Передаточных функций звеньев системы

При исследовании и расчете систем автоматического управ­ления исходят из математического описания происходящих в них физических процессов. Обычно это описание бывает пред­ставлено в виде системы дифференциальных уравнений, выра­жающих связи между переменными величинами и их производ­ными. Такой подход, когда уравнения описывают поведение исследуемой системы в целом, является наиболее общим в мате­матическом плане и применимым во всех случаях.

Вместе с тем для большого класса систем автоматического управления (линейных систем) широко применяется и другой способ, связанный с использованием операторного метода. При этом способе исследуемая система разделяется на части — звенья направленного действия, обладающие свойством передачи сиг­нала только в одном направлении: от входа к выходу. Совокуп­ность этих звеньев совместно с линиями связи между ними, ха­рактеризующими их взаимодействие, образует структурную схему системы управления.

Между функциональными и структурными схемами есть оп­ределенная общность — те и другие отражают процесс передачи и переработки информации в замкнутом контура системы управ­ления. Однако между ними существует и четкое различие: функ­циональные схемы характеризуют систему по составу входящих в нее элементов, рассматриваемых с точки зрения их назначе­ния, т. е. выполняемых ими функций; структурные схемы, состоящие из звеньев направленного действия, описывают математически динамические свойства системы. Исходя из структуры системы и вида входящих в нее функциональных эле­ментов, можно произвести разделение систем на звенья направ­ленного действия в общем виде так, чтобы для каждого из них можно было наиболее просто определить передаточную функ­цию звена как отношение операторные изображений выходной величины звена к входной и соединить отдельные звенья между собой линиями связи.

Передаточная функция каждого звена представляет собой записанное в операторной форме и раз­решенное относительно изображения выходной величины диффе­ренциальное уравнение данного звена. Таким образом, задача составления дифференциальных уравнений системы автоматиче­ского управления в целом сводится к составлению уравнений отдельных звеньев. Получаемый при этом выигрыш в части тру­доемкости становится более очевидным, так как на практике в подавляющем большинстве случаев структурные схемы систем автоматического управления пред­ставляют собой различные комбина­ции небольшого числа так называе­мых типовых звеньев, передаточные функции и динамические свойства которых могут быть известны.

Весьма важным преимуществом структурных схем является их физи­ческая наглядность, дающая более ясное представление о про­цессах, происходящих в исследуемой системе, по сравнению с общей формой записи дифференциальных уравнений.

На основе полученной функциональной схемы составим структурную схему системы и определим ее передаточные функции.

Первым звеном можно считать преобразующий элемент - потенциометр П, входной величиной которого служит ошибка Q, а выходной - сигнал ошибки U_c, поступающий на вход усилителя. Так как это звено можно считать безынерционным, то его передаточная функция вырождается в передаточный коэффициент:

.

Вторым звеном, также безынерционным, будем считать усилитель с передаточным коэф­фициентом

где U_y— напряжение на управляющей обмотке двигателя.

В качестве третьего звена примем асинхронный двигатель вместе с редуктором. Входной величи­ной этого звена является напряжение U_y. В качестве выходной величины принимают: 1) угол поворота выходной оси Q_вых, яв­ляющийся выходной величиной следящей системы, или 2) угло­вую скорость вращения выходной оси W_вых, а затем добавляют отдельное интегрирующее звено, с по­мощью которого скорость вращения выходной оси преобразует­ся в угол поворота последней.

Выберем второй вариант и запишем передаточную функцию третьего звена

а передаточную функцию последнего (интегрирующего) звена

При таком разделении следящей системы на звенья ее структурная схема примет вид, изображен­ный на рис. 3.

 

 

Рис. 3. Структурная схема следящей системы с асинхрон­ным двухфазным двигателем

 

Передаточная функция разомкнутой системы, состоящей из последовательно включенных звеньев примет вид:

Передаточная функция для выходной величины следящей си­стемы определяется по формуле:

Передаточная функция для ошибки имеет вид:

.

Учитывая, что передаточная функция двигателя может быть определена как:

,

где с_е - скоростной коэффициент двигателя,

j_p - передаточное число редуктора,

Т_м - электромеханическая постоянная времени,

структурная схема системы имеет вид рис.4.

Рис.4. Структурная схема следящей системы с асинхрон­ным двухфазным двигателем