Іі. Пояснення нового матеріалу

Основні поняття стереометрії

Стереометрія – це розділ геометрії, що вивчає фігури у просторі. Найпростішими фігурами простору є:

- точка: А, В, С,...

- пряма: а, в, с,...

- площина: ,..., (АВС).

C

D

Площину ми уявляємо собі як рівну поверхню столу і тому будемо зображати її у вигляді паралелограму.

D

площина (АВС)

A

B

A

 

Взагалі площини позначаються грецькими літерами: . Площина, як і пряма, нескінченна. На малюнку позначаємо тільки частину площини, але уявляємо її необмежено продовженою у всі сторони.

α

площина

 

 

Введемо основні позначення:

АВ – пряма;

[АВ] – відрізок;

[АВ) – промінь з початком в точці А;

|АВ| – довжина відрізку;

А є а – точка А належить прямій а;

А а – точка А не належить прямій а;

(АВС) – площина;

А є – точка належить площині ;

А – точка не належить площині ;

АВ – пряма АВ належить площині ;

АВ – пряма АВ не належить площині ;

{А; а} – точка А та пряма а належать площині ; точка А та пряма а визначають площину ;

а ∩ в = К – прямі а і в перетинаються в точці К;

а ∩ = N – пряма а і площина перетинаються в точці N;

= АВ – площини і перетинаються по прямій АВ.

Властивості геометричних фігур в стереометрії будемо встановлювати шляхом доведення теорем. Але щоб доводити теореми, необхідно спиратися на деякі вихідні твердження. Такі твердження називають аксіомами. Оскільки на цих твердженнях ґрунтується доведення теорем стереометрії, то вони отримали назву – група аксіом С.

С1. Яка б не була площина, існують точки, що належать цій площині, і точки, що не належать цій площині.

.C

B.

.A

α

 

 

С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, що проходить через цю точку.

α

A є α A є β

.

A

а

}

β

 

С3. Якщо дві різні прямі мають спільну точку, то через них можна провести площину, і притому тільки одну.

α

. A

в

а

а ∩ в| {а, в},

– єдина.

 

Таким чином, група аксіом С, а також ті аксіоми, що вивчались у молодших класах у розділі планіметрія, і складають систему аксіом стереометрії.

Зауважимо, що не всі аксіоми планіметрії механічно переносяться до системи аксіом стереометрії. Прикладом тому є аксіома ІV: пряма розбиває площину на дві півплощини. Проілюструємо її на рисунку.

а

α

Як бачимо, аксіому ІV слід формулювати тепер

таким чином: пряма, що належить площині,

розбиває її на дві півплощини.

 

Також нагадаємо аксіому І планіметрії, оскільки вона знадобиться нам для доведення теорем.

І. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій прямій, і точки, що не належать цій прямій. Через будь-які дві точки можна провести пряму, і притому тільки одну.

Наслідки з аксіом

Теорема 1. Через пряму і точку, що не належить даній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

B.

C.

Дано: пряма АВ, точка С АВ.

A.

α

Довести: 1) існує {АВ, С};

2) єдина.

Доведення

1) Проведемо пряму АС (аксіома І). АС і АВ різні, оскільки С АВ. За аксіомою С3: АВ і АС визначають площину .

2) Доведемо єдиність (методом від супротивного).

Нехай існує ще одна площина , що проходить через АВ і точку С. За аксіомою С2: точки А, В і С повинні лежати на одній прямій. Це суперечить умові, що С АВ. Припущення не вірне.

Теорему доведено.

Теорема 2. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині.

А |

.

В |

Опорна задача. Якщо дві площини мають дві спільні точки, то вони перетинаються по прямій, що містить ці точки.

|

|

Теорема 3. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і притому тільки одну.

A.

B

.

Дано: а.

.

C

Довести: 1) існує ;

2) – єдина.

Доведення.

1) Проведемо прямі АВ і АС (аксіома І), вони різні, оскільки а. За аксіомою С3: через прямі АВ і АС можна провести площину .

2) Доведемо єдиність.

За теоремою 2: . За аксіомою С3 така площина єдина.

Теорему доведено.

Побудова перерізів просторових фігур

Перерізом многогранника називається многокутник, що утворюється при перетині многогранника з площиною.

Щоб будувати прості перерізи, слід вміти будувати:

 

1) лінію перетину двох площин	Для цього знаходять дві точки шуканої прямої і через них проводять пряму
2) точку перетину прямої і площини	Для цього знаходять у даній площині пряму, що перетинає дану пряму; точка перетину цих прямих є шуканою. Ці прямі повинні лежати в одній площині