Тема. Аксіоми стереометрії, найпростіші геометричні тіла. Взаємне розташування прямих у просторі. Взаємне розташування прямих і площин у просторі

МЕТА

Мета теми – розширити і систематизувати відомості про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі. Дати систематизовані знання про паралельність і перпендикулярність прямих і площин у просторі, сформувати вміння застосовувати відповідні властивості й ознаки до розв’язування задач.

ОСНОВНІ ВИМОГИ

У результаті вивчення теми учні повинні вміти:

-застосовувати аксіоми та наслідки з них до розв’язування геометричних і практичних задач;

-доводити властивості й ознаки паралельності прямих і площин та застосовувати їх до розв’язування задач;

-будувати зображення фігур і на зображеннях виконувати нескладні побудови (елементів фігур, точок перетину прямої та площини, двох площин, переріз куба, тетраедра тощо);

-обчислювати відстані і кути у просторі.

ЗМІСТ ТЕМИ

Основні поняття і аксіоми стереометрії. Техніка виконання найпростіших стереометричних креслень. Паралельні, мимобіжні прямі та прямі, що перетинаються. Напрям у просторі. Визначення кута між мимобіжними прямими.

Паралельність прямих і площин. Паралельне проектування та його властивості. Паралельність площин. Просторова теорема Фалеса.

Перпендикулярність прямих і площин. Перпендикуляр і похила до площини. Перпендикулярні площини. Ортогональне проектування. Відстані у просторі. Кут між прямою і площиною. Двогранні та многогранні кути.

МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

Однією з основних цілей вивчення стереометрії є усвідомлення учнями структури логічної побудови стереометрії. Обов’язковим завданням є розвиток логічного мислення, просторової уяви, абстрактного мислення, а також ілюстрація зв’язку з реальним життям.

Курс стереометрії по відношенню до курсу планіметрії є систематизуючим і узагальнюючим. Багато тем зі стереометрії розглядається за аналогією з відповідними темами з планіметрії (вектори, координати).

Однією з головних особливостей викладання стереометрії повинно бути широке застосування геометричних образів, їх моделей і зображень, залучення учнів до їх виготовлення. Учні повинні навчитися перш за все “бачити” розміщення прямих і площин, відповідні кути і відстані, а вже потім вміти обґрунтувати свої просторові уявлення, спираючись на означення, ознаки, властивості та інші твердження.

Іншим ефективним засобом формування просторових уявлень учнів є використання системи усних вправ. Вони сприяють введенню нових понять і закріпленню вже відомих. Важливе місце треба відвести навчанню зображати просторові фігури на площині, а також виконувати нескладні побудови на зображеннях. Перш за все мається на увазі побудова різних елементів фігур, точок перетину прямої і площини, двох площин. Крім того, достатню увагу треба звернути на побудову перерізів куба, паралелепіпеда, тетраедра, використанню креслень і малюнків у без клітинному зошиті з використанням різних кольорів.

Особливу увагу необхідно приділити реалізації прикладної спрямованості викладання теми. Головним в цьому є формування чітких уявлень про взаємовідношення властивостей геометричних фігур і відношень між ними і предметами навколишнього середовища.

Труднощі перших уроків стереометрії полягають в тому, що учням необхідно оперувати тільки такими геометричними фігурами, як площина, точка, пряма. Усунення цих труднощів є можливим за рахунок введення многогранників. Підсумкові уроки можна проводити як у формі конференції, так і у формі узагальнюючої лекції.

Конспект уроку

Тема уроку. Виникнення і розвиток стереометрії. Аксіоми та наслідки з них.

Мета уроку: розширити і систематизувати відомості учнів про властивості основних геометричних фігур на площині і в просторі.

Література:

1. Бевз Г.П. та ін. Геометрія: Підручник для 10-11 кл. з поглибленим вивч. математики. – К.: Освіта, 2000.

Хід уроку

І. Вступ

Логічна побудова геометрії

Кожна наука і кожний навчальний предмет у школі оперують певним колом понять, вивчають їх властивості і відношення між ними. Геометрія – це наука про власти­вості геометричних фігур, і вона має справу з такими поняттями, як геометрична фігура.

– Які ви знаєте види фігур?

Наприклад, трикутник, круг, куб.

– Які відношення між фігурами вивчає геометрія?

Такі відношення між фігурами, як рівність, по­дібність, паралельність, перпендикулярність.

– Назвіть розглядувані пе­ретворення фігур.

Наприклад, симетрія, поворот, подібність.

– З якими геометричними величинами має справу геометрія?

Це довжини відрізка, кола, градусна міра кута, площа, об'єм.

На відміну від інших наук геометрія має специфіку в своїй побудові. Вона побудована дедуктивно.

– Що це означає?

Дедукція (від лат. deduction – виведення) у широкому розумінні – це така форма мислення, коли нова думка виводиться суто логічно з деяких даних думок-посилань. У вужчому розумінні дедукція – це такий умовивід, внаслідок якого одержуються нові знання про предмети або групи предметів на основі вже наявних знань про досліджувані предмети.

– Що вивчає планіметрія? Які її найпростіші фігури?

У планіметрії вивчаються фігури на площині. Найпростішими фігурами в планіметрії є точка і пряма.

Ці два поняття належать до первісних понять, яким домовились не давати означень і використовувати їх при означенні інших по­нять. Наприклад, серединним перпендикуляром до відрізка називається пряма, яка перпендикулярна до цього відрізка і проходить через його середину. Тут серединний перпендикуляр визначається через первісне поняття «пряма».

Потреба в первісних поняттях і їх роль в геометрії саме і пов'язані з дедуктивним характером її побудови. Справді, в гео­метрії кожне нове поняття, крім первісних, означається або на основі первісних, або на основі раніше означених понять. Розглянемо ще один приклад.

– Що називають квадратом?

Як відомо, квадратом називають пря­мокутник, у якого всі сторони рівні.

– Через яку фігуру означається прямокутник?

Прямокутник визначається че­рез паралелограм, у якого всі кути прямі.

– Дайте означення паралелограма.

Паралелограм визначаєть­ся через чотирикутник.

Крім точки і прямої, первісними поняттями планіметрії є по­няття „належати” для точок і прямих, „лежати між” – для трьох точок прямої, „довжина відрізка”, „градусна міра кута”. Первісні поняття, як і біль­шість означуваних, походять від об'єктів, що існують реально, і є абстракцією від них. Наприклад, поняття „площина” походить від реальної поверхні кришки стола або поверхні озера. Однак площину ми уявляємо необмежене продовженою, вона не має товщини.

– Від якого реального об’єкта абстрагують пряму?

Пряма образ туго натягнутої нитки або дроту. Проте пряма в геометрії не має кінців і уявляється необмежене продов­женою, вона не має товщини.

Крім первісних і означуваних понять геометрія оперує твер­дженнями, що виражають властивості понять. Вони бувають двох видів: аксіоми і теореми. Твердження, що виражають властивості найпростіших фігур (первісних понять) і приймаються без дове­дення, називаються аксіомами. Твердження, що виражають влас­тивості геометричних фігур і доводяться, мають назву теорем. Потреба і роль аксіом теж спричинені дедуктивним характером побудови геометрії. Тут ми маємо аналогічну схему, бо кожне нове твердження доводиться на основі раніше відомого, вже доведеного твердження і т. д. Оскільки ланцюжок тверджень не може бути нескінченним, виникає потреба невелику їх кіль­кість домовитись прийняти без доведення і використовувати при доведенні інших.

– Проаналізуємо означення „Суміжні кути” з по­гляду того, через які раніше відомі поняття воно формулюється. Пригадаємо його.

Два кути називаються суміжними, якщо одна їх сторона спільна, а інші сторони цих кутів є додатковими півпрямими.

– Через які поняття воно означається?

Воно означається через поняття сторона кута та півпряма.

– Виділимо основні поняття, відношення та величини.

Основні поняття: точка і пряма, основні відношення: лежати між, лежати на, основні величини: градусна міра кута.

– Як висновок, розглянемо наступну схему побудови геометрії.

1. Перелічуються первісні (неозначувані) поняття.

2. Формулюються аксіоми про властивості первісних понять.

3. За допомогою первісних та раніше означених понять фор­мулюються означення нових понять.

4. На основі аксіом, доведених раніше тверджень і означень доводяться нові твердження.