Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель марицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 14.9 Квадратную матрицу назовем вырожденной или особенной матрицей, если , и невырожденной или неособенной матрицей, если .

Предложение 14.21 Если обратная матрица существует, то она единственна.

Доказательство. Пусть две матрицы и являются обратными для матрицы . Тогда

и

Следовательно, .

 

Правило Крамера.

Пусть матричное уравнение AX = B

которое описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.

Если , то система (1) является совместной и имеет единственное решение, описываемое формулой

где ; – определитель, полученный из определителя D заменой i -го столбца столбцом свободных членов матрицы B:

Доказательство теоремы разобъем на три части:

1.Решение системы (1) существует и является единственным.

2.Равенства (2) являются следствием матричного уравнения (1).

3.Равенства (2) влекут за собой матричное уравнение (1).

Так как , то существует и при том единственная, обратная матрица .
Умножая обе части матричного уравнения (1) слева на , получаем решение этого уравнения:

Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.

Перейдем к доказательству взаимно-однознаяного соответствия между формулами (1) и (2).

Используя формулу (4), получим выражение для i -го элемента. Для этого нужно умножить i -ую строку матрицы

на столбец B.

Учитывая, что i -ая строка присоединенной матрицы составлена из алгебраических дополнений , получаем следующий результат:

Сумма в правой части этого равенства представляет собой разложение определителя Di по элементам i -го столбца и, следовательно,

Вывод формул Крамера завершен. Покажем теперь, что выражения

влекут за собой матричное уравнение (1).

Умножим обе части уравнения (7) на и выполним суммирование по индексу i:

Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:

Согласно Лемме

где – дельта символ Кронекера.

Учитывая, что дельта символ снимает суммирование по одному из индексов, получаем требуемый результат:

 

Комплексные числа: Идея – определение новых объектов с помощью известных. Вещественные числа расположены на прямой. При переходе на плоскость получаем комплексные числа. Определение: Комплексным числом называется пара вещественных чисел z = (a,b). Число a = Re z называется вещественной частью, а b = Im z мнимой частью комплексного числа z.

Операции над комплексными числами: Комплексные числа z1 z2 равны Z1 = z2 ⇔ Re z1 = Re z2 & Im z1 = Im z2. Сложение: Z=z1+z2. ⇔Re z=Re z1+Re z2 & Im z1+ Im z2. Число (0,0) обозначается через 0. Это нейтральный элемент. Проверяется, что сложение комплексных чисел обладает свойствами аналогичными свойствам сложения вещественных чисел. (1. Z1+ z2 = z2 + z1 – коммутативность; 2. Z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3 – ассоциативность; 3. Z1 + 0 = z1 - существование нуля (нейтрального элемента);4. z + (−z) = 0 - существование противоположного элемента). Умножение: z= z1 z2⇔Re z=Re z1 Re z2-Im z1 Im z2 & Im z1=Im z1 Re z2+Im z2 Re z1. Комплексное число z лежит на вещественной оси, если Imz = 0. Результаты операций над такими числами совпадают с результатами операций над обычными вещественными числами. Умножение комплексных чисел обладает свойствами замкнутости, коммутативности и ассоциативности. Число (1,0) обозначается через 1. Оно является нейтральным элементом по умножению.Если a∈ R, z ∈C, то Re(az) = aRe z, Im(az) = a Imz. Определение Число (0,1) обозначается через i и называется мнимой единицей. В этих обозначениях получаем запись комплексного числа в алгебраической форме: z = a + ib, a,b∈ R. i=-1. (a,b)=(a,0)+(0,b);(a,0)+b(0,1)=a+ib=z; (a1+ib)(a2+ib2)=a1a2+i(a1b2+1-a2b1)-b1b2; (a+ib)(1+0i)=a+ib; z(a,b), z(0+i0)=0; z!=0; a²+b²>0 (a+ib)(a-ib/a²+b²)=1.Число называется сопряженным к z, если Re =Re z; Im =- Im z.

= + ; = ; z =(a+ib)(a-ib)=a²+b² Модулем числа z называется вещественное число | z |= . Справедлива формула | z|² = z Из определения следует, что z ≠ 0⇔| z|≠ 0. z^-1= /|z|² (1)

Тригонометрическая форма комплексного числа: a=r cos(t); b=r sin(t). Z=a+ib=r(cos(t)+isin(t)) (2) t-аргумент комплексного числа. Z1=z2 =>|z1|=|z2|

arg(z1)-arg(z2)=2пk.

Z1=r1(cos(t1)+isin(t1), Z2=r2(cos(t2)+isin(t2)), Z3=z1 z2=T1T2(cos(t1+t2)+isin(t1+t2)(1)

|z1z2|=|z1||z2|

Arg(z1z2)=arg(z1)+arg(z2) (2)

Z!=0 z^-1= /|z|²=1/r(cos(-t)+i(sin(-t)) Z=r(cos(t)+istn(t))

=r(cos(t)-isin(t))

Определение: Корнем степени n из единицы называются решения уравнения zⁿ=1Предложение. Имеется n различных корней степени n из единицы. Они записываются в виде z = cos(2 π k / n) + isin(2 π k / n), k = 0,..., n −1. Теорема. В множестве комплексных чисел уравнение всегда имеет n решений.Z=r(cos(t)+isin(t)); zⁿ=rⁿ(cos(nt)+isin(nt))=1(cos(0)+isin(0))=>zⁿ=1.Z-целые числа. K пренадлежит Z. k=2=E₂=E_n-1E_n; E_n=1; E_n+p=E_p. Таким образом доказано, что решениями уравнения являются вершины правильного n-угольника, причем одна из вершин совпадает с 1.

Корень n-ой степени из z₀. Z^k=Z₀; Z₀=0=>Z=0; Z ₀!=0;Z=r(cos(t)-isin(t)); Z₀=r₀(cos(t0)+isin(t0)); r0!=0; Zⁿ=rⁿ(cos(nt)+isin(nt))

rⁿ=r_0, nt-t₀=2пk; r= ; t=(2пk+t0)/n; z= (cos((2пk+t0)/n)+isin((2пk+t0)/n)= (cos t0/n+isin t0/n)(cos(2пk/n)+isin(2пk/n))=Z ₁ E_k; z=z₁E_k; Z₁ⁿ=z_0, k=0, n=1

Матрицы. Определение: Матрицей размера m × n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов, элементы которой являются вещественными или комплексными числами. Элементы матрицы имеют двойные индексы.

Если m = n, то это квадратная матрица порядка m, а элементы с одинаковыми индексами образуют главную диагональ матрицы.

Операции над матрицами: Определение: Две матрицы A,B называются

равными, если их размеры совпадают и A[i | j] = B[i | j],1≤ i ≤ m,1≤ j ≤ n

Сложение. Рассматриваются матрицы одного размера. Определение:C = A + B ⇔ C[i | j] = A[i | j] + B[i | j], ∀i, j Предложение. Сложение матриц коммутативно, ассоциативно, существует нейтральный элемент и для каждой матрицы существует противоположный элемент.

Нейтральным элементом является нулевая матрица, все элементы которой равны 0. Она обозначается через Θ.

Умножение. Матрица A размера m × n обозначается через Amn. Определение: С_mk=A_mnB_nkó

C[i/j]= Заметим, что в общем случае умножение не является коммутативным. Замкнутость справедлива для квадратной матрицы фиксированного размера. Пусть даны три матрицы Amn, Bnk, Ckr. Тогда (AB)C = A(BC). Если произведение 3 матриц существует, то оно является ассоциативным.

Символ Кронекера δij. Он равен 1, если индексы совпадают, и 0 иначе. Определение. Единичной матрицей I_n называется квадратная матрица порядка n, для которой выполнены равенства n I_n[ i | j] = δ_ij Предложение. Справедливы равенства I_mA_mn=A_mnI_n=A_mn

Сложение и умножение матриц связанно законами дистрибутивности. A(B+C)=AB+AC; (A+B)C=AC+BC;(A(B+C)[i|j]= = = +

Транспонирование матрицы. Транспонированная матрица - это матрица, полученная из исходной путем замены строк на столбцы.

(A+B)^Т=А^Т+В^Т

(АВ)^Т=В^ТА^Т;(AB)^Т[i|j]=(AB)[j|i]= = (В^ТА^Т)[i|j]

Умножение матрицы на число. Произведение числа а на матрицу A mn называется новая матрица B[i|j]=aA[i|j]

1*A=A;a(A+B)=aA+aB;(a+b)A=aA+bA;

A(BC)=(aB)C=B(aC); (ab)A=a(bA)=b(aA)

Линейным пространством (L) над полем F называется множество векторов L={α,β..}

1.α+β=β+α(коммутативность) 2.α+(β+γ)= (α+β)+γ, (ab)α=a(bα)(ассоциативность) 3.α+θ=α, α∙1=α(существование нейтрального) 4.α+(-α)=θ (существование противоположного)

a(α+β)=aα+aβ, (a+b)α=aα+bα. Док-во {|(a+b)α|=|a+b||α|, |aα|=|a||α|,|bα|=|b||α|, a и b>0, |a+b|=a+b,|a|=a,|b|=b.} aα+(-a)α=θ, (a+0)α=aα

Примером линейного пространства является множество матриц фиксированного размера с операциями сложения и умножения на число.

Система линейных векторов называется линейно зависимой, если 1.a₁,a₂..a_n≠0 2. a₁α₁,a₂α₂..a_nα_n=θ Если система не является линейно зависимой, то она линейно независима. Рассмотрим 1. n=1 α₁ завис. a₁≠0, a₁α₁=θ, a₁^-1(a₁α₁)= a₁^-1∙θ=θ, (a₁^-1a₁)α₁=1∙α₁=α₁; 2. n=2 α₁,α₂ завис. a₁≠0,a₁α₁+a₂α₂=θ,α₁= -a₁^-1a₂α₂=b₂α_2; 3.n≥2 α₁..α_n завис. a₁≠0, α₁=Σ_k=2ⁿb_kα_k, 1α₁- Σ_k=2ⁿb_kα_k=θ, (1,b₂..b_n)≠0

Предложение: Система векторов, содержащая более чем 1 вектор линейно зависима ттогда какой-то вектор системы есть линейная комбинация остальных.

Если система векторов содержит линейно зависимую подсистему, то вся система линейно зависима. Док-во: {α₁..α_n завис. Система: α₁..α_n;α_n+1..α_m, a₁α₁+..+a_nα_n+0α_n+1+..+0α_m=θ, a₁..a_n,0..0≠0.} Если система содержит нул.вектор, то она линейно зависима. Теорема о линейных пространствах: {Пусть даны 2 системы векторов α₁..α_m, β₁..β_n. Система векторов α выражается через β, если каждый вектор α есть линейная комбинация β α_i= Σ_k=1ⁿa_ikβ_k, (α) { (β), (β) { (γ)→ (α) { (γ)} Теорема: Даны 2 системы векторов, при этом α независимая и, (α) { (β)→m≤n Докажем, α₁..α_m+1 β₁..β_m (α) { (β)→(α)завис. {Докажем методом индукции. m=1: α₁=a₁₁β₁, α₂=a₂₁β₁. a₁₁=0→ α₁=θ. a₁₁α₂ – a₂₁α₁ = a₁₁a₂₁β₁- a₂₁a₁₁β₁=θ. α₁= a₁₁β₁ +.. a_1n-1β_n-1 .. α_n= a_n1β₁ +.. a_nn-1β_n-1 Если все коэффициенты =0 a₁₁=a₁₂=..=a_1n-1=0→ α₁=θ→ вся система линейно зависима. a_1n-1≠0 α₂′= α₂ –с₂α₁=b₂₁β₁+..+b_2n-2β_n-2, c₂=a_2n-1/ a_1n-1, α₃′= α₃ –с₃α₁.. α_n′= α_n –с_nα₁. По пред. индукции сущ-ет ненулевой набор чисел d₂..d_n: d₂α₂′+d₃α₃′+.. d_nα_n′=θ, d₂(α₂–с₂α₁)+d₃(α₃ –с₃α₁)+.. d_n(α_n –с_nα₁)=θ, (α) { (β), m>n →(α)завис. если (α) независ. →m≤n}

 

МЛНП -макс.лин.незвавис.подсистемы. Пусть дана система векторов α₁..α_n некоторой подсис. α_i1..α_in называется МЛНП, если 1. α₁..α_n независ.2. α_i1..α_ir,α_ij завис. Каждый вектор системы есть линейная комбинация векторов МЛНП. { α_i1..α_ir,α_ij завис. a_i1α_i1+.. a_irα_ir +a_ijα_ij =θ

a_i1..a_ir,a_ij≠0 если a_ij =0 → a_i1α_i1+.. a_irα_ir =θ a_i1..a_ir=0 противоречие a_ij ≠0 α_ij= a_ij^-1(-a_i1α_i1-.. a_irα_ir) (α₁..α_n) { (α_i1..α_ir)

Следствие: Любые 2 МЛНП из одной системы векторов содержат одинаковое число векторов (α_i1..α_ir) { (α_j1..α_jk), (α_j1..α_jk) { (α_i1..α_ir) k≤r, r≤k →r=k Число векторов МЛНП называется рангом исходной системы. В случае линейного пространства(система векторов состоит из всех векторов пространства) МЛНП мб конечна или бесконечна. Рассматриваем конечный случай. Число векторов(ранг)- размерность линейного пространства. МЛНП-база. Пространство направленных отрезков. Два неколлинеарных вектора составляют базу в пространстве векторов на плоскости. α₃= α₁′+ α₂′=a₁α₁+ a₂α₂ . 3 вектора линейно зависимые α₃=a₁α₁+ a₂α₂. Компланарность- 3 вектора параллельны одной плоскости α₄= α₄′+ α₅′, α₄′=a₁α₁+ a₂α₂, α₅′= a₃α₃ , α₄= a₁α₁+ a₂α₂+ a₃α₃ . Пространство строк длины n. α=<a₁…a_n> Предложение: Пространство строк длины n имеет размерность n. { ξ₁=<1…0> ξ₂=<0,1…0>.. ξ_n=<0…1>,a₁ξ₁+ a₂ξ₂+.. a_nξ_n=θ=<0,..0> <a_1,a₂..a_n>→ a₁=a₂=..a_n=0 (линейная независимость) β=<b_1,b₂..b_n> β= b₁ξ₁+ b₂ξ₂+.. b_nξ_n →пространство строк длины n имеет размерность и n.

Ранг матрицы.

Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор

α{ β(выражается) и β{ α.

Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.

α_i1, α_i2,…, α_ir – МЛНП α, β_i1, β_i2,…, β_ik – МЛНП β, α_i1, α_i2,…, α_ir < β < β_i1, β_i2,…, β_ik → r<=k

Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.

Определение. Пусть дана матрица A=

α_i=<a_i1,a_i2,…a_in>

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

α’i=<a_1n, a_i2,…,a_i1>

Линейно зависимы:

b₁α₁+ b₂α₂+…+ b_mα_m=θ, b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0, b₁α’₁+ b₂α’₂+…+ b_mα’_m, b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0