нулевое), поэтому W=Θ,есть линейная комбинация

Любое решение системы(1) представимо в виде(2) ]

Число Y_i- совпадает с числом столбцов в В. В формуле (2) число слагаемых =(n-r),а сами решения Y_i нзв фундаментальными решениями b_i-степени свободы. При практическом построении фунд решений обычно в качестве матр D выбирают единичную матрицу порядка n-r