Б7 Уравнения, решаемые с помощью введения вспомогательного аргумент

№1. ; (

№2.Существуют ли значения х, при которых выполняется равенство

? (нет)

№3 При каких значениях а уравнение не имеет решений? (а<-

 

Анализируя результаты зачетной работы можно сделать вывод, что работа с учащимися по формированию осознанного и качественного умения решать тригонометрические уравнения прошла успешно. Об этом свидетельствуют:

-улучшение результатов проверочных работ

-отношение самих учащихся к проведённым занятиям.

-школьники с интересом принимали участие в процессе обучения.

Таким образом, цель эксперимента достигнута. Его результаты удовлетворительны. Данная методика имеет возможность применения на занятиях по алгебре и началам анализа в общеобразовательной школе.

 

Заключение

Проработав соответствующую психолого-педагогическую и методическую литературу по данному вопросу, очевидно, сделать вывод о том, что умение и навыки решать тригонометрических уравнения в школьном курсе алгебры и начал анализа являются очень важными, развитие которых требует значительных усилий со стороны учителя математики.

Таким образом, учитель сам обязан в достаточной мере владеть методиками формирования умений и навыков решать тригонометрические уравнения. С учётом того, что тригонометрические уравнения имеют несколько типов, то соответственно и методика для каждого типа различна.

Бесспорно, достичь поставленной цели только с помощью средств и методов, предложенных авторами современных учебников, практически невозможно. Это связано с индивидуальными особенностями учащихся. Ведь в зависимости от уровня их базовых знаний по тригонометрии выстраивается линия возможностей изучения различных видов уравнений на разных уровнях.

С решением уравнений, в которых переменная входит под знак одной или нескольких тригонометрических функций, так или иначе связаны многие задачи тригонометрии, стереометрии, физики и др. Процесс решения таких задач как бы синтезирует в себе практически все знания и умения, которые учащиеся приобретают при изучении элементов тригонометрии. Поэтому учитель сталкивается с довольно сложной проблемой выделения тех идей изучаемого материала, которые лежат в основе способов решения рассматриваемых задач, с целью их последующего обобщения и систематизации. Это важно и для осознанного усвоения учащимися теории, и для овладения некоторыми общими способами решения математических задач. Следует также заметить, что решение тригонометрических уравнений не только создает предпосылки для систематизации знаний учащихся, связанных с материалом тригонометрии. Например, свойства тригонометрических функций, приемы преобразования тригонометрических выражений и т.д. Но и дает возможность установить действенные связи с изученным алгебраическим материалом (уравнение, равносильность уравнений, виды алгебраических уравнений, способы их решения, приемы преобразования алгебраических выражений и т.п.). В этом состоит одна из особенностей материала, связанная с изучением тригонометрических уравнений.

Другая особенность – в исключительном разнообразии таких уравнений. Именно это разнообразие влечет определенные трудности в их классификации; его следствием могут быть и затруднения в решении тригонометрических уравнений, в частности, - в выборе того приема, который целесообразно применить для получения искомого множества значений переменной.

Указанные особенности должны быть учтены учителем при разработке методики обучения школьников решению тригонометрических уравнений.

Тригонометрические уравнения занимают достойное место в процессе обучения математики и развитии личности в целом.

 

Литература

1.
Аджиева А. Тригонометрические уравнения // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 33, 2001г.

2. Адрова И.А., Ромашко И.В. Модульный урок в X классе по теме «Решение тригонометрических уравнений» //Математика в школе. 2001. №4. С. 28-32.

3. Галанов Ю.И., Некряч Е.Н., Рожкова В.И. Тригонометрические уравнения. Электронное пособие для абитуриентов.- Издательство Томского политехнического университета.2011.

4. Гилемханов Р.Г. Освободимся от лишней работы (при решении однородных тригонометрических уравнений) //Математика в школе. 2000. № 10. С.9

5. Зандер В.К. О блочном изучении математики / на примере изучения темы «Решение тригонометрических уравнений и неравенств» //Математика в школе.1991. № 4, С.38-42.

6. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения //Математика в школе. 1995. № 2. С.23-33

7. Звавич В.И., Пигарев Б.П. Тригонометрические уравнения (решение уравнений + варианты самостоятельных работ) //Математика в школе. № 3, С.18-27.

8. Золотухин Е.П. Замечания о решении уравнений вида asinx+bcosx=c //Математика в школе. 1991. № 3. С.84.

9. Калинин А.К. О решении тригонометрических неравенств. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 6, 1991г.

10. Клещев В.А. Обобщение метода интервалов на тригонометрической окружности //Математика в школе. 1992. № 6. С. 17-18.

11. Мирошин В. Отбор корней в тригонометрических уравнениях.// Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 17, 2006г.

12. Мордкович А.Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 кл.: Учебник для общеобразовательных учреждений. – М.: Мнемозина, 2010. – 336с.:ил.

13. Орлова Т. Решение однородных тригонометрических уравнений: Конкурс “Я иду на урок” //Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 48, 1999г.

14. Пичурин Л.Ф. О тригонометрии и не только о ней: М. Просвещение, 1985г.

15. Решетников Н.Н. Тригонометрия в школе: М. Педагогический университет «Первое сентября», 2006, лк 1.

16. Смоляков А.Н., Севрюков П.Ф. Приемы решения тригонометрических уравнений //Математика в школе. 2004. № 1. С. 24-26.

17. Суворова М.В. Повторительно-обобщающие уроки в курсе математики (на примере изучения темы «Тригонометрические уравнения» //Математика в школе. 1995. № 4. С.12-13

18. Токарева А. Тригонометрические неравенства. // Математика. // Приложение к газете «Первое сентября» № 44, 2002 г.

19. Шабунин М. Тригонометрические уравнения. // Математика. Приложение к газете «Первое сентября» № 12,13, 1995г.

20. Филатов В.Г. О потере корней при решении тригонометрических уравнений //Математика в школе. 1991. №2. С.57-59.

21. Черкасов О.Ю. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену/Олег Черкасов, Андрей Якушев. – 11-еизд. – М.; Айрис-пресс,2006.-448 с.; ил.-(Домашний репетитор).

22. Шабашова О.В. Приемы отбора корней в тригонометрических уравнениях //Математика в школе. 2004. №1. С.20-24.

 

Приложение 1

Конспект урока, направленного на формирование умений решать тригонометрические уравнения.

В начале урока учитель предлагает ученикам вспомнить уже известные методы решения тригонометрических уравнений. Для этого ученики должны устно предложить метод решения для каждого из 5 уравнений. Все основные узлы решений учитель записывает на доске под диктовку учеников, дополняя или исправляя их объяснения. Имеет смысл на первых примерах задействовать не сильных учеников, чтобы они включились в работу и активно помогали при выведении формул. Далее представлена таблица с разбором возможных решений. После каждого решения, полностью проговаривается идея метода учениками с поправками учителя.

	Возможное решение для первого уравнения: С помощью теоремы обратной теореме Виета находим: По условию остаётся только один корень. Производим обратную замену: На доске появляется координатная окружность. С помощью координатной окружности, ещё раз проговаривая как её использовать, находим значения корней:
	Возможное решение для второго уравнения: В случае если учащиеся захотят решить это уравнения делением на надо заметить, что в этом случае мы совершаем не равносильное преобразование и рискуем потерять серию корней, что недопустимо. Поэтому имеет смысл решать это уравнение иначе. Ученики должны догадаться, что самый простой способ – разложение на множители: Ученики проговаривают критерий: «Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда один из множителей равен 0, а другой при этом не теряет смысла» На экране появляется тригонометрическая окружность, с помощью которой ученики находят серии корней:
	Возможное решение третьего уравнения: Ученики видят формулу разность синусов, применяя её, разлагают правую часть уравнения на множители. Проговариваю критерий равенства произведения 0. После чего получают два уравнения: Появляется тригонометрическая окружность, с помощью которой, учащиеся находят серии корней:
	Возможное решение четвёртого уравнения: Ученики говорят, что это однородное уравнение второй степени, которое решается делением, например, на . И сводится к квадратному уравнению относительно тангенса: Так как такой тип уравнений уже повторялся, то возможно, сообщив об этом ученикам, перейти к следующему уравнению. Однако, можно решить данное уравнение до конца. Корни, в этом случае, предпочтительно находить через теорему обратную теореме Виета.
	Возможное решение пятого уравнения: Это уравнение предполагает множество очевидных вариантов решения. Например: 1) Метод вспомогательного угла; 2) Замена по формуле приведения синуса на косинус или косинуса на синус. И преобразования формулы суммы косинусов или синусов соответственно; 3) Ограниченность тригонометрических функций Возможно, дать возможность ученикам проговорить их и выбрать самое рациональное решение. Само рациональное, представляется очевидным, решение, связанное с ограниченностью тригонометрических функций: Значения синуса и косинуса, по модулю, ограничены 1, значит, их сумма никогда не может быть равна 3, поэтому корней данное уравнение не имеет.

 

Переход к основной части

Данный этап урока, призван сформировать проблему, решению которой будет посвящена основная часть урока.

Ученики предполагают, что данное уравнение, возможно, решить с помощь введение вспомогательного угла. Учитель соглашается и предлагает записать решение этого уравнения. На экране по мере того, как ученики говорят этапы алгоритма, появляются соответствующие записи. Учителю только важно изначально направить учеников на формулу косинуса суммы, а также обратить внимание на четность косинуса, которая позволяет упростить конечный вид серии корней.

 

Основная часть

После получения серии корней в части 2.1 учитель обращает внимание некоторую «некомпактность» данного ответа и сложности в восприятии этой информации. Например, сложности, которые возникнут, если необходимо будет найти корни на заданном промежутке. Далее учитель сообщает, что одно из замечательных отличий тригонометрических уравнений состоит в том, что в зависимости от избранного метода решения, можно получить разные виды записи одних и тех же корней. Поэтому, возможно, если мы решим данное в 2.1 уравнение каким-то другим способом, вариант записи ответа получится предпочтительнее.

 

	Ученики записывают ещё раз уравнение. Учитель подсказывает идею об использовании формулы двойного угла. После чего на доске появляются формулы двойного угла. Ученики устно проговаривают, как будут раскрываться двойные углы. После чего на доске появляется преобразования. По ходу ученики говорят о том, что надо раскрыть скобки и привести подобные слагаемые.
	После того, как уравнение сводится к данному на слайде уравнению, предлагается ученикам определить, какой вид имеет уравнение и как его необходимо решать. Ученики догадываются. Что перед ними однородное уравнение и что его имеет смысл разделить на (проговаривается, что данное выражение не будет равно 0, так как в противном случае получаем противоречие основному тригонометрическому тождеству). К доске вызывается ученик, который будет оформлять решение, остальные самостоятельно оформляют решение в тетради, а затем проверяют. Возможное решение:
	Учитель обращает внимание на то, что второй вариант записи корней выглядит предпочтительнее. Поэтому имеет смысл обобщить опыт решения данного уравнения вторым способом. Ещё раз с учениками проговаривается ход решения, после чего задаётся вопрос: можно ли изначально все тригонометрические функции выразить, через тангенс половинного угла? Ученики должны дать утвердительный ответ и догадаться о применении формул двойного угла для этой процедуры.
	Учитель предлагает оформить процедуру для синуса угла х. На доске по мере того, как озвучивается необходимость того или иного действия, появляется его визуализация.
	К доске вызывается ученик для оформления процедуры сведения косинуса угла х, к тангенсу его половинного угла. Сама запись может выглядеть таким образом:
	Сообщается, что, так как в итоге можно свести все известные тригонометрические функции к функции тангенса половинного угла (тангенс х, сводится по формуле тангенса двойного угла, а котангенс, как взаимообратное к тангенсу), то данные формулы называются формулами универсальной тригонометрической подстановки. Пока ученики их записывают в тетрадь, также сообщается, что после замены тангенса половинного угла на переменную, любое тригонометрическое уравнение фактически можно свести к алгебраическому от одной переменной.   Однако, есть тонкость, которая может привести к ошибке. Дело в том, что полученное уравнение не будет равносильно исходному, если в изначальном уравнении не будет тангенса половинного угла. В этом случае нам необходимо проверять, является ли серия Корнем уравнения. И если да, то должны включить эту серию в ответ. Всё это несколько осложняет использование формул.

Закрепление материала

Цель данного этапа проверить действие формул на практике. Учитель совместно с учениками на доске оформляет решение. Ученики записывают решение в тетрадь.

 

	Возможное решение первого уравнения: Очевидно, проверку серии делать не надо, так как тангенс половинного угла присутствует, и во время замены мы не сузим область допустимых значений. Критерий равенства произведения 0, проговаривается или Второе уравнение не имеет корней, остаётся единственная серия:
	Возможное решение второго уравнения: Проверка необходима, так как тангенса половинного угла нет в изначальном уравнении. В ходе проверки выясняется, что серия будет корнем, поэтому мы включаем её в ответ. Далее пользуемся формулами универсальной тригонометрической подстановки: Критерий равенства произведения 0, проговаривается или Отсюда получаем серии корней: или Итого ответ:

Проверка знаний

Цель данного этапа получить обратную связь от учащихся. Увидеть насколько они поняли суть метода и насколько они научились его применять, чтобы понять какой будет следующий урок.

Ученикам предлагается самостоятельно решить уравнение, к доске для самостоятельного решения вызывается ученик. Возможное решение: Проверка не требуется.   Критерий равенства произведения 0, проговаривается. Отсюда: или Решая второе уравнение с помощью дискриминанта, и используя нечетность тангенса, получаем следующие серии корней: Отсюда: После того как ученики решают уравнение, учитель выясняет сколько учеников успешно справилось с решением и если ребята ошиблись, то где они допустили ошибку.

Итог урока

Учитель поздравляет учеников с тем, что они узнали ещё один способ решения тригонометрических уравнений, ещё раз повторяет алгоритм его применения. После чего предлагает учащимся попытаться решить следующее уравнение различными способами:

 

Должны быть обязательно названы следующие методы: 1) Универсальной тригонометрической подстановки; 2) Вспомогательного угла; 3) Применение формул приведения, с целью использование формул суммы (то есть разложение на множители); 4) Ограничение области значения синуса и косинуса; Возможно, также рассмотреть возведение в квадрат.