Энергия электромагнитного поля.

ТЕОРЕМА ЕДИНСТВЕННОСТИ

Энергия представляет собой количественную меру движения материи. Закон сохранения энергии – один из фундаментальных законов природы, которому подчиняется явление электромагнетизма. Электромагнитное поле подчиняется закону сохранения массы:

 

.

 

Макроскопическая теория поля основана (кроме уравнений Максвелла) на следующих двух предположениях.

1. Электромагнитная энергия распределена в пространстве с объемной плотностью v,

.

 

2. Плотность потока электромагнитной энергии , , равна векторному произведению напряженности электрического и магнитного полей:

 

 

 

где – вектор Пойтинга, указывающий направление движения энергии и равный по величине плотности ее потока, что равнозначно плотности мощности. Электромагнитная энергия, содержащаяся в объеме , определяется объемным интегралом:

 

.

 

Она может изменяться во времени вследствие:

- перехода внутри объема электромагнитной формы движения в другие формы: тепловую, механическую, химическую. Это потери. Скорость отдачи энергии полем есть мощность потерь Р_n;

- приобретения полем внутри объема V энергии от сторонних источников. Скорость увеличения энергии поля равна мощности сторонних сил ;

- излучения электромагнитных волн путем перехода их из одного объема V через ограничивающую поверхность S. Эта мощность определяется соотношением:

.

 

Между названными составляющими существует баланс энергии (по закону сохранения энергии):

.

 

Закон сохранения энергии можно представить в интегральной форме:

 

,

 

где v – объемная плотность энергии, находящейся в объеме; Р_n – объемная плотность мощности потерь; – объемная плотность мощности сторонних сил.

Этот же закон в дифференциальной форме:

 

.

 

Объемная плотность мощности потерь:

 

, так как .

 

Поле отдает энергию, если угол между и меньше . Ток проводимости , тогда

.

 

Это есть закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме. После интегрирования получим известную формулировку закона Ома:

 

.

 

Если сторонний ток по отношению к имеет угол больше , то возникают «отрицательные» потери, т.е. электромагнитное поле приобретает энергию.

В соответствии со сказанным объемная плотность мощности сторонних сил:

.

 

Теорема Пойтинга

Теорема Пойтинга устанавливает соответствие баланса электромагнитной энергии (см. п. 1.7) системе уравнений Максвелла.

Произведем с уравнениями Максвелла в дифференциальной форме некоторые преобразования.

Умножим почленно второе уравнение скалярно на , а первое – на . Затем вычтем почленно из первого второе. После некоторых преобразований получим:

.

 

Это и есть уравнение Пойтинга в дифференциальной форме.

Вычислим скорость электромагнитной волны как скорость переноса энергии и массы поля (рис. 5).

Дано: – плотность потока энер­гии; v – объемная плотность энергии волны.

Найти: – энергетическую скорость электромагнитной волны.

Решение: за время энергия заполняет объем , где .
В то же время . Приравнивая оба выражения для получим:

,

 

откуда энергетическая скорость электромагнитной волны определится как

 

.

 

Выполняя те же операции с уравнениями Максвелла в комплексной форме, получим выражение:

 

,

 

где – мнимая часть сторонней мощности (символ «» означает усреднение за период).

Последнее уравнение есть уравнение Пойтинга в комплексной форме.

В процессе распространения волны электрическая энергия непрерывно переходит в магнитную и обратно. Поскольку существует равновесие электрического и магнитного полей в распространяющейся волне, то для скорости распространения волны можно получить следующее соотношение:

 

.

 

Сравнивая полученное выражение с выражением для фазовой скорости волны, получаем важный вывод: в диэлектрике с малыми потерями энергетическая скорость волны совпадает по величине и направлению с ее фазовой скоростью.

Теорема единственности

Методы решения задач электродинамики, основанные на рассмотренных выше уравнениях, могут быть различными.

Однако решение, полученное каким-либо способом, единственно, т.е. электромагнитное поле определяется однозначно по заданному распределению источников.

Рассмотрим внутреннюю и внешнюю задачи.

Для области пространства, ограниченной поверхностью S верна следующая теорема. Монохроматическое электромагнитное поле в определенной ограниченной области V определится однозначно, если:

- в каждой точке области среда обладает электрическими либо магнитными потерями (); величина этих потерь может быть весьма мала;

- заданы источники в этой области;

- заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на границе этой области.

Очевидно, что при отсутствии потерь в среде возможно существование свободных незатухающих колебаний, не связанных с источниками. В этом случае решение внутренней задачи становится неоднозначным.

Внешняя задача. Пусть рассматриваемое пространство неограничен­но, т.е. внешней границы S не существует. Это эквивалентно сфере с бесконечно большим радиусом. В этом случае монохроматическое поле определяется в безграничной области однозначно, если:

- в каждой точке пространства среда обладает либо электрическими, либо магнитными потерями;

- заданы источники в этой области;

- заданы значения тангенциальной составляющей электрического или магнитного вектора на внутренней границе области;

- все источники находятся на конечном расстоянии от начала координат;

- поля убывают на бесконечности быстрее, чем .

Первые три условия совпадают с соответствующими условиями для внутренней задачи.

Таким образом, найденные любым способом решение корректно поставленной задачи отвечает действительному распределению поля, и никакого другого решения быть не может.