Заглавная страница Избранные статьи Случайная статья Познавательные статьи Новые добавления Обратная связь КАТЕГОРИИ: АрхеологияБиология Генетика География Информатика История Логика Маркетинг Математика Менеджмент Механика Педагогика Религия Социология Технологии Физика Философия Финансы Химия Экология ТОП 10 на сайте Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрацииТехника нижней прямой подачи мяча. Франко-прусская война (причины и последствия) Организация работы процедурного кабинета Смысловое и механическое запоминание, их место и роль в усвоении знаний Коммуникативные барьеры и пути их преодоления Обработка изделий медицинского назначения многократного применения Образцы текста публицистического стиля Четыре типа изменения баланса Задачи с ответами для Всероссийской олимпиады по праву Мы поможем в написании ваших работ! ЗНАЕТЕ ЛИ ВЫ?
Влияние общества на человека
Приготовление дезинфицирующих растворов различной концентрации Практические работы по географии для 6 класса Организация работы процедурного кабинета Изменения в неживой природе осенью Уборка процедурного кабинета Сольфеджио. Все правила по сольфеджио Балочные системы. Определение реакций опор и моментов защемления |
Теорема. (Скалярное произведение векторов в координатной форме.) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат.
Другими словами, пусть , . Тогда . (1) Доказательство. Учитывая, что скалярное произведение ортогональныхвекторов равно нулю, а скалярный квадрат единичного вектора равен 1, получаем: , ч.т.д. Теорема доказана. Следствие 1. Пусть . Тогда . Доказательство. Эта формула нам уже известна. Здесь ее можно получить, используя равенство (1), в котором положим : , откуда и следует доказываемая формула. Следствие доказано. Следствие 2. Пусть , . Тогда . Доказательство. Очевидно.
Векторным произведением вектора a на вектор b назовем вектор c, удовлетворяющий условию 1) , где -- угол между a и b и, если , то еще двум условиям: 2) вектор c ортогонален векторам a и b; 3) из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными). 1. Векторное произведение антикоммутативно, то есть В другой формулировке: если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное. Доказательство. Пусть , . Нужно показать, что . Из условия 1 следует, что . Если , то очевидно, что . Если , то векторы c и d -- коллинеарны, так как оба лежат на прямой, ортогональной плоскости векторов a и b. Таким образом, остаются только две возможности: или . Пусть вектор совпадает с вектором . Тогда в силу условия 3 из конца одного и того же вектора и поворот от a к b, и поворот от b к a по кратчайшему направлению виден против часовой стрелки, что невозможно. Следовательно, . 2. Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b -- коллинеарные. Доказательство. Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда , или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.
3. Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство . Доказательство. Если , то утверждение очевидно. Если векторы a и b -- коллинеарные, то векторы и b -- тоже коллинеарные, и поэтому обе части доказываемого равенства равны нулю. Пусть , a, b -- неколлинеарные, , . Тогда углы, образованные векторами a и b и векторами и b, равны. Следовательно,
то есть . Оба вектора c и d перпендикулярны плоскости векторов a и b и направлены одинаково, так как равны углы между сомножителями. Следовательно, . 4. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности, то есть . 5. Площадь параллеллограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения, Площадь треугольника со сторонами a, b вычисляется по формуле Доказательство естественным образом вытекает из условия 1 в определении векторного произведения. Отметим еще одну особенность векторного произведения, отличающую его от операции умножения чисел. 6. Векторное произведение не является ассоциативным, то есть существуют такие векторы a, b, c, что . Доказательство. Пусть a и b -- любые неколлинеарные векторы, . Тогда вектор , кроме того, этот вектор ортогонален плоскости векторов a и b. Таким образом, векторы и c -- неколлинеарные, поэтому . Поэтому . Получили, что . Свойства смешанного произведения: 1° 2° 3° Три вектора компланарны тогда и только тогда, когда
Доказательство. По определению . В силу свойства скалярного произведения тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b, c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b, c 4° Тройка векторов является правой тогда и только тогда, когда . Если же , то векторы , и образуют левую тройку векторов. 5° 6° 7° 8° 9° 10° Тождество Якоби:
Система координат. Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд) и базис в пр-ве векторов. Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка пересечения прямых, а базисные векторы имеют единичную длину и //ны соответ. прямым. Если выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.: это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку, подсчитанные в выбранной базе. ОР = aα + bβ α β O Р u cmV2LnhtbEyPQU/DMAyF70j8h8hI3La0ZRqjNJ0QY2fEAIlj1pi2kDhVkm3tv8c7sZvt9/T8vWo9 OiuOGGLvSUE+z0AgNd701Cr4eN/OViBi0mS09YQKJoywrq+vKl0af6I3PO5SKziEYqkVdCkNpZSx 6dDpOPcDEmvfPjideA2tNEGfONxZWWTZUjrdE3/o9IDPHTa/u4NTEG378jN9Tn5TmDBttvELX/OF Urc349MjiIRj+jfDGZ/RoWamvT+QicIqmOXL1T17FdzlXOrsyIoFT3u+POQg60pedqj/AAAA//8D AFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9U eXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9y ZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADNqlFv0AQAA9QMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRy cy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhANvi7WTeAAAACwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAATgQA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABZBQAAAAA= " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>
|
|||||
Последнее изменение этой страницы: 2017-01-25; просмотров: 757; Нарушение авторского права страницы; Мы поможем в написании вашей работы! infopedia.su Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Обратная связь - 34.228.40.212 (0.021 с.) |