Поток электрического смещения

Обобщенная теорема Гаусса – интегральная форма уравнений Максвелла: поток электрического смещения через любую замкнутую поверхность равен электрическому заряду, заключенному внутри этой поверхности, т.е.

.

 

Отсюда следует, что, если внутри указанной поверхности нет зарядов, то поток электрического смещения через эту поверхность равен нулю.

Следствием теоремы Гаусса является закон Кулона:

 

,

 

где – единичный орт, и – величины зарядов, r – расстояние между зарядами.

Связь между объемной плотностью электрического заряда и вектором электрического смещения устанавливается обобщенной теоремой Гаусса в дифференциальной форме.

Будем сжимать поверхность S вокруг избранной точки так, чтобы заключенный внутри ее объем стремился к нулю. Эта операция математически запишется следующим образом:

 

 

Левая часть уравнения есть дивергенция вектора (или расходимость), т.е. можно записать:

.

 

Дивергенция и ротор векторного поля

Дивергенцией или расхождением поля Д называется скаляр, определенный в каждой точке поля и являющийся объемной производной этого поля:

 

.

 

Вычисляется по формуле:

 

(в декартовых координатах).

 

Ротор (иначе ротация) поля D есть вектор, определенный в каждой точке поля и являющийся объемной производной этого поля, взятой с обратным знаком:

.

 

По другому определению ротацией поля Д называется вектор, образуемый следующим образом (см. рис. 2):

1) через точку r проводят небольшую площадку S;

2) вычисляют циркуляцию вдоль контура, ограничивающего эту площадку;

3) рассматривают отношение этой циркуляции к площади S, когда S стремится к нулю, стягиваясь к точке r, причем положение площади остается неизменным;

4) изменяя положение этой площадки, устанавливают направление, при котором полученный предел достигает максимума;

5) в точке r определяется вектор , модуль которого равен полученному максимуму, а направление совпадает с направлением вектора площадки S_max, т.е.

.

 

Формула для вычисления в декартовых координатах имеет следующее выражение

.

 

Таким образом, в каждой точке поля дивергенция вектора D равна объемной плотности электрического заряда.

 

Циркуляция магнитного поля

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру (магнитодвижущая сила) равна сумме истинного электрического тока и тока смещения, протекающего сквозь поверхность, ограничивающую этим контуром:

 

,

 

где – истинный электрический ток (ток проводимости), а также конвекционный ток; – скорость изменения потока электрического смещения (ток смещения).

Таким образом, можно записать: . Это есть обобщенный закон Ампера (в интегральной форме).

Если циркуляция вектора по контуру указанной площадки не равна нулю, поле носит вихревой характер, т.е. отличен от нуля. Считая
J и D постоянными в пределах малой площади, можно записать:

 

.

 

Так как площадка S может быть ориентированна в любом направлении, то (дифференциальная форма закона Ампера).

Итак, ротор вектора напряженности магнитного поля в любой его точке равен сумме плотности истинного электрического тока и скорости изменения вектора электрического смещения в этой точке.

Таким образом, магнитное поле создается при любом движении электрических зарядов (электрическом токе) и изменении во времени вектора электрического смещения.