Статистические данные о расходах на семью

№ группы	Расход на питание (у)	Душевой доход (x1)	Размер семей (х2)
			1,5
			2,1
			2,7
			3,2
			3,4
			3,6
			3,7
			4,0
			3,7

 

Рассмотрим сначала однофакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х ₁ ). Она выражается линейной функцией следующего вида:

 

Параметры a ₀и а ₁можно найти, решив систему нормальных уравнений, которая, в свою очередь, формируется с применением метода наименьших квадратов. Система нормальных уравнений для рассматриваемого случая имеет вид:

 

 

где суммирование проводится по всем n группам. Используя данные табл. 25.7, получим систему уравнений:

 

решением которой являются значения a ₀ = 549,68 и а ₁= 0,1257.

Таким образом, модель имеет вид;

 

 

Уравнение (25.73) называется уравнением регрессии, коэффициент а ₁называется коэффициентом регрессии. Направление связи между у и х ₁определяет знак коэффициента регрессии а ₁(в нашем случае данная связь является прямой). Теснота этой связи определяется коэффициентом корреляции:

 

 

где S_y есть средняя квадратическая ошибка выборки у в табл. 25.7. Она находится по формуле:

 

 

где – средняя арифметическая значений у, а – средняя квадратическая ошибка нашего уравнения (25.73). Последняя определяется следующим образом:

 

 

где есть соответствующее значение, вычисленное по модели (25.73). В этих формулах, как и ранее, суммирование ведется по всем группам.

Чем ближе значение коэффициента корреляции к единице, тем теснее корреляционная связь. В нашем примере S_y ² = 454 070, = 63 846, следовательно:

 

Полученное значение свидетельствует, что связь между расходами на питание и душевым доходом очень тесная. Величина называется коэффициентам детерминации и показывают долю изменения (вариации) результативного признака под действием факторного признака. В нашем случае = 0,859; это означает, что фактором душевого дохода можно объяснить почти 86% изменения расходов на питание.

Рассмотрим теперь двухфакторную линейную модель зависимости расходов на питание (у) от величины душевого дохода семей (х ₁ ) и размера семей (х ₂ ). Множественный (многофакторный) корреляционно-регрессивный анализ решает три задачи: определяет форму связи результативного признака с факторными, выявляет тесноту этой связи и устанавливает влияние отдельных факторов. В нашем случае эта модель имеет вид:

 

 

Параметры модели a ₀, а ₁ и а ₂находятся путем решения системы нормальных уравнений:

 

 

Используя данные табл. 25.7, получим систему нормальных уравнений в таком виде:

 

 

Решая эту систему (например, методом Гаусса), получим: a ₀= 18,63; а ₁ = 0,0985; a ₂ = 224,6, так что модель (25.75) имеет вид:

 

Для определения тесноты связи предварительно вычисляются парные коэффициенты корреляции . Например:

 

где черта над символами означает среднюю арифметическую, a S_y и S_x1 – средние квадратические ошибки соответствующих выборок из табл. 27.7. Их можно вычислить следующим образом:

 

 

Аналогичный вид имеют формулы для и .

После этого вычисляется коэффициент множественной корреляции:

 

 

Данный коэффициент колеблется в пределах от 0 до 1; чем ближе он к единице, тем в большей степени учтены факторы, влияющие на результативный признак.

В нашем примере расчеты дают следующие значения коэффициента множественной корреляции: =0,983, что выше значения коэффициента корреляции в случае однофакторной модели. Таким образом, связь расходов на питание с факторами душевого дохода и размера семей является очень высокой.

Величина называется совокупным коэффициентом детерминации и показывает долю вариации результативного признака под воздействием изучаемых факторных признаков. В нашем примере = 0,966; это означает, что совместное влияние = 0,966; это означает, что совместное влияние душевого дохода и размера семей объясняет почти 97% изменения расходов на питание.

Задача анализа тесноты связи между результативным и одним из факторных признаков при неизменных значениях других факторов решается в многофакторных моделях при помощи частных коэффициентов корреляции. Так, частный коэффициент корреляции между результативным признаком у и факторным признаком х ₁при неизменном значении факторного признака х ₁рассчитывается по формуле:

 

где используются парные коэффициенты корреляции, рассчитываемые по формулам, аналогичным (25.77). Аналогичная формула имеет место для частного коэффициента корреляции между результативным признаком у и факторным признаком x ₂ при неизменном значении факторного признака х ₁.

Для рассматриваемого примера частные коэффициенты корреляции расходов на питание от душевого дохода и размера семей составляют:

 

 

Это означает, что теснота связи между расходами на питание и одним из исследуемых факторов при неизменном значении другого весьма велика.

Если частные коэффициенты корреляции возвести в квадрат, то получим частные коэффициенты детерминации, показывающие долю вариации результативного признака под действием одного из факторов при неизменном значении другого фактора. В нашей задаче , следовательно, влиянием душевого дохода при неизменном размере семьи объясняется почти 86% изменения расходов на питание, а изменение размера семьи при неизменном душевом доходе объясняет более 72% изменения расходов на питание.

Влияние отдельных факторов в многофакторных моделях может быть охарактеризовано с помощью частных коэффициентов эластичности, которые в случае линейной двухфакторной модели (25.75) считываются по формулам:

 

 

Черта над символом, как и ранее, означает среднюю арифметическую величину. Частные коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов изменится результативный признак, если значение одного из факторных признаков изменится на 1%, а значение другого факторного признака останется неизменным.

В рассматриваемом примере а ₁= 0,0985; а ₂= 224,6; = 1313,9; = 6080,6; = 3,1, следовательно, по формулам (25.80) получим:

 

Это означает, что при увеличении душевого дохода на 1% и неизменном размере семьи расходы на питание увеличатся на 0,456%, а увеличение (условное) на 1% размера семьи при неизменяем душевом доходе приведет к возрастанию расходов на питание на 0,530 %.

 

Вопросы для повторения

 

1. Перечислите важнейшие методы экономико-математического моделирования и сферы их оптимального применения в маркетинге.

2. Каков характер применения балансовых моделей в маркетинге?

3. Раскройте сущность модели межотраслевого баланса.

4. Опишите назначение и структуру оптимизационных моделей. Какие задачи маркетинга можно решать с их помощью?

5. Какие важнейшие методы и модели управления товарными запасами используются в маркетинге?

6. Перечислите основные системы регулирования товарных запасов и дайте их краткие характеристики.

7. Дайте определение понятия целевой функции потребления и кривых безразличия.

8. В чем суть построения функций спроса от дохода?

9. Назовите особенности построения структурных и конструктивных моделей спроса.

10. Опишите построение аналитических моделей спроса и потребления на основе корреляционно-регрессивного анализа.