Свойства определителя n-ого порядка.

Ранг матрицы.

Две системы векторов α и β называются эквивалентными, если каждый вектор

α{ β(выражается) и β{ α.

Предложение. Ранги эквивалентных систем совпадают.

α_i1, α_i2,…, α_ir – МЛНП α, β_i1, β_i2,…, β_ik – МЛНП β, α_i1, α_i2,…, α_ir < β < β_i1, β_i2,…, β_ik → r<=k

Поменяв местами α и β местами → r>=k >>> Значит, r=k.

Определение. Пусть дана матрица A=

α_i=<a_i1,a_i2,…a_in>

Рангом матрицы А называется ранг системы векторов α1, α2,…, αm, составленных из это матрицы >>rank(A)-ранг

Из определения очевидно, что при перестановке столбцов ранг не меняется. Покажем, что при перестановке столбцов ранг так же не меняется.

А’=

α’i=<a_1n, a_i2,…,a_i1>

Линейно зависимы:

b₁α₁+ b₂α₂+…+ b_mα_m=θ, b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0, b₁α’₁+ b₂α’₂+…+ b_mα’_m, b₁а₁₁+b₂a₂₁+…+b_ma_m1=0

Основная теорема о рангах матрицы.

Ранг матрицы совпадает с максимальным порядком отличных от нуля миноров этой матрицы.

Док-во: предположим, что в матрице имеется минор n-го порядка не равный нулю, а все его более высокие миноры нулевые. Доказат ь, что ранг матрицы равен n.

Переставляя строки и столбцы, можем переместить этот минор в левый верхний угол.

D= ≠0

Докажем, что первые r строк линейно независимы и что любая другая строка линейная комбинация этих r строк: если бы первые r строк были линейно зависимы, то какая то строка была линейной комбинацией остальных, тоже самое было бы справедливо для выделенного минора и он равнялся 0.

Докажем, что любая строка есть линейная комбинация этих строк:

α₁=<a_i1,a_i2,…,a_ir>

Составим определитель (добавим i-тую строку) D₁= 1<=j<=r

Если j<=r в определителе два одинаковых столбца и определитель равен 0

Если i>r, то минор r+1 порядка и равен 0.

D₁=0=a_1j(-1)^r+2 D₁(1|r+1)+a_2j(-1)^r+3D₁(2|r+1)+…+a_ij(-1)^2r+2D (D≠0)

a_ij= (a_1j(-1)^r+2 D1(1|r+1)+a_2j(-1)^r+3D₁(2|r+1)+…)

Вся i-тая строка есть линейная комбинация первых r строк

Следствие.1) При транспонировании матрицы ранг не меняется (Ранг матрицы можно определять ка по строкам, так и по столбцам 2)Определитель квадратной матрицы равен 0, тогда и только тогда, когда какая-то строка матрицы является линейной комбинацией остальных. (Необходимое и достаточное условие равенства нулю определителя квадратной матрицы)

Доказательство. Дана матрица А n×n. |A|=0

Если |A|=0, то максимальный порядок не равных нулю миноров меньше n. Из основной теоремы следует, что rank(A)<n.Значит, строки матрицы линейно зависимы и определитель равен 0.

Ранг произведения матриц.

Система координат.

Сист. коорд. в аффинном пр-ве нзв. точка О (начало коорд)

и базис в пр-ве векторов.

Часто сист. коорд. на пл-ти задают двумя

пересекающимися прямыми, начало коорд. есть точка

пересечения прямых, а базисные векторы имеют

единичную длину и //ны соответ. прямым. Если

выбрана сист. коорд., то каждая точка Р получает коорд.:

это коорд. вектора, идущего из начала в эту точку,

подсчитанные в выбранной базе.

ОР = aα + bβ

α

β O Р

u cmV2LnhtbEyPQU/DMAyF70j8h8hI3La0ZRqjNJ0QY2fEAIlj1pi2kDhVkm3tv8c7sZvt9/T8vWo9 OiuOGGLvSUE+z0AgNd701Cr4eN/OViBi0mS09YQKJoywrq+vKl0af6I3PO5SKziEYqkVdCkNpZSx 6dDpOPcDEmvfPjideA2tNEGfONxZWWTZUjrdE3/o9IDPHTa/u4NTEG378jN9Tn5TmDBttvELX/OF Urc349MjiIRj+jfDGZ/RoWamvT+QicIqmOXL1T17FdzlXOrsyIoFT3u+POQg60pedqj/AAAA//8D AFBLAQItABQABgAIAAAAIQC2gziS/gAAAOEBAAATAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAABbQ29udGVudF9U eXBlc10ueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADj9If/WAAAAlAEAAAsAAAAAAAAAAAAAAAAALwEAAF9y ZWxzLy5yZWxzUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhADNqlFv0AQAA9QMAAA4AAAAAAAAAAAAAAAAALgIAAGRy cy9lMm9Eb2MueG1sUEsBAi0AFAAGAAgAAAAhANvi7WTeAAAACwEAAA8AAAAAAAAAAAAAAAAATgQA AGRycy9kb3ducmV2LnhtbFBLBQYAAAAABAAEAPMAAABZBQAAAAA= " strokecolor="#4579b8 [3044]"/>

Свойства определителя n-ого порядка.

1.|A|=|A^T| При транспонировании матрицы, определитель не меняется.

Пусть B=A^T → B[i|j]=A[j|i] |B|=Σ± B[1|i₁]..B[n|i_n]= Σ±A[i₁|1]..A[i_n|n]→|B|=|A|

2.Если какая-то строка матрицы состоит из 0,то определитель =0. A[k|*]=0→|A|=0. Каждое слагаемое содержит элемент k-ой строки, поэтому все произведение=0.

3. A[k|*]→cA[k|*] = |A|→c|A|

4.Если в матрице поменять местами 2 строки, то определитель матрицы поменяет знак.

B[i|*]=A[i|*],i≠k,i≠j. B[k|*]=A[j|*] B[j|*]=A[k|*]

|B|=Σ± B[1|i₁]..B[k|i_k]..B[j|i_j]..B[n|i_n]=Σ±A[1|i₁]..A[j|i_k]..A[k|i_j]..A[n|i_n]= -Σ±A[1|i₁]..A[j|i_k].. A[k|i_j]..A[n|i_n]= -|A|

5.Если в матрице есть 2 одинаковые строки, то ее определитель равен 0.

Поменяем местами равные строки |A|= -|A|→|A|=0

6. A[i|*]=A′[i|*]+A′′[i|*]. |A|= Σ±A[1|j₁]..A[i|j_i]..A[n|j_n]= Σ±A[1|j₁]..(A′[i|i_i]+A′′[i|i_i])..A[n|j_n]= Σ±A[1|j₁]..A′[i|j_i]..A[n|j_n]+ Σ±A[1|j₁]..A′′[i|j_i]..A[n|j_n]

7.Если какая-то строка матрицы есть линейная комбинация остальных, то определитель=0. A[n|*]=Σb_kA[k|*]

8.Если к какой-то строке матрицы прибавить линейную комбинацию остальных, то определитель не меняется. A[n|*]→ A[n|*]+Σb_kA[k|*]

Определитель треугольной матрицы. Матрица называется верхней треугольной, если все элементы ниже главной диагонали нулевые. |A|=Σ±a_1i1∙a_2i2..a_nin=Σ±a_1i1..a_n-1in-1∙a_nn=Σ±a_1i1..a_n-1n-1∙a_nn=a₁₁∙a₂₂..a_nn Определитель = произведению диагональных элементов.

Разложение определителя по строке. Теорема: для любой кв.матрицы справедливы формулы: |A|=Σ_iA[i|j]A_ij= Σ_jA[i|j]A_ij

Рассмотрим частный случай 1.(в последнее строке все столбцы нулевые кроме последнего)|A|= Σ±a_1i1∙a_2i2..a_nin=Σ±a_1i1..a_n-1in-1∙a_nn= a_nn Σ±a_1i1..a_n-1in-1= a_nn|A(n|n)|= a_nnA(n|n)

2.(из матрицы A iый столбец перенесли в конец, получили матрицу B) |B|=a_niB_nn

|B|=(-1)^n-i|A|=a_ni|A(n|i)| |A|= a_niA_ni. (a_ni,a_n2..a_nn)=(a_ni,0..0)+(0,a_n2..0)+..(0,0..a_nn) |A|=Σa_nkA_nk

 

1 1 … 1 Вычитая первый столбец из всех последующих получаем

Δ(x₁,x₂,…,x_n)= x₁ x₂ … x_n первую строку равную 1 0…0 все последущии х₁^п-1 …х_п^п-1-х₁^п-1

x₁^n-1 x₂^n-1… x_n^n-1 далее разложение по 1-ой строке после вычитаем из каждой строки предыдущую строку умноженную на x₁ далеемы можем вынести за знак определителя общий множитель первого столбца равный (x₂-x₁) общий множитель второго столбца x3-x1 и т.д.в рез-те получим Δ(x1,x2… xn)=(x2-x)(x3-x1)…(xn-x1)Δ(x2,x3…xn) со стоящим в правой части определителем поступим так же,продолжая такие рассуждения далее окончательно получим исходный определитель det(A)=(x2-x1)(x3-x1)…(xn-x1)(x3-x2)…(xn-x2)…(xn-xn-1) Определитель Вандермонта.

Обратная матрица Определение: Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если .

Из определения следует, что обратная матрица A будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица (иначе одно из произведений или было бы не определено). Обратная матрица для матрицы обозначается . Таким образом, если существует, то . Из определения обратной матрицы следует, что матрица является обратной для матрицы , то есть . Про матрицы и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Предложение Если матрица имеет обратную, то и .

Доказательство. Так как определитель произведения матриц равен произведению определителей, то . , поэтому , что невозможно при . Из предыдущего равенства следует также .

Последнее предложение можно сформулировать в следующем виде.