Взаимное расположение прямой и плоскости. 


Мы поможем в написании ваших работ!



ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?

Взаимное расположение прямой и плоскости.



Ax + By + Cz = D

(X-Xo)/a = (Y-Yo)/b = (Z-Zo)/c

ν

α

 

(ν, α) = 0 [ //на или лежит]

(ν, α) ≠ 0 [пересекает в 1ой точке]

(ν, α) = 0 & Axo + Byo + Czo = D [прямая лежит в пл-ти]

1.Пересекает

от канонического ур-я прямой переходим в парам-е:

A(xo + ta) + B(yo + tb) + C(zo + tc) = D

находим to и подставим в кон-ое ур-е прямой:

t(aA + bB + cC) = F

 


Уравнение прямой в пространстве

α P0 OP = OP0 + tα – УРАВНЕНИЕ ПРЯМОЙ В ВЕКТОРНОЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

OP (X, Y, Z), OP0(X0, Y0, Z0), α(a1, a2, a3)

Р X = X0 + ta1, Y = Y0 + ta2, Z= Z0 + ta3 - В КООРДИНАТНОЙ ФОРМЕ

О X- X0/a1 = Y-Y0/ a2 = Z-Z0/ a3 – УРАВНЕНИЕ В КАКОНИЧЕСКОЙ ФОРМЕ

Y-Y0/ a3 = Z-Z0/ a3, X-X0/ a1 = Z – Z0 /a3 – УСЛОВИЯ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПЛОСКОСТЕЙ, КОТОРЫЕ ПАРАЛЛЕЛЬНЫ ОСЯМ OX И OY

Расстояние от точки до прямой в пр-ве.

Р через Q проводим пл-ть перпендикулярную прямой

α

Q

О

P α d |[PQ, α]| = |PQ|*|α|*sinα^PQ расстояние от Q до прямой

Q

 

O

1ый способ:

Р (1,2,3) α (1,0,-1) Q (3,-2,1)

Проведем через Q пл-ть, ортогональной α

(x-3)*1 – (z-1) = 0

Найти точки пер-ия пл-ти и прямой

Х = 1 + t y = 2 z = 3 – t // P + αt

1 + t – 3 – (3 – t – 1) = 0

2t – 4 = 0

t = 2

P1 (3, 2, 1) точка пер-ия пл-ти и прямой

|QP1| - искомый

d = √0 + 16 + 0 = 4

2ой способ:

PQ (2, -4, -2)

 

E1 E2 E3

[PQ, α] = 2 -4 -2 = E1 * 4 – E2 * 0 + E3 * 4

1 0 -1

|[PQ, α]| = 4√2

|α| = √2

d = 4√2 / √2 = 4


Уравнение плоскости в пространстве

По определению уравнение плоскости в пространстве задаётся точкой P и парой неколлинеарных векторов α||плоскости и β || плоскости.

--PP0=Uα+Ʋβ (1) P(x,y,z)

--P0P=--OP---OP0 α(a1,a2,a3)

--OP=--OP0+Uα+Ʋβ (1|) β(b1,b2,b3)

 

 

x=x0+Ua1+Ʋb1 Уравнение плоскости в параметрической форме

y=y0+Ua2+Ʋb2 (2)

z=z0+Ua3+Ʋb3

(--P0P,α,β)=0

x-x0 y-y0 z-z0 Уравнение плоскости проходящей через точку ||-но 2-м

a1 a2 a3 =0 (3) векторам, если векторы коллинеарны, то 0=0.

b1 b2 b3

Расстояние от точки до плоскости

Q Предположим, что |j| = 1, (OP, j) = |OP|* cos (j ^ OP) = d;

j d – расстояние от точки до прямой, d>=0

пусть OP (x, y), j(cost, sint) тогда x*cost + ysint – d=0 (2)

P Ax+By+C=0, где Ax+By+C / √A2 + B2 = 0 и C/ √ A2 + B2 >=0

(OQ, j) = |OQ|* cos (j^OQ), где (j^OQ) – d = расстояние до прямой.

Если в уравнение (2) подставить координаты произвольной точки плоскости то модуль полученного числа – расстояние от точки до прямой.

Уравнение плоскости в нормальной форме

Для плоскости все рассуждения аналогичны предыдущим

Ax + By + Cz + D/ √A2 + B2 + C2 = 0 (3)

Ax0 + By0 + Cz0 - D/ √A2 + B2 + C2 = расстояние от точки до плоскости

 


Уравнение прямой на плоскости

Прямая на плоскости определяется любой свободной точкой и вектором α параллельным этой прямой.

т.P- опорная точка

вектор α – направленный вектор.

--OP ---OX=--tα //t-любое ≠0. XP||--α

--OX=--OP+tα (2)

Ур-ие (2) – уравнение прямой в параметрической форме (в векторной форме)

--OX=<x,y> x=x0+ta (3) Основное уравнение прямой в координатах (параметричекое)

--OP=<x0,y0> y=y0+tb

α=<a,b>

Исключим параметр t из уравнения (3)=>(x-x0)/a=(y-y0)/b (4) каноническое уравнение

В уравнении (4), если в знаменателе есть 0 то из уравнения (3)=>, что и в числителе должен быть 0

Пусть выбрана система координат рассмотрим множество точек таких, что координаты которых удовлетворят уравнению Ах+Ву=С (5) условие для уравнения (5) А22>0

Если (5) рассматривать как неоднородную систему, то общее решение системы (5) имеет вид:

Х=Х0i уi X0-Опорная точка у-направляющий вектор

То похоже на уравнение (2), которая обозначает прямую => уравнение (5) определяет прямую, называют уравнением прямой в общем виде.

 



Поделиться:


Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 110; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы!

infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 52.91.255.225 (0.013 с.)