Определение понятий. Классификация понятий. Возможные ошибки в определении математических понятий школьниками и работа учителя по их предупреждению.

Каждая теория начинается с формирования научных понятий. Каждое понятие характеризуется объемом понятия и содержанием понятия(т.е. признаками присущими всем объектам этого множества). Содержания понятия раскрывается с помощью определения. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В мат - ке понятие обозначается не только термином, но и символом.

Пример: содержанием понятия «уравнения» является признак «равенства, содержащие переменную». Объем этого понятия- множество уравнений. Это множество бесконечное.

Выяснения объема понятия называется классификацией. Классификация понятий - разделение множества объектов, составляющих объем понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и их отличий от объектов другого вида.

В классификации понятий выделяют 3 компонента:

1.классификации понятий или понятия, подлежащие классификации, объем кот. требуется раскрыть.

2.основание классификации, т.е. признак по которому проводиться классификация.

3.члены классификации, т.е. образованные в результате классификации классы.

Различают 2 вида классификаций:

1.по видоизменённому признаку.

2.дихотамия.

В качестве основной классификации могут выступать различные признаки этих понятий. Изменяя признак, основы класса получается новый класс по видоизмененному признаку.

Дихотомический класс представляет собой деление классификации понятий на два противоречащих друг другу видов, понятий, одной из которых обладает данным признаком, а другое нет. Дихотомия полезна при обобщённым повторении курса. Это способствует систематизации знаний, углублению, расширению знаний.

Типичные ошибки и их предупреждение:

1.ошибка «слишком широкого определения» связана с расширением объема определяемого понятия. Это происходит за счет нарушения требования, что род должен быть ближайшим, т.е. использование более общего родового понятия приводит к тому, что в объем определяемого понятия попадает посторонний объект.

2. ошибка «слишком узкого определения», при которой в качестве видового отличия берется отличительный признак не вида, а подвида.

3.тавтология-ошибка, при которой понятие определяется через себя.(Равными Δ называются такие Δ, которые равны друг другу)

4.круг в определении: при определении понятия используют другое понятие, которое в свою очередь определяется с помощью первого (Две прямые называется перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом).

5.избыточные определения(Параллелограмм-чет-к, у которого противоположные стороны попарно || и равны).

6.ошибка в указании родового признака, при котором объемы определяемого и родового понятий оказываются непересекающимися.(медиану Δ определяют не через понятие «отрезок», а как «прямую», соединяющую вершину Δ с серединой противоположной стороны.)

1.12 Определение понятий. Виды определений. Требования к определениям. Методика изучения математических понятий в школе.

Каждая теория начинается с формирования научных понятий. Каждое понятие характеризуется объемом понятия и содержанием понятия(т.е. признаками присущими всем объектам этого множества). Содержания понятия раскрывается с помощью определения. Определение - такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого понятия. Понятие фиксируется в речи с помощью слова или словосочетания, называемого именем или термином понятия. В мат-ке понятие обозначается не только термином, но и символом.

Виды определений:

1. явные (определения, в которых смысл определяемого термина полностью передается через смысл определяющих терминов).

ü через ближайший род и видовое отличие (в нем содержится указание на класс объектов, среди которых содержится определяемый объект, и на признак, посредствам которого он выделяется из этого класса. Прим.: параллелограмм: род- четыр-к, видовое отличие-признак противоп.стороны ||-ы)

ü генетическое - определение объекта путем указания способа его построения.

В школьном курсе математики можно выделить следующие гене­тические определения понятий: Отрезок. Луч. Равносторонний тре­угольник. Координатный луч. Равные фигуры. Площадь прямоуголь­ника. Площадь квадрата. Объем прямоугольного параллелепипеда. Окружность. Дуга окружности. Сектор. Угол и его элементы. Равные углы. Длина окружности. Площадь круга.

ü индуктивное (рекуррентное)- определения многих последовательностей, включая определения арифметической и геометрической последовательностей.

ü Остенсивные определения - определения значений слов путем не­посредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяют­ся в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.).

2. неявные (смысл определяемого термина не передается полностью определяющими терминами; типичны пример определение исходных понятий с помощью системы аксиом).

ü Аксиоматические (точка, прямая, плоскость)

Определение считается корректным, если выполняются два усло­вия:

1. отсутствует возможность ис­ключения нововведенных терминов («Решение уравнения — это то число, которое является его решением»);

2. каждый термин встречается не более од­ного раза в качестве определяемого.

При формировании понятий целесообразно учитывать данную психологию. Рассмотрим теорию поэтапного формирования умственных действий (Гальперин). Согласно этой теории рассматривается постепенный перевод внешних материализованных действий во внутренние, умственные.

Этапы:

1. Учащимся разъясняют цель введения нового понятия и указывают ориентировку, например, с помощью рисунка.

2. Учащиеся сами формулируют определение, исходя из рисунка, проговаривается определение.

3. Учащиеся сами формулируют определение, проговаривается определение без опоры на рисунок.

4. Проговаривается в форме внешней речи про себя.

5. В форме внутренней речи.

 

1.13Математическое понятие: термин, объем, содержание. Классификация понятий. Требования к классификации. Способы образования математических понятий.

Понятие – форма мышления, отражающая общие и существенные свойства и отношения вещей и явлений материального мира.

Математические понятия – важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики.

Математическое понятие – отражение в мышлении отличительных свойств форм и количественных отношений действительного мира.

Содержание понятия – это множество всех существенных признаков данного понятия.

Объем – множество объектов, к которым применимо данное понятие.

Между содержанием и объемом понятий существует обратная зависимость:

если увеличить содержание понятий, то уменьшится его объем, и наоборот.

Процесс формирования понятий, характеризуется стадиями:

1. восприятие 2. представление 3. понятие

Пример: формирование понятия о числе 3.

На стадии восприятия знакомим детей с конкретными множествами: 3 яблок, 3 листов и т.д.

Восприятие – существует в сознании человека в то время, когда какие-либо объекты или явления взаимодействуют на его органы чувств.

Убираем предметы и предлагаем детям забыть о том, какие это объекты, но спрашиваем было ли что-то общее у этих предметов.

В сознание детей должно запечалиться число предметов, без употребления числа «3». Если добились этого, то в сознание детей создалась новая форма о числе 3.

После выкладывания детьми групп предметов, на доске записывают цифру 3 и проговаривают.

В познании понятия выражаются с помощью признаков посредством речи и символов

Классификация понятий

Классификация понятий - последовательное многоступенчатое разделение множества объектов на классы с помощью некоторого свойства (или свойств)

Классификации считается правильной, если:

признак, по которому проводится классификация остается неизменным в процессе классификации;

понятия, получаемые в классификации - взаимонезависимые;

сумма объемов понятий, получаемых при классификации, равна объему исходного понятия;

в процессе классификации осуществляется переход к ближайшему в родовом понятии виду.

Виды классификаций

дихотомическая (трихотомическая), где осуществляется многоступенчатое разбиение на два (три) противоречащих понятия;

иерархическая, где каждый член является соподчиненным понятием;

последовательная, где классификация проводится по нескольким основаниям.

При помощи классификации на основе сходства и различий объектов раскрывается объем понятия.

Образование понятия

1)Выделение с помощью анализа признаков объекта

2)Соединение с помощью синтеза существенных признаков объекта

3)Отбрасывание с помощью абстрагирования несущественных признаков

4)Образование с помощью обобщения единого целого, являющегося понятием

Виды понятий

Сравнимыми называются понятия, если можно указать общий для них универсум (множество объектов, в терминах которого определяются понятия);

Совместными называются понятия, объемы которых имеют общие элементы

Равнозначными называются понятия, объемы которых полностью совпадают.

Пересекающимися называются понятия, объемы которых частично совпадают.

Находящимися в отношении включения называются понятия, если объем одного входит в объем другого.

 

Математическое предложение как средство выражения суждения. Основные виды математических суждений. Условная форма математических предложений. Четыре вида предложений, записанных в условной форме. Связь между их истинностью. Необходимое и достаточное условия.

1. В мышлении понятия не выступают разрозненно, они определенным способом связываются между собой. Формой связи понятий друг с другом является суждение. В каждом суждении устанавливается некоторая связь или некоторое взаимоотношение между понятиями, и этим самым утверждается наличие связи или взаимоотношений между объектами, охватываемыми соответствующими понятиями. Если суждения правильно отображают эти объективно существующие зависимости между вещами, то мы такие суждения называем истинными, в противном случае суждения будут ложными. Так, например, суждение "всякий ромб является параллелограммом" - истинное суждение; суждение "всякий параллелограмм является ромбом" - ложное суждение.

Таким образом, суждение - это такая форма мышления, в которой отображается наличие или отсутствие самого объекта (наличие или отсутствие каких-либо его признаков и связей).

Суждение имеет свою языковую оболочку -предложение, однако не всякое предложение является суждением. (Математическое суждение принято называть предложением.)

Характерным признаком суждения является обязательное наличие истинности или ложности в выражающем его предложении.

Например, предложение "треугольник АВС равнобедренный" выражает некоторое суждение; предложение "Будет ли АВС равнобедренным?" не выражает суждения.

Математика представляет собой определенную систему суждений, выраженных в математических предложениях посредством математических или логических терминов или соответствующих им символов.

2. суждения образуются в мышлении двумя основными способами: непосредственно и опосредованно. В первом случае с помощью суждения выражается результат восприятия, например "эта фигура -круг". Во втором случае суждение возникает в результате особой мыслительной деятельности, называемой умозаключением. Например, "множество данных точек плоскости таково, что их расстояние от одной точки одинаково; значит, эта фигура - окружность".