Уравнение плоскости, проходящей через три данные точки

Три точки пространства, не лежащие на одной прямой, определяют единственную плоскость. Найдем уравнение плоскости , проходящей через три данные точки ; и , не ле­жащие на одной прямой.

Возьмем на плоскости произвольную точку и составим векторы , , . Эти векторы лежат на плоскости , следовательно, они компланарны. Используем условие компланарнос­ти трех векторов (из аналитической геометрии известно, что в этом случае их смешанное произведение равно нулю), получаем (. Смешанное произведение векторов можно вычислить через определитель третьего порядка:

. (2)

Раскрывая определитель по элементам первой строки, получим уравнение плоскости вида (1), т. е. уравнение (2) есть уравнение плоскости, проходящей через три данные точки.

Уравнение плоскости в отрезках на осях

Пусть плоскость отсекает на осях , и соответственно отрезки , и , т. е. проходит через три точки , и (рис.1).

Подставляя координаты этих точек в уравнение (2), получаем

.

Раскрыв определитель, имеем , т. е. или

. (3)

Уравнение (3) называется уравнением плоскости в отрезках на осях. Им удобно пользоваться при построении плоскости.

Основные задачи, использующие уравнения плоскости.

Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности

И перпендикулярности двух плоскостей.

Пусть заданы две плоскости и общими уравнениями:

,

.

Под углом между плоскостями и понимается один из двугран­ных углов, образованных этими плоскостями.

Угол между нормальными векторами и плоскостей и равен одному из этих углов.

Поэтому угол можно найти как угол между нормалями плоскостей по известной формуле

или

. (4)

Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.

Если плоскости и перпендикулярны, то перпендикулярны и их нормали, т. е. (и наоборот). Но тогда скалярное произведение нормалей равно нулю: , т. е.

. (5)

Полученное равенство есть условие перпендику­лярности двух плоскостей и .

Если плоскости и параллельны, то будут па­раллельны и их нормали и (и наоборот). Но тогда, как известно, координаты векторов пропорциональны:

. (6)

Это и есть условие параллельности двух плоскостей и .

Расстояние от точки до плоскости.

Пусть задана точка и плоскость своим уравнением . Расстояние от точки до плоскости находится по формуле

. (7)

Вывод этой формулы такой же, как вывод формулы расстояния от точки до прямой .

Уравнения прямой в пространстве.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой в пространстве вполне определено, если задать какую-либо точку на прямой и вектор , параллельный этой прямой. Вектор называется направляющим вектором прямой. Пусть прямая задана ее точкой и направляющим вектором . Возьмем на прямой произвольную точку . Обозначим радиус-векторы точек и соответственно через и . Очевидно, что три вектора , и связаны соотношением

. (8)

Вектор , лежащий на прямой , паралле­лен направляющему вектору , поэтому , где — скалярный множитель, называемый параме­тром, может принимать различные значения в за­висимости от положения точки на прямой

 

 

 

 

 

В результате получим уравнение

(9)

 

Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой.