Электромагнитные свойства среды

ВВЕДЕНИЕ

Практическое использование свойств электромагнитных колебаний началось с 1895 года, когда Попов А.С. обнародовал результаты своих исследований в области радио.

Все последующие годы шло довольно интенсивное изучение и практическое применение этого открытия в различных отраслях науки и техники. В последнее десятилетие, как известно, взамен кабельных линий связи стали применять волоконно-оптические линии.

В связи с этим в ряде высших учебных заведений связевого профиля открылись новые специальности. В ДВГУПС на факультете «Управ­ле­ние, автоматизация и телекоммуникации» открыли новую специа­ли­зацию, где изучаются системы передачи информации с использованием волоконно-оптических линий.

В настоящее время совершенно не издаётся литература (ни учебная, ни техническая) по названной теме. Это сильно затрудняется обучение студентов по новой специальности. Выпуск предлагаемого конспекта лекций поможет облегчить студентам изучение и освоение довольно сложного в математическом плане и практическом воплощении раздела учебной программы.

Компьютерный набор текста осуществлен студентом факультета
УАиТ Мазур Николаем Анатольевичем.

 

ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА

Основным объектом изучения электродинамики является электромагнитное поле. Электромагнитное поле представляет собой особый вид материи. Главнейшие этапы развития теории и практики электродинамики следующие.

В 1753 и в 1756 годах Ломоносов высказал мысль о динамической природе электричества, о связи между электрическими и световыми явлениями. В 1820 году Ампер исследовал влияние тока на ток, в 1831 году Фарадей открыл явление электромагнитной индукции. В 1873 году Максвелл опубликовал «Трактат об электричестве и магнетизме», где математически изложил основные законы электромагнитного поля. В 1888 году Герц дал метод решения уравнений Максвелла и экспериментально доказал возможность существования электромагнитных волн в пространстве.

В 1895 году Попов осуществил первую в мире радиосвязь с помощью электромагнитных волн. В 1899 году Лебедев экспериментально доказал давление света, то есть электромагнитных волн, на тела. Энштейн в 1916 году высказал мысль об искривлении светового луча в поле тяготения, а Эддингтон в 1919 году измерил отклонение светового луча в гравитационном поле Солнца. В 1960 году Паунд взвесил световой луч.

Электромагнитное поле является носителем энергии, способной преобразовываться в другие виды энергии, что широко используется в настоящее время.

 

 

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ

Электрические заряды обусловливают электрические и магнитные явления, например, силовые взаимодействия между заряженными частицами и телами.

Взаимодействие между заряженными частицами или телами осуществляется через электромагнитное поле. Электромагнитное поле определяется как особый вид материи, характеризующийся способностью распространяться в вакууме со скоростью, близкой к 3×10⁸ м/с и оказывающий силовое воздействие на заряженные частицы. Электромагнитное поле представляет собой единство двух своих составляющих
– электрического и магнитного полей. В каждой точке пространства, где имеет место электромагнитное поле, оно характеризуется величиной и направлением векторов: Е – напряженности электрического поля;
D – электрического смещения (электрической индукции); Н – напряженности магнитного поля и В – магнитной индукции.

Графически структура векторного поля чаще всего изображается с помощью линий поля, которые являются касательными к векторам поля в каждой точке пространства. Плотность этих линий пропорциональна величине вектора в данной точке.

Векторы поля D и Н – это функции источников. Вектор электрического смещения D, , равен

,

 

где – орт, направленный вдоль радиус-вектора.

Вектор напряженности магнитного поля Н, , характеризует связь электрического тока с собственным магнитным полем:

 

 

где – орт в цилиндрической системе координат, у которой ось z совпадает с направлением тока (см. рис. 1).

Векторы Е и В являются силовыми характеристиками электромагнитного поля. Эта сила является суперпозицией сил, создаваемых электрической и магнитной составляющими поля:

 

 

 

,

 

где – вектор скорости движения заряда. Отсюда вектор напряженности электрического поля Е, ,

.

 

Вектор магнитной индукции можно определить из соотношения

 

.

Размерность вектора В находится как отношение (тесла).

Уравнения Максвелла

Макроскопическая теория электромагнетизма основывается на уравнениях Максвелла. Система уравнений электромагнитного поля была постулированна Максвеллом, т.е. введена в теорию аксиоматически. Исходными из этих уравнений являются уравнения Максвелла в интегральной форме, как непосредственно основанные на опыте.

 

Циркуляция магнитного поля

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру (магнитодвижущая сила) равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, протекающего сквозь поверхность, ограничивающую этим контуром:

 

,

 

где – истинный электрический ток (ток проводимости), а также конвекционный ток; – скорость изменения потока электрического смещения (ток смещения).

Таким образом, можно записать: . Это есть обобщенный закон Ампера (в интегральной форме).

Если циркуляция вектора по контуру указанной площадки не равна нулю, поле носит вихревой характер, т.е. отличен от нуля. Считая
J и D постоянными в пределах малой площади, можно записать:

 

.

 

Так как площадка S может быть ориентированна в любом направлении, то (дифференциальная форма закона Ампера).

Итак, ротор вектора напряженности магнитного поля в любой его точке равен сумме плотности истинного электрического тока и скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.

Таким образом, магнитное поле создается при любом движении электрических зарядов (электрическом токе) и изменении во времени вектора электрического смещения.

 

Граничные условия

На границе между материалами (телами) параметры среды скачкообразно изменяются. При этом неизбежно испытывают скачки некоторые векторы поля.

Для решения задач электродинамики, кроме уравнений Максвелла, необходимо знать граничные условия – соотношения между векторами, находящимся по обе стороны раздела сред.

Можно показать, что нормальная составляющая вектора электрической индукции D при переходе через граничную поверхность претерпевает скачок, численно равный поверхностной плотности электрического заряда:

 

 

Поверхностный заряд образуется на поверхности проводников лишь в электрическом поле. В переменном поле такие заряды могут возникнуть только на поверхности идеального проводника. Поэтому при переменных полях в реальных средах нормальная составляющая вектора магнитной индукции на границе не изменяется.

Такое же заключение можно сделать относительно нормальной составляющей вектора магнитной индукции: при переходе через границу он не изменяется.

Относительно касательных составляющих полей можно теоретически доказать, что касательная составляющая вектора напряженности магнитного поля непрерывна на границе любых реальных сред. То же относится и к электрической составляющей (касательной).

 

Идеального проводника

В электростатике при любой проводимости материала электрические поля в нем отсутствуют. Переменные же поля проникают в материал с конечной проводимостью. Однако если проводник считать идеальным, то заряды внутри него столь подвижны, что мгновенно реагируют на сколь угодно быстрое изменение поля, создавая на его поверхности поверхностную плотность заряда:

 

,

 

здесь – поверхностная плотность заряда, которая обеспечивает нулевое электрическое поле внутри проводника.

Аналогично при изменении во времени магнитного поля поверхностные заряды перемещаются и создают поверхностный ток

 

,

 

где – плотность поверхностного тока на поверхности идеального проводника, благодаря чему магнитное поле внутри проводника отсутствует.

Итак, в идеально проводящей среде электромагнитное поле отсутствует: (рис. 3). Таким образом, получаем для изотропной среды:

 

 

Тангенциальная составляющая напряженности электрического поля и нормальная составляющая напряженности магнитного поля у поверхности идеального проводника отсутствуют.

Нормальная составляющая электрического поля определяется распределением поверхностного заряда.

Плотность электрического тока на поверхности равна величине и перпендикулярна по направлению касательной составляющей напряженности магнитного поля у поверхности.

Комплексные проницаемости

Электрические потери.

Электрическое поле вызывает два вида потерь в среде. Это, во-первых, потери обусловленные проводимостью материала. Во-вторых, это поляризационные (диэлектрические) потери, которые объясняются трением при смещении заряженных частиц вещества в переменном поле. Это ведет к отставанию вектора от вектора . Следовательно, диэлектрическая проницаемость есть комплексная величина:

 

,

где – тангенс угла диэлектрических потерь. В широкой полосе частот постоянен (до»100 ГГц).

Магнитные потери.

В магнитных материалах при перемагничивании также возникают потери на трение, в результате которых вектор отстает по фазе от вектора . Эти потери учитывают, вводя тангенс угла магнитных потерь и комплексную магнитную проницаемость, т.е.

 

.

 

Волны в диэлектрике

Диэлектрик характеризуется комплексной диэлектрической проницаемостью:

.

 

Определим составляющие коэффициента распространения используя малость :

.

 

Так как для степенного ряда верно приблизительное выражение , то воспользовавшись разложением в степенной ряд получим:

,

где – коэффициент распространения, – волновое число (фазовый коэффициент) в идеальном диэлектрике (т.е. без потерь). В реальном диэлектрике с малыми потерями он определяется по той же формуле. Таким образом, для реального диэлектрика с малыми потерями фазовый коэффициент равен волновому числу .

В вакууме он равен .

Фазовая скорость электромагнитной волны в вакууме (т.е. скорость света) определяется выражением:

.

 

Фазовую скорость волны в любом диэлектрике можно определить по формуле:

.

 

Длина волны в среде зависит от ее параметров:

 

.

Частота колебаний в среде не меняется.

Волновое сопротивление вакуума , Ом, вычисляется по формуле

 

.

 

Модуль волнового сопротивления диэлектрической среды:

 

.

 

Волны в проводнике

Среда считается проводником, если . Электромагнитная волна проникает в проводник на очень небольшую глубину, называемую скин-слоем:

.

 

Эта величина на высоких частотах не превышает долей миллиметра.

Закон изменения напряженности поля представляет экспоненту
(рис. 4).

На глубине, равной длине волны, поле убывает в 535 раз, а мощность примерно в 300 тысяч раз. Поэтому металлы нельзя применять как среду для передачи электромагнитных волн.

 

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Энергия представляет собой количественную меру движения материи. Закон сохранения энергии – один из фундаментальных законов природы, которому подчиняется явление электромагнетизма. Электромагнитное поле подчиняется закону сохранения массы:

 

.

 

Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Максвелла) на следующих двух предположениях.

1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью v,

.

 

2. Плотность потока электромагнитной энергии , , равна векторному произведению напряженности электрического и магнитного полей:

 

 

 

где – вектор Пойтинга, указывающий направление движения энергии и равный по величине плотности ее потока, что равнозначно плотности мощности. Электромагнитная энергия, содержащаяся в объеме , определяется объемным интегралом:

 

.

 

Она может изменяться во времени вследствие:

- перехода внутри объема электромагнитной формы движения в другие формы: тепловую, механическую, химическую. Это потери. Скорость отдачи энергии полем есть мощность потерь Р_n;

- приобретения полем внутри объема V энергии от сторонних источников. Скорость увеличения энергии поля равна мощности сторонних сил ;

- излучения электромагнитных волн путем перехода их из одного объема V через ограничивающую поверхность S. Эта мощность определяется соотношением:

.

 

Между названными составляющими существует баланс энергии (по закону сохранения энергии):

.

 

Закон сохранения энергии можно представить в интегральной форме:

 

,

 

где v – объемная плотность энергии, находящейся в объеме; Р_n – объемная плотность мощности потерь; – объемная плотность мощности сторонних сил.

Этот же закон в дифференциальной форме:

 

.

 

Объемная плотность мощности потерь:

 

, так как .

 

Поле отдает энергию, если угол между и меньше . Ток проводимости , тогда

.

 

Это есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. После интегрирования получим известную формулировку закона Ома:

 

.

 

Если сторонний ток по отношению к имеет угол больше , то возникают «отрицательные» потери, т.е. электромагнитное поле приобретает энергию.

В соответствии со сказанным объемная плотность мощности сторонних сил:

.

 

Теорема Пойтинга

Теорема Пойтинга устанавливает соответствие баланса электромагнитной энергии (см. п. 1.7) системе уравнений Максвелла.

Произведем с уравнениями Максвелла в дифференциальной форме некоторые преобразования.

Умножим почленно второе уравнение скалярно на , а первое – на . Затем вычтем почленно из первого второе. После некоторых преобразований получим:

.

 

Это и есть уравнение Пойтинга в дифференциальной форме.

Вычислим скорость электромагнитной волны как скорость переноса энергии и массы поля (рис. 5).

Дано: – плотность потока энер­гии; v – объемная плотность энергии волны.

Найти: – энергетическую скорость электромагнитной волны.

Решение: за время энергия заполняет объем , где .
В то же время . Приравнивая оба выражения для получим:

,

 

откуда энергетическая скорость электромагнитной волны определится как

 

.

 

Выполняя те же операции с уравнениями Максвелла в комплексной форме, получим выражение:

 

,

 

где – мнимая часть сторонней мощности (символ «» означает усреднение за период).

Последнее уравнение есть уравнение Пойтинга в комплексной форме.

В процессе распространения волны электрическая энергия непрерывно переходит в магнитную и обратно. Поскольку существует равновесие электрического и магнитного полей в распространяющейся волне, то для скорости распространения волны можно получить следующее соотношение:

 

.

 

Сравнивая полученное выражение с выражением для фазовой скорости волны, получаем важный вывод: в диэлектрике с малыми потерями энергетическая скорость волны совпадает по величине и направлению с ее фазовой скоростью.

Теорема единственности

Методы решения задач электродинамики, основанные на рассмотренных выше уравнениях, могут быть различными.

Однако решение, полученное каким-либо способом, единственно, т.е. электромагнитное поле определяется однозначно по заданному распределению источников.

Рассмотрим внутреннюю и внешнюю задачи.

Для области пространства, ограниченной поверхностью S верна следующая теорема. Монохроматическое электромагнитное поле в определенной ограниченной области V определится однозначно, если:

- в каждой точке области среда обладает электрическими либо магнитными потерями (); величина этих потерь может быть весьма мала;

- заданы источники в этой области;

- заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на границе этой области.

Очевидно, что при отсутствии потерь в среде возможно существование свободных незатухающих колебаний, не связанных с источниками. В этом случае решение внутренней задачи становится неоднозначным.

Внешняя задача. Пусть рассматриваемое пространство неограничен­но, т.е. внешней границы S не существует. Это эквивалентно сфере с бесконечно большим радиусом. В этом случае монохроматическое поле определяется в безграничной области однозначно, если:

- в каждой точке пространства среда обладает либо электрическими, либо магнитными потерями;

- заданы источники в этой области;

- заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на внутренней границе области;

- все источники находятся на конечном расстоянии от начала координат;

- поля убывают на бесконечности быстрее, чем .

Первые три условия совпадают с соответствующими условиями для внутренней задачи.

Таким образом, найденные любым способом решение корректно поставленной задачи отвечает действительному распределению поля, и никакого другого решения быть не может.

 

Идеальных диэлектриков

Полное прохождение. Для волн с параллельной поляризацией существует угол падения, именуемый углом Брюстера , при котором отраженная волна отсутствует, т.е. волна полностью переходит во вторую среду.

В соответствии с законом преломления (Снеллиуса):

 

; .

 

 

Этот угол называют также углом полной поляризации. Для перпендикулярной поляризации не существует такого угла.

Вышеназванное свойство имеет большое практическое применение. Примеры.

1. Если волна с произвольной поляризацией на диэлектрическую пластину под углом Брюстера , то отраженная волна имеет только перпендикулярную поляризацию, т.к. параллельно поляризованная компонента беспрепятственно проходит через пластину.

2. Диэлектрические пластины и шайбы, служащие для герметизации в различных устройствах, ставят под углом Брюстера. Тогда они полностью прозрачны для проходящих волн.

Полное отражение. Рассмотрим случай, когда волна проходит из среды оптически более плотной в менее плотную () при малых потерях в обеих средах.

Из приведенного ранее закона Снеллиуса

 

получим: .

Критическим углом называется угол:

.

 

При превышении этого угла волна будет полностью отражаться от поверхности раздела сред.

Самым характерным примером использования явления полного отражения является оптический кабель (волновод), показанный на рис. 9.

 

Электрического вибратора

Известно, что мощность излучения можно определить по формуле:

 

.

 

Подынтегральное выражение не зависит от азимутального угла и интегрирование по нему дает . Интегрирование по приводит к результату:

.

 

Поэтому: .

Сравним с выражением: .

Следовательно, часть выражения перед есть некое сопротивление, оно называется сопротивлением излучения R_S, Ом:

 

.

 

Видим, что чем больше R_S, тем больше излучаемая мощность.

 

4.2. Инвариантность уравнений поля к элементам электрических

И магнитных полей

В теории электромагнитных полей (электродинамике) доказывается, что, не изменяя уравнений Максвелла, можно заменить все электрические величины магнитными, а магнитные электрическими при соблюдении определенных правил знаков.

Правила замен можно свести вместе в следующую таблицу:

 

 

В этом случае вводится понятие магнитного излучателя и вместо электрического тока действует магнитный ток. Подобны также диаграммы направленности. В поле магнитного вибратора Е и Н меняются местами.

Мощность излучения элементарного магнитного вибратора вычисляется по формуле:

.

 

Проводимость излучения из этой формулы:

 

.

 

Примерами магнитного излучателя могут служить катушка с током (с сердечником или без него) или щель в плоской проводящей поверхности.

Чаще всего размеры (длина) щели равны .

 

ВОЛНОВОДЫ И РЕЗОНАТОРЫ

Основные сведения.

Электромагнитная волна в устройствах и системах связи должна распространяться по определенному пути и достигать пункта назначения с наименьшими потерями. Эту функцию выполняют направляющие системы; их называют также линиями передачи или волноводами.

Направляющие системы должны удовлетворять следующим требованиям:

- малое затухание;

- обеспечение заданной передаваемой мощности, что связано с недопустимостью электрического пробоя;

- экономическая целесообразность (малый вес, доступные материалы, простота конструкции и технологии производства).

Применяются следующие конструкции направляющих систем:

- двухпроводные линии (килогерцы);

- коаксиальный кабель (мегагерцы);

- линии поверхностной волны (мегагерцы – гигагерцы);

- металлические волноводы (оптические волокна), (терагерцы).

 

Классы волн Е и Н

Эти волны имеют одну продольную составляющую или .

Е-волны, или «электрические», имеют электрическую продольную составляющую и, естественно, поперечные компоненты E и H. Другое их название ТМ-волны.

Н-волны, или «магнитные» имеют продольную магнитную составляющую и поперечные Е и Н. Существуют при некоторых условиях так называемые гибридные волны ЕН. Они возникают в волноводах из нескольких сред.

 

Круглый волновод

Довольно часто наряду с прямоугольными волноводами применяют круглые волноводы. Здесь основной волной является волна , где есть одна вариация по радиусу и одна вариация по углу (координаты полярные).

Картина поля волны изображена на рис. 16.

 

 

Рис. 16

 

Для сравнения приведем картину поля волны (рис. 17).

 

 

Рис. 17

 

Режимы волны

По направляющей системе могут распространяться волны либо одного, либо нескольких типов волн. В первом случае эту систему называют одномодовой, во втором – многомодовой. В частности, одномодовый режим характерен для двухпроводной линии с ТЕМ-волной в широком диапазоне частот.

Если на конце одномодовой направляющей системы включена нагрузка, то, кроме падающей волны с амплитудой , может возникнуть отраженная волна . Коэффициент отражения нагрузки

 

.

 

При движении вдоль линии амплитуда и фаза волны меняются по закону

,

а отраженной по закону:

.

Коэффициент отражения в произвольном сечении двух встречно бегущих волн равен

.

 

В линии без потерь модуль одинаков в любом сечении.

Суперпозиция двух встречных волн создает в линии стоячую волну.

Параметры нагрузки и режим волны в линии можно охарактеризовать комплексным коэффициентом отражения или комплексным нормирован­ным сопротивлением. Нормированная волна – это волна, несущая мощность в 1 Вт.

Режим работы линии можно характеризовать коэффициентом стоячей волны или коэффициентом бегущей волны :

 

;

 

.

 

Существует также такая связь между этими коэффициентами, где модуль коэффициента отражения равен

 

.

 

В общем случае в линии устанавливается режим смешанной волны.

Чисто стоячая волна возникает в случае равенства по модулю амплитуд отраженной и падающей волн (). Тогда , ; , .

Режим бегущей волны устанавливается при полном отсутствии отраженной волны.

 

ВОЗБУЖДЕНИЕ ВОЛНОВОДОВ

Возбуждением волноводов называется создание в нем высокочастот­но­го электромагнитного поля. Устройство, служащее для этой цели, на­зы­­вают элементом связи или возбудителем. В основном используют следующие способы возбуждения волноводов:

- с помощью штыря;

- петли связи;

- щели в стенке волновода;

- отверстия (чаще всего круглого).

При возбуждении решается задача возбудить определенный тип волн, не допуская нежелательного типа.

Доказано, что амплитуда возбужденной волны максимальна, если:

- сторонний электрический ток протекает вдоль электромагнитного поля возбужденной волны, т.е. ось штыря располагается параллельно Е;

- сторонний магнитный ток – вдоль магнитного поля (ось петли или осевая линия щели параллельны вектору Н);

- возбудитель располагается в максимуме соответствующего компо­нен­­та поля.

Отметим, что элемент связи, обеспечивающий эффективную переда­чу мощности в волновод, согласно теореме взаимности, будет столь же эффективно принимать мощность от волны того же типа и передавать ее в смежную линию.

 

Запредельные волноводы

В запредельных волноводах волновые процессы невозможны. Имеется только затухающее, чисто реактивное поле, экспоненциально убывающее при удалении от возбудителя. При волноводы используются в качестве аттенюаторов, т.е. устройств, ослабляющих на определенную величину мощность волны в линии передачи.

 

Коаксиальные линии

В коаксиальных кабелях распространяется волна типа ТЕМ. Частотный диапазон (до» 100 МГц), который зависит от конструкции радиочастотных кабелей и мощности волны в кабеле. Уязвимое место – граница на поверхности внутри диэлектрика. Это опасное место с точки зрения пробоя.

Пробивное напряжение:

,

 

где – пробивная напряженность поля в диэлектрике кабеля.

Применение коаксиальных кабелей:

- гибкие кабели небольшой длины применяют в радиоэлектронной аппаратуре для соединения отдельных блоков и внутриблочных соединений до частот 10 ГГц;

- антенные фидеры используют до частот в сотни МГц;

- на магистральных линиях связи для передачи сигналов телевидения и многоканальной телефонии – до частот в 10 МГц.

Иногда конструктивно объединяют несколько коаксиальных линий.

 

Полосковые линии

Полосковые (или ленточные) линии получили широкое распространение в связи с внедрением в технику сверхвысоких частот технологии печатных плат. Они используются преимущественно в сантиметровом и дециметровом диапазонах волн. Их изготавливают на основе диэлектрических пластин, покрытых металлической фольгой толщиной 10–100 мкм. В качестве диэлектрика используют фторопласт, стирофлекс и другие высокочастотные диэлектрики (рис. 18).

Широкие пластины соединяются между собой и с землей. Поэтому экранирование получается достаточно хоро­шим.

Если в качестве диэлектри­ка используется воздух, то потери в таком волноводе значительно меньше. В таких линиях устанавливается волна типа ТЕМ.

 

ОБЪЕМНЫЕ РЕЗОНАТОРЫ

Резонатор – это колебательная система, используемая в санти­мет­ро­­вом и дециметровом диапазонах.

Постепенное превращение колебательной системы в виде контура в резонатор показано на рис. 19.

 

 

Рис. 19

 

Как любой контур, объемный резонатор характеризуется резо­нанс­ной частотой, добротностью, полосой пропускания. В зависимости от ти­па колебаний резонатора он характеризуется несколькими резонанс­ны­ми частотами.

Добротность можно определить следующим образом

 

,

 

до