Завдання на розуміння мови математичних символів

Конспект уроку

Тема уроку. Прямі і площини в просторі.

Мета уроку: сформувати уявлення про площину, прос­тір, нескінченність; ознайомити учнів зі способами задання площини, розміщення площин і прямих у просторі.

Література:

1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія 10кл. – К., 2010

2. Нелін Є.П. Геометрія 10 кл. – Х, 2010

Хід уроку

І. Виклад матеріалу.

Поняття простору і площини

Досі ви вивчали геометрію площини — планімет­рію. Сьогодні ознайомимося з геометрією про­стору — стереометрією. Так само, як і планіметрія, стереометрія оперує поняттями: точка, відрізок, промінь, пряма, та додається нове поняття — «пло­щина». Щоб створити образ цього поняття, уявімо рух точки, прямої і площини.

Точка рухається в одному напрямі, образом її руху є... (учні відповідають — пряма).

Горизонтальна пряма рухається, скажімо, верти­кально. Образом її руху стане..(площина, — відпові­дають учні). Площина рухається і заповнює простір.

Зауважимо, що пряма, площина, простір не­скінченні.

З площинами ми зустрі­чаємося щодня, наприклад, моделлю пло­щини може бути, скажімо, по­верхня учнівського стола.

Пригадаємо, як можуть розміщатися прямі на площині. (Учні відповідають.) Правильно, прямі можуть перетинатися і не пе­ретинатися.

Як же можна задати площину? (Учні відповідають.) Отже, площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній прямій, па­ралельними прямими, прямими, що перетинаються, прямою і точкою, що не лежить на цій прямій.

Розміщення площин і прямих у просторі.

Площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Запис: .

Площини перетинаються, якщо вони мають хоча б одну спільну точку. Площини перетинаються по прямій. Запис: .

Паралельні площини і площини, що перетина­ються, утворюють видимий об'єм наших приміщень. У просторі, так само, як і на площині, пряма за­дається двома точками. Прямі можуть бути паралель­ними або перетинатися, тоді вони лежать в одній площині.

Прямі в просторі, які лежать у різних площинах, та не паралельні і не перетинаються, називаються мимобіжними.

Розміщення прямої і площини.

Пряма і площина можуть перетинатися. Запис: .

Пряма може бути паралельною площині. Запис: . У цьому випадку пряма і площина спільних точок не мають.

Пряма, яка перетинає площину, перпендикуляр­на до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, і прохо­дить через точку перетину. Запис: .

Відстанню від точки до площини називається дов­жина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпен­дикулярна до прямої перетину даних площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

II. Закріплення матеріалу.

Задачі на розглядання

Задача 1. Назвіть (рис. 1):

а) точку перетину прямої АD і площини DD₁C;

б) лінію перетину площин АDD₁і DD₁С;

в) в яких площинах лежить точка В;

г)

D

C1

B1

три прямі, що проходять через точку D, пере­тинають четверту в точках А, В, С.

K

M

C

A

B

A

D

C

B

D1

A1

 

 

Рис. 1 Рис. 2

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 2. Назвіть (рис. 2):

а) точку перетину прямої BDі площини АВС;

б) лінію перетину площини АВD і СВD;

в) в якій площині не лежить точка С.

Прямі АВ і АС перетинаються з деякою прямою в точкахК і М відповідно. Доведіть, що М, К, С, і В лежать в одній площині.

Задача 3. Назвіть (рис. 3):

а) точку перетину прямої МС і площини ВKС;

б) лінію перетину площин MLС і ВСK;

в) в яких площинах лежить пряма МD.

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 4. Побудуйте лінію перетину (рис. 4):

а) площини АВСі прямої МК;

б)

D

K

площини МКВ і АВ.

K

M

B

C

A

L

M

N

A

B

C

D

 

Рис. 3 Рис. 4

 

Задачі на уяву

1. Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, що не лежать на одній прямій?

2. Чи можуть дві різні площини перетинатися по двох прямих?

3. Прямі а, b, c не належать одній площині, але проходять через одну точку. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, взяті по дві?

4. Площини перетинаються по прямій а. Пряма b, що лежить у одній площині, перетинає іншу площину в точці А. Де лежить точка А?

5. Точки А і В та пряма СD не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих CD i AB?

ІІІ. Домашнє завдання.

Вивчити опорний конспект, розв’язати задачі.

Запишіть висловлення мовою символів:

а) пряма а перетинає площину в точці В;

б) прямі КА і КВ перетинаються в точці К;

в) пряма КН перпендикулярна до прямої МС. На перетині прямих лежить точка К.

Тестові завдання

1. а) Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. яка з точок лежить у площині квадрата АВСD?

1) М; 2) К; 3) N; 4) Р.

б) Дано тетраедр АВСS. Яка з точок не лежить у площині трикутника АВС?

D1

S

.M

C1

1) X; 2) Z; 3) Y;

. P

N.

.K

A

B

B1

D

C

A1

. Z

X.

. Y

B

A

C

 

 

2. а) Якій із вказаних площин куба не належить точка А?

1) ВСD; 2) А₁С₁С; 3) ВВ₁А₁; 4) ВСС₁.

б) Якій із вказаних площин тетраедра належить точка X?

1) ASB; 2) ASC; 3) BSC; 4) ABC.

4. а) Площини тетраедра АSС і АSВ перетинаються по прямій:

1) AS; 2) AB; 3) AC; 4) SC.

б) Площини куба АВС і В₁ВD перетинаються по прямій:

1) ВС; 2) ВD; 3) АВ; 4) ВВ₁.

 

Академічний рівень

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про аксіоматичний метод.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зо-крема паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

- обчислювати відстані і кути у просторі;

- застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також вимірювання відстаней і кутів у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Паралельність прямої та площини. Паралельність площин. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії.

Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути розумне поєднання наочно-геометричного та логічного у викладі. При вивченні основних понять і фактів, пов’язаних зі взаємним розміщенням прямих і площин, слід віддати перевагу синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використовувати вектори та координати для поглиблення та розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у просторі. Такий підхід зберігає логічні зв’язки між зазначеними питаннями. Адже для вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність прямих і площин, для введення координат у просторі – перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин тощо.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню цих зображень до розв’язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.

Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла, зокрема куб і тетраедр.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Конспект уроку

Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них до розв’язування задач.

Література:

1. Біляніна О.Я., Білянін Г.І., Швець В.О. Геометрія 10 клас: Академічний рівень. – К.: Генеза, 2010.

2. Погорєлов А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989.

Хід уроку

І. Вступ

У 10 класі починаємо вивчати новий розділ геометрії – стереометрію. У молодших класах вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник, трапеція тощо) вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.

Тестові завдання

1. а) Які з наведених фігур можуть бути тільки плоскими, а які — тільки просторовими?

1 ) круг; 2) куля; 3) квадрат; 4) куб; 5) прямокут­ний паралелепіпед; 6) ромб; 7) піраміда; 8) циліндр.

б) Наведіть приклади плоских та просторових фігур з навколишнього оточення.

S

2. Назвіть вершини, ребра та грані многогранників, зображених на малюнках.

 

а) б)

A

B

C

D

B

A

C

 

 

3. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Вкажіть:

а) точки, що не належать грані АА₁DD₁;

б) точки, що належать грані ВВ₁С₁С.

 

4. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Вкажіть:

а) пряму перетину грані АА₁D₁D і нижньої основи;

б) пряму перетину грані ВВ₁С₁С і нижньої основи.

5. а) Столяр за допомогою двох ниток перевіряє, чи буде стійким на рівній підлозі виготовлений стілець, що має чотири ніжки. Як для цього треба натягнути нитки? На яке теоретичне положення спи­рається така перевірка?

б) Щоб поверхня розпилу чотирикутної балки була плоскою, тесля робить так: позначає на ребрі балки точку А та проводить від неї у потрібному на­прямі дві прямі АВ і АС у суміжних площинах по­верхні балки; потім скеровує пилку по намічених прямих. Поясніть, чому у такий спосіб одержимо плоску поверхню розпилу.

6. Дано зображення куба АВСDА₁В₁С₁D₁. Доведіть, що можна провести площину:

а) через прямі АС і СС₁;

б) через прямі ВD і DD₁.

7. а) Чи можуть дві площини мати тільки одну спільну точку?

б) Чи можуть три площини мати тільки одну спільну точку?

Конспект уроку

Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.

Література:

1. Бевз Г.П. та ін. Геометрія: Підручник для 10-11 кл. з поглибленим вивч. математики. – К.: Освіта, 2000.

Хід уроку

І. Вступ

Логічна побудова геометрії

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Геометрія – це наука про власти­вості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.

– Які ви знаєте види фігур?

Наприклад, трикутник, круг, куб.

– Які відношення між фігурами вивчає геометрія?

Такі відношення між фігурами, як рівність, по­дібність, паралельність, перпендикулярність.

– Назвіть розглядувані пе­ретворення фігур.

Наприклад, симетрія, поворот, подібність.

– З якими геометричними величинами має справу геометрія?

Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.

На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.

– Що це означає?

Дедукція (від лат. deduction – виведення) у широкому розумінні – це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція – це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.

– Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?

У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.

Ці два поняття належать до первісних понять, яким домовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших по­нять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр визначається через первісне поняття «пряма».

Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в гео­метрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.

– Що називають квадратом?

Як відомо, квадратом називають пря­мокутник, у якого всі сторони рівні.

– Через яку фігуру означається прямокутник?

Прямокутник визначається че­рез паралелограм, у якого всі кути прямі.

– Дайте означення паралелограма.

Паралелограм визначаєть­ся через чотирикутник.

Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є по­няття „належати” для точок і прямих, „лежати між” – для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і біль­шість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.

– Від якого реального об’єкта абстрагують пряму?

Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продов­женою, вона не має товщини.

Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твер­дженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без дове­дення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають влас­тивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кіль­кість домовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.

– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з по­гляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

– Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

– Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

1. Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних та раніше означених понять фор­мулюються означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.

ІІІ. Задачі на доведення

Задача 1. Точки А, В, С і D не лежать в одній площині. Доведіть, що прямі АВ і СD не перетинаються.

Доведення.

– Скористаємось методом від супротивного.

– Яке можемо зробити припущення?

– Маємо дві прямі, що перетинаються. Яке з щойно вивчених тверджень можемо застосувати?

– Якщо прямі АВ і СD визначають площину , то який висновок можемо зробити щодо точок?

– У чому полягає отримане протиріччя?

Нехай прямі АВ і СD перетинаються, тоді за аксіомою С3: , а це означає, що точки А, В, С і D лежать в одній площині. Отримали протиріччя з умовою задачі. Значить прямі АВ і СD не перетинаються.

Задача 2. Чотири точки не лежать в одній площині. Чи можуть будь-які три з них лежати на одній прямій.

Доведення.

– Яке можна висунути припущення?

– Яке відоме вам твердження можна застосувати?

– З якою умовою ми отримали протиріччя?

Нехай три точки лежать на одній прямій, а четверта не належить цій прямій. Тоді за теоремою-наслідком 1 можна провести єдину площину, якій належить дані пряма і точка. Це означає, що задані умовою чотири точки належать одній площині. За умовою задачі це не можливо. Значить будь-які три з цих точок не можуть лежати на одній прямій.

IV. Підсумок уроку

Сьогоднішній урок було присвячено ідеї дедуктивної побудови геометрії, походженню та ролі первісних понять і аксіом, ми пригадали аксіоми планіметрії, ознайомилися з аксіомами стереометрії та наслідками з них. Завершити урок хочеться прикладами використання аксіом та їх наслідків у виробничій діяльності людини.

1) Тесляр перевіряє, чи розміщуються кінці ніжок стола в одній площині, від чого залежить стійкість стола. Він натягує нитки на кінці ніжок і перевіряє, чи перетинаються вони (аксіома С3).

2) Тесляр перевіряє якість поверхні стола, що виготовляється, прикладаючи до кришки в різних напрямках лінійку. Якщо між лінійкою і кришкою стола немає просвітів, то стіл виготовлено якісно (теорема 2).

3) На теоремі 3 ґрунтується будова штативів для фотоапаратів і різних геодезичних приладів. Кінці ніжок штативів належать одній площині, внаслідок чого прилад займає стійке положення.

Тестові завдання

2.

С1

D1

На малюнку зображено куб АВСDА₁В₁С₁D₁. Знайдіть кути трикутника В₁D₁С.

В1

А1

D

C

B

A

 

3. Як розмістити три прямі так, щоб вони утворили 12 прямих кутів?

4. Чи вірно, що пряма, яка має з колом тільки одну спільну точку, є дотичною до кола в цій точці:

1) на площині; 2) у просторі?

4. Довести, що через дві довільні точки можна провести хоча б одну площину.

5. Чи можна стверджувати, що всі точки кола належать площині, якщо це коло має з даною площиною:

1) дві спільні точки; 2) три спільні точки.

6. Через три точки можна провести дві різні площини. Як розташовані ці точки?

 

 

Конспект уроку

Тема уроку. Прямі і площини в просторі.

Мета уроку: сформувати уявлення про площину, прос­тір, нескінченність; ознайомити учнів зі способами задання площини, розміщення площин і прямих у просторі.

Література:

1. Бурда М.І., Тарасенкова Н.А. Геометрія 10кл. – К., 2010

2. Нелін Є.П. Геометрія 10 кл. – Х, 2010

Хід уроку

І. Виклад матеріалу.

Поняття простору і площини

Досі ви вивчали геометрію площини — планімет­рію. Сьогодні ознайомимося з геометрією про­стору — стереометрією. Так само, як і планіметрія, стереометрія оперує поняттями: точка, відрізок, промінь, пряма, та додається нове поняття — «пло­щина». Щоб створити образ цього поняття, уявімо рух точки, прямої і площини.

Точка рухається в одному напрямі, образом її руху є... (учні відповідають — пряма).

Горизонтальна пряма рухається, скажімо, верти­кально. Образом її руху стане..(площина, — відпові­дають учні). Площина рухається і заповнює простір.

Зауважимо, що пряма, площина, простір не­скінченні.

З площинами ми зустрі­чаємося щодня, наприклад, моделлю пло­щини може бути, скажімо, по­верхня учнівського стола.

Пригадаємо, як можуть розміщатися прямі на площині. (Учні відповідають.) Правильно, прямі можуть перетинатися і не пе­ретинатися.

Як же можна задати площину? (Учні відповідають.) Отже, площину можна задати: трьома точками, що не лежать на одній прямій, па­ралельними прямими, прямими, що перетинаються, прямою і точкою, що не лежить на цій прямій.

Розміщення площин і прямих у просторі.

Площини називаються паралельними, якщо вони не мають спільних точок. Запис: .

Площини перетинаються, якщо вони мають хоча б одну спільну точку. Площини перетинаються по прямій. Запис: .

Паралельні площини і площини, що перетина­ються, утворюють видимий об'єм наших приміщень. У просторі, так само, як і на площині, пряма за­дається двома точками. Прямі можуть бути паралель­ними або перетинатися, тоді вони лежать в одній площині.

Прямі в просторі, які лежать у різних площинах, та не паралельні і не перетинаються, називаються мимобіжними.

Розміщення прямої і площини.

Пряма і площина можуть перетинатися. Запис: .

Пряма може бути паралельною площині. Запис: . У цьому випадку пряма і площина спільних точок не мають.

Пряма, яка перетинає площину, перпендикуляр­на до цієї площини, якщо вона перпендикулярна до будь-якої прямої, що лежить у цій площині, і прохо­дить через точку перетину. Запис: .

Відстанню від точки до площини називається дов­жина перпендикуляра, проведеного з цієї точки до площини.

Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпен­дикулярна до прямої перетину даних площин, пере­тинає їх по перпендикулярних прямих.

II. Закріплення матеріалу.

Задачі на розглядання

Задача 1. Назвіть (рис. 1):

а) точку перетину прямої АD і площини DD₁C;

б) лінію перетину площин АDD₁і DD₁С;

в) в яких площинах лежить точка В;

г)

D

C1

B1

три прямі, що проходять через точку D, пере­тинають четверту в точках А, В, С.

K

M

C

A

B

A

D

C

B

D1

A1

 

 

Рис. 1 Рис. 2

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 2. Назвіть (рис. 2):

а) точку перетину прямої BDі площини АВС;

б) лінію перетину площини АВD і СВD;

в) в якій площині не лежить точка С.

Прямі АВ і АС перетинаються з деякою прямою в точкахК і М відповідно. Доведіть, що М, К, С, і В лежать в одній площині.

Задача 3. Назвіть (рис. 3):

а) точку перетину прямої МС і площини ВKС;

б) лінію перетину площин MLС і ВСK;

в) в яких площинах лежить пряма МD.

Доведіть, що точки А, В, С і D лежать в одній площині.

Задача 4. Побудуйте лінію перетину (рис. 4):

а) площини АВСі прямої МК;

б)

D

K

площини МКВ і АВ.

K

M

B

C

A

L

M

N

A

B

C

D

 

Рис. 3 Рис. 4

 

Задачі на уяву

1. Чи можуть дві різні площини мати три спільні точки, що не лежать на одній прямій?

2. Чи можуть дві різні площини перетинатися по двох прямих?

3. Прямі а, b, c не належать одній площині, але проходять через одну точку. Скільки різних площин можна провести через ці прямі, взяті по дві?

4. Площини перетинаються по прямій а. Пряма b, що лежить у одній площині, перетинає іншу площину в точці А. Де лежить точка А?

5. Точки А і В та пряма СD не лежать в одній площині. Яке взаємне розміщення прямих CD i AB?

Завдання на розуміння мови математичних символів

1. Дано вирази

1) Серед цих виразів знайдіть помилкові.

2) Який із записів відповідає висловленню:

а) площини перетинаються по прямій а;

б) точка А є точкою перетину площини і прямої а?

2. Як можуть розміщатися прямі а та АВ у площинах і ? Запишіть мовою символів.

ІІІ. Домашнє завдання.

Вивчити опорний конспект, розв’язати задачі.

Запишіть висловлення мовою символів:

а) пряма а перетинає площину в точці В;

б) прямі КА і КВ перетинаються в точці К;

в) пряма КН перпендикулярна до прямої МС. На перетині прямих лежить точка К.

Тестові завдання

1. а) Дано куб АВСDА₁В₁С₁D₁. яка з точок лежить у площині квадрата АВСD?

1) М; 2) К; 3) N; 4) Р.

б) Дано тетраедр АВСS. Яка з точок не лежить у площині трикутника АВС?

D1

S

.M

C1

1) X; 2) Z; 3) Y;

. P

N.

.K

A

B

B1

D

C

A1

. Z

X.

. Y

B

A

C

 

 

2. а) Якій із вказаних площин куба не належить точка А?

1) ВСD; 2) А₁С₁С; 3) ВВ₁А₁; 4) ВСС₁.

б) Якій із вказаних площин тетраедра належить точка X?

1) ASB; 2) ASC; 3) BSC; 4) ABC.

4. а) Площини тетраедра АSС і АSВ перетинаються по прямій:

1) AS; 2) AB; 3) AC; 4) SC.

б) Площини куба АВС і В₁ВD перетинаються по прямій:

1) ВС; 2) ВD; 3) АВ; 4) ВВ₁.

 

Академічний рівень

Тема. Прямі та площини у просторі

МЕТА

Мета теми – закласти основи для навчання учнів конструюванню геометричних тіл, дослідженню їх властивостей і вимірюванню геометричних величин, що пов’язані з ними; продовжити реалізацію ідеї моделювання реальних об’єктів і відношень між ними за допомогою найпростіших просторових геометричних фігур і відповідних математичних відношень; сприяти розвитку в учнів навичок логічного виведення, уявлень про аксіоматичний метод.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

В результаті вивчення теми учні повинні вміти:

- встановлювати у просторі взаємне розміщення прямих і площин, зо-крема паралельність і перпендикулярність прямих, прямої і площини, двох площин;

- будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

- обчислювати відстані і кути у просторі;

- застосовувати відношення паралельності і перпендикулярності, а також вимірювання відстаней і кутів у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Аксіоми стереометрії та найпростіші наслідки з них.

Взаємне розміщення двох прямих у просторі. Паралельність прямої та площини. Паралельність площин. Паралельне проектування та його властивості. Зображення фігур у стереометрії.

Перпендикулярність прямої і площини. Перпендикулярність площин. Ортогональне проектування. Вимірювання відстаней у просторі. Вимірювання кутів у просторі.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути розумне поєднання наочно-геометричного та логічного у викладі. При вивченні основних понять і фактів, пов’язаних зі взаємним розміщенням прямих і площин, слід віддати перевагу синтетичному, наочно-геометричному викладенню, а потім використовувати вектори та координати для поглиблення та розширення знань учнів при вивченні прямих і площин у просторі. Такий підхід зберігає логічні зв’язки між зазначеними питаннями. Адже для вивчення поняття вектора у просторі і його властивостей використовується паралельність прямих і площин, для введення координат у просторі – перпендикулярність прямої і площини, перпендикулярність площин тощо.

Формування просторових уявлень учнів є головним завданням даної теми. Тому важливе місце треба відвести їх навчанню зображати просторові фігури на площині і застосуванню цих зображень до розв’язування задач. І зробити це доцільно якомога раніше.

Для ілюстрації розглядуваних понять і теорем доцільно використовувати найпростіші тіла, зокрема куб і тетраедр.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних об’єктів (прямих, площин) і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Конспект уроку

Тема уроку. Основні поняття стереометрії. Просторові тіла. Аксіоми стереометрії.

Мета уроку: ознайомити учнів з основними поняттями стереометрії, сприяти формуванню в учнів уявлень про найпростіші просторові тіла, про аксіоматичний метод, розвитку навичок логічного виведення, а також застосування аксіом стереометрії та наслідків з них до розв’язування задач.

Література:

1. Біляніна О.Я., Білянін Г.І., Швець В.О. Геометрія 10 клас: Академічний рівень. – К.: Генеза, 2010.

2. Погорєлов А. В. Геометрія 7-11 кл., Просвещение, 1989.

Хід уроку

І. Вступ

У 10 класі починаємо вивчати новий розділ геометрії – стереометрію. У молодших класах вивчали такий розділ, як планіметрія, тобто всі фігури (точка, пряма, трикутник, трапеція тощо) вивчали на площині. Саму ж площину як фігуру не розглядали.