Основные виды математического суждения

Аксиомы. Постулаты. Теоремы. Основные типы теорем и их взаимосвязь

1. Важнейшими видами сложных суждений являются теоремы и аксиомы (постулаты).

Аксиома (греч. "axioma" - авторитетное предложение "то, что приемлемо") - предложение, принимаемое без доказательства. Определенное число аксиом образует систему отправных, исходных положений некоторой научной теории, лежащую в основе доказательств других положений (теорем) этой теории, в границах которой каждая из аксиом принимается без доказательства. Таково, например, известное положение евклидовой геометрии "Через две точки проходит единственная прямая".

2. Слово "постулат" происходит от латинского слова "postulatum", обозначающего требование.

Постулат - это предложение, в котором выражается некоторое требование (условие), которому должно удовлетворять некоторое понятие или некоторое отношение между понятиями. Нередко постулаты являются частью определения некоторого понятия или некоторой системы понятий.

Например, отношение эквивалентности определяется тремя постулатами.

Именно для того, чтобы некоторое отношение т, заданное на множестве А, было отношением эквивалентности, должны иметь место следующие свойства:

1) отношение должно быть рефлексивным, т. е.

2) отношение должно быть симметричным, т. е.

3) отношение должно быть транзитивным, т. е.

Известное отношение равенства является одним из конкретных примеров отношения эквивалентности.

Обозначив высказывания, соответствующие этим трем утверждениям, через R, S и T, имеем следующее определение:

Отношение является отношением эквивалентности, тогда и только тогда, когда R S T.

3. Математическое предложение, истинность которого устанавливается посредством доказательства (рассуждения), называется теоремой (от греческого слова "theorema" < "theorio"- рассматриваю, обдумываю). В теореме должно быть ясно указано:

1) при каких условиях рассматривается в ней тот или иной объект (условие теоремы);

2) что об этом объекте утверждается (заключение теоремы). Пример. В параллелограмме диагонали, пересекаясь, делятся пополам.

Теорему, как известно, можно записать в общем виде на языка логики так: (р q).

Таким образом, доказательство теоремы состоит в том, чтобы показать, что если выполняется условие, то из него логически следует заключение, т. е., приняв, что p истинно, в соответствии c правилами вывода показать, что q истинно, и тем самым получить возможность утвердить, что данное высказывание - теорема истинно в целом.

4. Известно, что, имея некоторую теорему (р q), назовем ее прямой теоремой, можно образовать новую теорему и не одну:

1) обратную: (q p);

2) противоположную: ,

3) обратную противоположной: .

Условные — суждения, в которых сказуемое ограничивает отношение каким-либо условием (Если А есть В, то С есть D).

Высказывание p называется необходимым условием для q, если импликация () есть истинное следствие.

Например, чтобы число делилось на 6, необходимо (не недостаточно), чтобы оно было чётным.

p - четное число, q - число кратно 6. () - и.

Высказывание p называется достаточным условием для q, если импликация () есть истинное следствие.

Например, чтобы число было кратно 5, достаточно, чтобы оно было кратно 25. (р: кратно 25; q: кратно 5) (pq)

Замечание: Для определения необходимо условие следует подобрать контр пример, опровержение данного утверждения.

Условие р называется необходимым и достаточным для q, если истины одновременно обе импликации: (pq) и (qp), т.е. имеет место эквивалентность.

Характеристическое свойство наиболее полно определяет объект, выделяя его из некоторого множества сходных объектов, позволяет его сконструировать.

Например, характеристическое свойство арифметической прогрессии:

начиная со второго члена, все члены прогрессии удовлетворяют свойству: - быть средним арифметическим двух соседних с ним членов (или отстоять от него на равных расстояниях)