Взаимное расположение прямой и пары точек

Пусть заданы точки и общее уравнение некоторой прямой: Ax + By + C = 0. Вычислим значения величин и по формулам:

(14)

(15)

Взаимное расположение точек и относительно заданной прямой можно определить по следующим признакам:

1) числа и имеют одинаковые знаки, в этом случае точки и лежат по одну сторону от прямой;

2) числа и имеют противоположные знаки, в этом случае точки и лежат по разные стороны от прямой;

3) одно из чисел , равно нулю (или оба равны нулю), в этом случае точка или соответственно (или обе) принадлежит прямой.

Расстояние от точки до прямой

Рис. 5

Расстояние d от точки до прямой Ax + By + C = 0 (рис. 5) вычисляется по формуле: . (16)

Пучок прямых

Через одну фиксированную точку (рис. 6) на плоскости можно провести бесконечное множество прямых. Это множество называется цент-ральным пучком (пучком) прямых, а точка называется центром пучка. Каждую из прямых пучка (кроме той, которая параллельна оси

ординат) можно представить уравнением:

(17)

 

где tg – угловой коэффициент прямой (см. рис. 6). Уравнение вида (17) называется уравнением пучка прямых с центром в точке

Рис. 6

Угол между прямыми

Если пара прямых на плоскости задана общими уравнениями: (рис. 7, прямая f) и (рис. 7, прямая g), то косинус угла между этими прямыми может быть вычислен по формуле:

Рис. 7

 

(18)

Если пара прямых на плоскости задана уравнениями «с угловым коэффициентом»: и , то тангенс угла между этими прямыми рассчитывается по уравнению:

tg

(19)

Если пара прямых на плоскости задана своими каноническими уравнениями: и то косинус угла между этими прямыми определяется по формуле:

(20)

Условия параллельности и перпендикулярности прямых

Прямые, заданные общими уравнениями: и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда

Прямые на плоскости, заданные в виде: и перпендикулярны только том случае, когда (при ). Данные прямые параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты равны, т. е.

Прямые, заданные своими каноническими уравнениями: и взаимно перпендикулярны тогда и только тогда, когда Данные прямые параллельны, если только выполнено условие:

Точка пересечения непараллельных прямых

Если на плоскости заданы две прямые: и , то согласно утверждению 2 координаты точки пересечения этих прямых можно вычислить по формулам:

(21)

(22)

3. ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Варианты типового расчета «Прямая на плоскости»

Задание 1.Указать особенности в расположении прямых на плоскости (прямая общего положения, проходящая или не проходящая через начало координат; прямая, параллельная оси Ох или Оу) и сделать чертеж. Уравнения заданных прямых по вариантам представлены в табл. 1.

Таблица 1

Данные к заданию 1

Вариант	Данные прямые	Вариант	Данные прямые
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)

 

Окончание табл. 1

 

	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)
	а) б) в)		а) б) в)

Задание 2.Выбрать из имеющегося списка прямых на плоскости (табл. 2) пары: а) пересекающихся прямых; б) совпадающих прямых; в) прямых, не имеющих общих точек.

 

Таблица 2

Данные к заданию 2

Вариант	Данные прямые	Вариант	Данные прямые
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

 

Продолжение табл. 2

 

	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

 

Окончание табл. 2

 

	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)
	1) 2) 3) 4) 5)		1) 2) 3) 4) 5)

Задание 3.Две точки на плоскости заданы координатами: и , – некоторый угол (табл. 3). Составить: 1) уравнение прямой на плоскости, проходящей через точки и найти ее направляющие косинусы; 2) уравнение прямой, проходящей через точку и образующей с осью абсцисс угол .

Таблица 3

Данные к заданию 3

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º
	75º		120º
	135º		150º
	30º		60º
	45º		90º

 

Окончание табл. 3

 

	75º		120º

Задание 4. Дано общее уравнение прямой (табл. 4), записать для нее следующие виды уравнений:

1) каноническое

2) параметрические

3) «с угловым коэффициентом»

4) «в отрезках»

5) нормальное

Построить заданную прямую в системе координат хОу.

Таблица 4

Данные к заданию 4

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные

Окончание табл. 4

 

Задание 5. Даны прямые и точка М (табл. 5). Составить уравнения прямых, проходящих: 1) через точку М параллельно прямой l; 2) через точку М перпендикулярно прямой l.

Найти угол между прямыми и и расстояние d от точки М до прямой l.

Таблица 5

Данные к заданию 5

Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные	Ва-риант	Данные

 

Продолжение табл. 5

 

Задание 6.Отметить на координатной плоскости область решения системы линейных неравенств (табл. 6).

 

Таблица 6

Данные к заданию 6

Ва-ри-ант	Система неравенств	Ва-ри-ант	Система неравенств	Ва-ри-ант	Система неравенств

Примеры выполнения заданий типового расчета

Задание 1.Указать особенности в расположении прямых на плоскости (прямая общего положения, проходящая или не проходящая через начало координат; прямая, параллельная оси Ох или Оу): 1) 2) 3) Сделать чертеж каждой прямой в системе координат

Решение.

1) Уравнение приведем к виду: – получили уравнение вида (см. подразд. 1.7, п. б), значит, данная прямая параллельна оси Оу и проходит через точку с координатами (рис. 8).