Задачи в школьном курсе математики и общая методика их решения. Роль и функции задач в математике. Основные этапы в решении задачи. Общие умения по решению задач.

Задача – понятие неопределяемое, и в самом широком смысле означает то, что требует исполнения решения. В каждой задаче имеется условие – то, что дано, и требование – то, что надо найти, доказать, обосновать. Решить задачу – это значит выполнить ее требования. Текст задачи иногда называют ее фабулой. История свидетельствует, что математика как наука возникла из решения задач, развивалась и развивается через решение задач.

Задачи на уроках математики решаются в основном фронтальным образом. Фронтальное решение задач -решение одной и той же задачи всеми учениками класса в одно и то же время. Организация фронтального решения задач может быть различной.

а)Устное фронтальное решение задач. б) Письменное решение задач с записью на классной доске, в)Письменное самостоятельное решение задач г)Комментирование решения математических задач

При обучении м-ке задачи играют большое значение. Велика роль задач в развитии лог мышления уч-ся, формирования практических навыков применения м-ки, формирования диалектико-материалистического мировоззрения. При обучении м-ке задачи имеют большое и многостороннее значение: образовательное, практическое, воспитательное. Они являются основным средством развития пространственного воображения, алгоритмического мышления, эвристического и творческого начала.

Задачи играют большую роль в изучении теоретических знаний. Задачи способствуют мотивации введения понятия, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи понятия с другими понятиями.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше задачи формулировались с использованием слов: «найти», «построить», «вычислить», «доказать». В современной школе задачи формулируются: «обосновать», «вы­брать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследо­вать», «спрогнозировать различные способы решения» и т. д.

Решение задач является наиболее эффек­тивной формой развития математической деятельности. Деятель­ность по решению задач достаточно сложна для ученика. Она включает в себя ряд действий учебного характера, которыми каждый ученик должен владеть.

Этапа решения составных задач (схема Пойя):

усвоение содержания задачи (ознакомиться с условием и требованием задачи, при необходимости сделать чертеж или схему и обозначить на чертеже искомые величины, данные (если возможно); ввести иные подходящие обозначения.)

этап составления плана решения задачи, поиск решения, выявление хода решения (известна ли ученику аналогичная задача, составляя план решения, всегда следует задавать вопрос: все ли данные в задаче использованы, выявление неучтенных данных облегчает составление плана, можно применять систему подсказок)

этап реализации плана решения задач (план указывает лишь общий контур решения задачи. При реализации плана, т.е. осуществлении самого решения полезно следовать следующим советам: проверять каждый свой шаг, убеждаться, что он совершен правильно.

этап образно – называемый “взгляд назад”, т.е. анализа и проверки решения задач (можно отождествить с реализацией развивающей цели обучения)

Общее умение решать задачи складывается:

- из знаний о задачах, структуре задач, процессе решения и этапах решения, методах, способах и приемах решения;

- из умений выполнять каждый из этапов решения любым из приемов, помогающих решению.

При формировании у детей умения решать задачи определенных видов предметом изучения и основным содержанием обучения являются виды задач, способы и образцы решения задач конкретных видов. Необходимо формирование обоих типов умений. Это возможно при сочетании трех линий в содержании и организации деятельности учащихся:

- накопление опыта решения разнообразных задач как с осознанием процесса и способа решения, так и без такого осознания, на интуитивной основе;

- овладение компонентами общего умения решать задачи в специально организованной для этого деятельности;

- выработка умения решать все виды простых задач

Обучение решению задач осуществляется по схеме: от накопления опыта решения разнообразных задач к обучению общим приемам и методам, а от них - к овладению способами решения конкретных видов задач.

1.19Современные формы организации обучения математике. Урок как основная форма организации учебного процесса. Типы уроков. Основные требования к современному уроку.

Основная форма обучения математике в школе - урок. Урок - это логически законченный, целостный ограниченный определенными рамками времени отрезок учебно-воспитательного процесса. Урок – процесс двухсторонний. Кроме уроков по математике проводятся экскурсии, внеклассные занятия, реализуются различные формы дополнительного образования: факультативы, курсы по выбору. Для успешного обучения математике следует владеть:

Теорией обучения (дидактикой).Методикой.Технологией.

Технологии обучения: Технология – особенность процесса или его описание. Раньше говорили не о технологиях, а о педагогических приемах. В настоящее время существует более 10 различных технологий. Иногда противопоставляют новые технологии с традиционными формами обучения, что не вполне оправдано. Главное ведь не в названии, а насколько эффективно то или иное обучение, как оно способствует формированию системы качеств знаний учащихся. Раньше в основу требований повышения качеств ложились ЗУНы. В новых технологиях превалируют не они, а метазнания (надпредметные). Среди обилия технологий можно выделить технологии развивающего обучения. Они включают разновидности: проблемно-модульное обучение, модульное обучение, использование информационных технологий. Еще выделяют интегральную технологию. В интегральное обучение входит:

Содержание (от локальных до межпредметных). Интеграция основывается на укрупнении дидактических единиц.

Виды учебной деятельности (укрупнение дидактических единиц через блочное изложение материала).

Типы уроков

1. Урок по ознакомлению с новым материалом (по формированию понятия).
2.Урок по закреплению изученного материала.
3.Урок проверки знаний, умений и навыков.
4.Урок по систематизации и обобщению изученного материала.

5.Урок контроля и коррекции знаний и умений учащихся.

6. Комбинированный урок.

В современных условиях к ведущим требованиям к уроку целесообразно отнести:

· необходимость построения процесса обучения на основании объективных закономерностей психологии обучения и принципов дидактики (научности, доступности, наглядности, сознательности и активности, систематичности и последовательности обучения, принципов воспитывающего и развивающего обучения, связи обучения с жизнью, сотрудничества, гуманизации);

· формулировка учителем образовательной, воспитательной и развивающей задач и обеспечение условий их решения на протяжении всего урока;

· отбор содержания материала, соответствующего уровню современных достижений науки и процесса обучения;

· чёткое продумывание структуры урока, прогнозирование уровня усвоения учащимися знаний, сформированности их умений и навыков;

· целесообразный отбор разнообразных методов и приёмов обучения, их оптимальное сочетание, осуществление стимулирования и контроля, сочетание индивидуальной и коллективной форм работы на уроке;

· рациональное использование времени;

· организацию полного цикла познавательной деятельности школьников;

· создание атмосферы комфортности и доброжелательности, успеха, заинтересованности учащихся в результате обучения, условий успешного учения;

· планирование системы уроков в целях усиления их воспитательной, развивающей функций и прогнозирования результатов познавательной деятельности школьников.

Контроль и оценка знаний учащихся по математике. Различные виды письменного и устного контроля. Организация контроля и оценки знаний, навыков и умений школьников по математике, виды контроля (текущий, тематический, итоговый), формы контроля (устные опросы, письменные работы, зачеты, экзамены, централизованное тестирование).

Контроль знаний учащихся является составной частью процесса обучения. По определению контроль это соотношение достигнутых результатов с запланированными целями обучения. Проверка знаний учащихся должна давать сведения не только о правильности или неправильности конечного результата выполненной деятельности, но и о ней самой: соответствует ли форма действий данному этапу усвоения. Правильно поставленный контроль учебной деятельности учащихся позволяет учителю оценивать получаемые ими знания, умения, навыки, вовремя оказать необходимую помощь и добиваться поставленных целей обучения. Все это в совокупности создает благоприятные условия для развития познавательных способностей учащихся и активизации их самостоятельной работы на уроках математики. ВИДЫ КОНТРОЛЯ

Текущий контроль проводится на первых этапах формирования умений и навыков, что позволяет анализировать процесс их становления. Текущий контроль предполагает использование различных форм проверки знаний, умений, навыков учащихся: индивидуальных и фронтальных опросов, регулярных проверок текущих письменных классных и домашних работ, различного рода проверочных работ (предупредительных, объяснительных, зрительных, творческих диктантов, письма по памяти и др.). Все названные формы проверки усвоения знаний и навыков учащихся носят обучающий, а не контролирующий характер, поэтому оценка в баллах не обязательна.

Тематический контроль предполагает проверку усвоения программного материала по наиболее значимым темам учебных предметов. Тематические контрольные работы проводятся сразу после изучения ключевых тем программы и позволяют учителю выяснить степень овладения учащимися только что изученным материалом. Тематические контрольные работы могут носить разноуровневый характер в зависимости от подготовленности класса, использования альтернативных программ обучения и т.д.

Итоговый контроль является способом проверки достигнутых учащимися знаний и навыков, обеспечивающих дальнейшее обучение. Цель проведения итогового контроля – государственная проверка выполнения требований школьной программы за истекший период работы (учебную четверть, полугодие, год), получение объективных данных. Итоговые контрольные работы имеют особое значение для учёта успеваемости каждого ученика, являются основными критериями оценки работы ученика и учителя. Они не должны завышать или занижать уровень программных требований.

Широко применяемым методом контроля в обучении математикеявляется проверка письменно-графических работ. Этот метод имеет свои качественные особенности: большая объективность по сравнению с устнойпроверкой, охват нужного числа проверяемых, экономия времени. Применениеписьменных работ используется для:

1) Проверки знания теоретического материала

2) Умения применять его к решению задач

3) Контроля сформированных навыков

С помощью этого метода получают данные об умении учащихся применять полученные знания при решении практических задач, пользоваться различными таблицами, формулами, чертежными и измерительными инструментами, приборами. Учитель получает отчет ученика, в котором приводится только результат илисхематически описаны план практической работы и ее результаты. Это несколько затрудняет проверку и оценку каждого действия ученика. Поэтому на практике в проверочном задании приводиться алгоритм его выполнения, чтопозволяет осуществить такую проверку правильности действий ученика. Всеработы проверяются, но оцениваются по-разному, по результатам обзорных работ оценки выставляются в журнал, по результатам тренировочных работможно выставить лишь положительные оценки.

 

Основная цель контроля и оценки знаний учащихся по математики – определение качества усвоения учащимися уч материала, уровня овладения ими ЗУН., предусмотренными учебн программами. Проверка знаний учащихся должна давать сведения не только о правильности или неправильности конечного результата выполненной деятельности, но и о ней самой: соответствует ли форма действий данному этапу усвоения. Правильно поставленный контроль учебной деятельности учащихся позволяет учителю оценивать получаемые ими знания, умения, навыки, вовремя оказать необходимую помощь и добиваться поставленных целей обучения. Все это в совокупности создает благоприятные условия для развития познавательных способностей учащихся и активизации их самостоятельной работы на уроках математики. Без хорошо налаженной проверки и своевременной оценки результатов нельзя говорить об эффективности обучения математике.

Устная проверка организуется по-разному, в зависимости от ее цели и от содержания проверяемого материала. Среди целевых установок проверки можно выделить следующие: проверить выполнение домашнего задания, выявить подготовленность учащихся к изучению нового материала, проверить степень понимания и усвоения новых знаний. В зависимости от содержания она

проводится по материалу предшествующего урока или по отдельным разделам и

темам курса.

Формы устного контроля знаний:

1) Устный опрос у доски 2) Магнитофонный опрос 3. Устный зачёт по теме, как беседа учителя и ученика 4) Защита творческих работ и проектов 5) зачет с помощью ассистентов 6) беседа с учителем по новым темам курса 7) рассказ ученика и сообщение 8) ответы с места на? учителя 9)ответы на? самих учеников, котор задаются друг другу

Формы письменного контроля:

1) Самостоятельные письм работы с рецензией соседа по парте 2) самост письм работы с рецензией лучш учеников класса 3) письм диктанты по формулам, понятиям, определениям пройд темы 4) ответы на? по перфокарте 5. Составл алгоритм прим теории на практике 5) Проверка контр работ самими уащимися по прав выбранному образцу 6. Составл схем и рисунк с указанием на них составных частей изображ объекта 8) составл схем-плана ответа 9) кроссворды

Воспитание у учащихся потребности в доказательствах теорем. Методика обучения учащихся теоремам и их доказательствам. Подготовка учителя к доказательству теорем на уроке.

Уч-ся затрудняются в усвоении д-в, нередко заучивают их механически, не осознают необходимости д-в. Эти затруднения являются следствием сложившейся практики обучения, в которой не выдерживается постепенность в переходе от индуктивных методов, исп. в 5-6 кл., к дедуктивным, встреч. при изучении геометрии. В школе недостаточное внимание уделяется выявлению сущности д-ва, его преимуществ – общности, точности и объективности. Актуальной является такая организация работы с уч-ся, когда они убеждаются в необходимости д-в и создаются условия для должного и сознательного усвоения их.

Теоремы док-ются по двум основаниям: 1) по построению цепочки рассуждений (прямое и косвенное) 2) по математическому аппарату, используемое в д-ве.

Прямое – основывается на каком-нибудь несомненном начале на основе которого непосредственно рассуждениями устанавливается истинность теоремы. Доказательные методы: синтетический (при построении цепочки рассуждений основная мысль двигается от условия теоремы к ее заключению), аналитический (обратное движение мысли от заключения теоремы к условию), ММИ.

+листочек распечатки

1.22Дифференциация в обучении школьников математике в системе основного и дополнительного образования.

В процессе обучения школьники должны овладеть не только конкретными математическими знаниями, но и знаниями о способах, средствах и формах рациональной учебной деятельности. Учебный процесс следует строить так, чтобы ученик осознал структуру учебного материала, необходимость освоения основного содержания, и имел определенную свободу в выборе средств обучения.

Определив содержательно-математические уровни учебного материала и индивидуально способности учеников, нужно постоянно и последовательно ставить перед ними более высокие цели для углубления знаний и умственного развития. Ученик принимает более высокие цели в обучении, если находится в условиях, вызывающих желание учиться на пределе своих возможностей. Такие условия создаются в ученической среде, где осуществляется педагогика сотрудничества..

В условиях внутренней дифференциации обучения математике школьники довольно быстро начинают понимать преимущества работы на более высоких уровнях, в результате возрастает их прагматизм и сознание учебы.

Идея личного свободного выбора цели. Заметим, что дети довольно быстро развиваются, когда участвуют в учебном процессе в роли учителя. Основным противоречием, которая есть в цикле обучения, является проблема осмысления и первичного усвоения теоретического материала. Идея опережающими темпами. Создается атмосфера, в которой ученик не "привязывается" жестко до программы и не ждет, когда ему предлагают небольшую порцию нового материала. Дело в том, что одному ученику для осмысления и усвоения нового теоретического материала по той или иной теме достаточно 2-3 уроков, а другому - 5-6 уроков. При дифференцированных обучениях математике теория главы усваивается более подготовленными учениками быстро и им предоставляется пространство для развития математических способностей в основном через решение содержательных задач, обобщение задач, освоение различных приемов учебной деятельности. Таким ученикам можно опережать учебную программу не столько по теории, сколько именно через задачи. При решении многих задач по алгебре и по геометрии возникает ситуация, когда для осуществления плана решения нужно знать некоторые новые формулы или теоремы. Накопленный математический опыт позволяет таким ученикам самостоятельно открывать эти формулы или теоремы и обосновывать их. Такое наперегонки естественное в умственном развитии подростков и по сути способствует становлению способного ученика как интеллектуально развитой личности. Менее подготовленные ученики, зная основные формулы и теоремы, постепенно учатся применять их на доступном материале. При таком подходе они также качественно усваивают учебный материал на соответствующем уровне.

Таким образом, дифференцированная учебная деятельность развивает всех учащихся. Дети усваивают знания и умения, у них формируется внутренняя потребность в знаниях. Учеба имеет творческий характер и связана с преобразованием учебного материала.

Полезное решение одной задачи несколькими методами или решение внешне похожих (по условию) задач, которые требуют различных методов или подходов.Интеграция содержания математического образования осуществляется в соответствующих технологиях обучения.

1.23Развитие математических способностей и воспитание учащихся в процессе математического образования.

В процессе обучения школьников математике важное место имеет развитие и формирование их памяти. Существование краткосрочной и долгосрочной памяти у человека обусловливает и определяет стратегию познавательной деятельности. Обучение математике при линейном подходе к преподаванию учебного материала дает основную нагрузку на краткосрочную память: иллюстративные примеры, репродукции, поиск решения - восстановление алгоритмов, шаблон. Если отсутствуют систематические обобщения и повторение, то знания не переносятся в долгосрочную память и почти полностью забывают учеником. При решении задач интегрированного содержания процессы хранения, поиска и извлечения информации из памяти имеют совсем другой характер: сначала - прогнозирование, прикидка возможных способов решения учебной задачи, составляется осмысленный план ее решения, рассчитанный на несколько этапов, далее - осуществление плана с возможными корректировками его в ходе решения, наконец, завершено решение уточняется, проводится его рационализация. С долгосрочной памяти извлекается информация, позволяющая убедиться в рациональности выбранного пути решения или проверяются альтернативные идеи. Постоянное повторение таких процедур развивает и формирует долгосрочную память школьника. Обменные процессы в памяти приобретают новые качества, аналитико-синтетическая деятельность учащихся поднимается на уровень творческого мышления.

Продуктивность памяти характеризуется ее объемом, протяженностью, скоростью, точностью и подготовленность. Значительное влияние на запоминание и накопление знаний имеет завершенность или незавершенность умственных действий. Известно, что если решение задачи не завершено, то задача запоминается гораздо лучше, чем сразу выполненное задание (эффект Зэйгарник). Важнейшим и ответственным моментом в процессе поиска информации в памяти является локализация идеи решения. Поиск идеи базируется на интегрированных представлениях о различных видах когнитивной деятельности.

Идеи решения представляют собой ассоциированные опоры, которые могут быть взяты за основу решения. Удачные идеи (удачный выбор) оставляют глубокий отпечаток в долгосрочной памяти и являются стимулами для новых идей. Овладение учащимися общими методами решения задач подкрепляет эти идеи и является надежным компонентом при актуализации необходимой информации из долговременной памяти.

Как известно, основными процессами памяти являются запоминание, сохранение и восстановление информации. Психолога-педагогические исследования показывают, что произвольное запоминание наиболее эффективное, если осуществляется в процессе интенсивной умственной деятельности без принуждения на запоминание тех или иных понятий и их свойств; поэтому запоминается лучше то, что находится в динамике, постоянном развитии.

Развитие логического мышления и воспитание школьников при обучении математике.

Помимо освоения значительного объема математических знаний у школьников необходимо сформировать логическое мышление, носителем которого являются следующие логические знания (относящихся не только к математике):

1) уметь определять понятие и уточнять с помощью определений смысл используемых слов;

2) знать логический словарь;

3) знать правила классификации;

4) уметь выделять логическую структуру сказал;

5) правильно применять логические связки;

6) уметь правильно рассуждать и проверять эту правильность, находить и искоренять логическ ошибки;

7) знать наиболее распространенные методы и приемы доказательства.

Понятно, что перечисленные интеллектуальные знания ученик приобретает не только при изучении математики, но именно математика оказывает наибольшее влияние на их формирование.

Школьная математика - сложный и интересный предмет. Его изучение воспитывает у школьников трудолюбие, волю, точность в мыслях и действиях. Точность и общность математических понятий и методов, гармония чисел и геометрических объектов, силу и притягательность математической языка вызывают у учеников увлечение предметом и способствуют их эстетическому воспитанию.