Электрическая емкость. Конденсаторы

 

 

Электрическая емкость проводника и между проводниками. Электрическая емкость проводника — величина, характеризующая способность проводника накапливать электрический заряд, численно равная отношению заряда проводника к его потенциалу:

С = Q / V, (2.7)

где С – электрическая емкость, Ф (фарад).

В системе заряженных проводников на заряд и потенциал каждого из них влияют форма, расположение и величины зарядов других проводников. В этом случае применяют понятие емкости между проводниками. Наибольшее значение для практики имеют системы из двух проводников, имеющих равные по величине, но противоположные по знаку заряды. Примерами таких систем являются два провода воздушной линии электросети (рис. 2.7), две жилы электрического кабеля, жила кабеля и его броня (рис. 2.8), токоведущий стержень и кожух проходного изолятора, два электрода электронной лампы и т. д.

 

Рис. 2.7 Рис. 2.8 Силовой кабель

 

 

Электрическая емкость между двумя проводниками — величина, равная отношению электрического заряда (Q) одного проводника к разности потенциалов (U) между этими проводниками:

C = Q / (V₁ - V₂) = Q / U.(2.8)

Электрические конденсаторы. Электрическая емкость между проводниками определяется конструкцией электрических устройств и ее приходится учитывать при расчетах, монтаже и эксплуатации электрических и особенно радиотехнических устройств.

Однако в электротехнике, радиотехнике, электронике широко применяют устройства с электрической емкостью, специально построенные и предназначенные для создания электрического поля и хранения его энергии.

Элемент электрической цепи, предназначенный для использования его электрической емкости, называется электрическим конденсатором.

Электрические конденсаторы входят в схемы колебательных контуров, усилителей напряжения и мощности, электрических фильтров и других элементов и узлов радиотехнической и электронной аппаратуры. В электрических сетях переменного тока конденсаторы применяют для компенсации реактивной мощности.

Электрический конденсатор имеет два проводника (их иногда называют обкладками), которые разделены диэлектриком, по форме проводников различают конденсаторы плоские (рис. 2.9, а), цилиндрические (рис. 2.9, б).

 

 

 

а) б)

Рис. 2.9

 

Для определения емкости плоского конденсатора воспользуемся формулой (2.5) и формулой Е = s / e₀ (табл. 2.1), заменив в ней электрическую постоянную e₀ диэлектрической проницаемостью диэлектрика e _а:

Е = s / e_а; U / d = s / e_а,

где d — расстояние между обкладками конденсатора. Умножим обе части равенства на S (S – площадь одной обкладки), получим выражение емкости плоского конденсатора

C = Q / U = e_а S / d. (2.9)

Емкость цилиндрического конденсатора выражает формула (2.10), а двухпроводной воздушной линии (рис. 2.10) — формула (2.11):

, (2.10)

где l — длина цилиндрического конденсатора или участка линии;

(2.11)

здесь r₁; r₂ — радиусы обкладок внутренней и внешней; а — расстояние между осями проводов линии; r₀ — радиус провода.

Диэлектрики, применяемые для изготовления конденсаторов, в большинстве случаев имеют постоянную величину диэлектрической проницаемости, независимую от напряженности электрического поля. Поэтому конденсаторы имеют постоянную величину емкости.

 

 

Рис. 2.10 Рис. 2.11

 

У сегнетоэлектриков e_а зависит от напряженности электрического поля, поэтому конденсаторы с сегнетоэлектриками (вариконды) имеют нелинейную вольт-кулонову характеристику q = f (U). Их применяют в автоматике и радиотехнике в схемах диэлектрических усилителей постоянного и переменного токов, умножителей и делителей частоты, стабилизаторов напряжения и т. д.

В зависимости от назначения, рабочих характеристик (величин емкости, напряжения, частоты) промышленность выпускает конденсаторы, отличающиеся по конструкции и материалам: бумажные, электролитические и др.

В бумажном конденсаторе проводники — две длинные ленты алюминиевой фольги изолированы лентами парафинированной бумаги (рис. 2.11).

Одной из обкладок электролитического конденсатора также служит алюминиевая фольга 2, другая обкладка из бумаги или ткани 1, пропитанной электролитом. Изоляцией является тонкий слой окиси на поверхности обкладки из алюминиевой фольги. Электролитические конденсаторы работают при неизменной полярности обкладок (в цепях постоянного тока).

Соединение конденсаторов. В практике иногда необходимо соединять конденсаторы в батареи, для чего применяют схемы последовательного, параллельного и смешанного соединений.

Каждый конденсатор имеет два наружных зажима (начало «Н», конец «К») для присоединения его к другим элементам.

В схеме (рис. 2.12) начало следующего конденсатора соединено с концом предыдущего (последовательное соединение).

 

Рис. 2.12 Рис. 2.13

 

 

Источник присоединен к обкладкам крайних конденсаторов, а внутренние конденсаторы с источником непосредственно не соединены и заряжаются путем электростатической индукции. Поэтому заряд всей группы конденсаторов и каждого конденсатора один и тот же:

Q = Q₁ = Q₂ = Q₃

 

Для упрощения схемы и расчетов группу конденсаторов можно заменить одним конденсатором эквивалентной емкости С. Общее напряжение U в данном случае распределяется между конденсаторами обратно пропорционально их емкости [см. формулу (2.8)] и равно сумме напряжений на этих конденсаторах: U= U₁ + U₂ + U_3.

Подставим в это равенство выражения напряжений по формуле (2.8) и после сокращения на Q получим выражение для опреде­ления эквивалентной емкости

 

1 / С = 1 / С₁ + 1 / С₂ + 1 / Сз. (2.12)

 

В схеме (рис. 2.13) конденсаторы группы присоединены одной обкладкой в общей точке 1, а другой — в общей точке 2. К этим точкам подводится напряжение источника. При таком (параллельном) соединении группу конденсаторов тоже можно заменить одним с эквивалентной емкостью С.

В данной схеме все конденсаторы группы имеют между обкладками одно и то же напряжение U, а заряды получают разные, пропорциональнои х емкости [см. формулу (2.8)].

Каждый конденсатор получает заряд независимо от других, поэтому общий заряд равен сумме зарядов отдельных конденсаторов:

Q = Q₁+ Q₂ + Q₃

 

Подставив сюда выражения зарядов по формуле (2.8) и сократив на U, получим формулу для определения эквивалентной емкости

С = С₁ + С₂ + Сз. (2.13)

 

В схемах (рис. 2.14, а, 2.15) имеются участки с последовательным и параллельным соединением конденсаторов (смешанное соединение). Подобную группу конденсаторов можно заменить эквивалентным конденсатором с емкостью С (рис. 2.14, б, в).

 

 

а) б) в)

 

Рис. 2.14 Рис. 2.15

 

Энергия электрического поля. Электрическое поле обладает энергией, которая накапливается при образовании заряда в электрическом устройстве. Наглядным примером такого устройства является электрический конденсатор, который рассмотрим в схеме его зарядки от источника электрической энергии с постоянным напряжением U через резистор с сопротивлением R (рис. 2.16, а). Заряд конденсатора образуется переносом заряженных частиц с одной обкладки на другую под действием внешнего источника энергии. При этом одна часть энергии источника расходуется на образование заряда и запасается в виде энергии электрического поля в конденсаторе, а другая преобразуется в теплоту в резисторе и соединительных проводах.

 

а) б)

Рис. 2.16

 

Работа, совершенная при переносе единицы заряда, численно равна напряжению между обкладками U_s. Если бы это напряжение в процессе зарядки не изменялось, то энергию можно было бы определить произведением напряжения и заряда [см. формулу (2.4)]. Однако в процессе накопления заряда растет и напряжение, поэтому при определении энергии, затраченной на образование заряда, нужно учесть зависимость между напряжением и зарядом, которая при постоянной величине емкости конденсатора С графически выражается прямой линией (рис. 2.16, б).

Предположим, что заряд Q₁ увеличился на dQ — величину столь малую, что в пределах его изменения напряжение можно считать неизменным: U_s = U_s1 (d U_s → 0). В этом случае работа, выполненная при увеличении заряда на dQ, определяется произведением dW_э = Us₁ dQ. На рис. 2.16, б работа показана заштрихованным элементом площади.

Всю работу, затраченную на образование заряда, можно определить, суммируя элементы площади в пределах изменения заряда от 0 до Q и напряжения от 0 до Uc = U, т. е. площадью прямоугольного треугольника: W_э = U Q / 2. Учитывая также формулу (2.7), получим еще два выражения для энергии электрического поля конденсатора:

 

W _э = U Q / 2 = C U² / 2 = Q² / 2 C. (2.14)

 

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ R
1. Электрическая сила: ;   2. Напряженность электрического поля: Е = Fэ / Q2 или Е = Q / (4pe0 r^2).   3. Работа: А1.2 = Е Q l.   4. Электрическое напряжение: U = A1.2 /Q или U = Е l; U1.2 = V1 – V2.   5. Потенциал поля в точке 1,2: V1 = А1 /Q; V2 = А2 / Q;   6. Электроёмкость проводника: С = Q / V, между двумя проводниками: C = Q / (V1 - V2) = Q / U   7. Ёмкость плоского конденсатора: C = Q / U = e а S / d   8. Ёмкость цилиндрического конденсатора: , двухпроводной воздушной линии: .   9. Последовательное соединение конденсаторов: Q = Q1 = Q2 = Q3 U= U1 + U2 + U3 1 / С = 1 / С1 + 1 / С2 + 1 / Сз.   10. Параллельное соединение конденсаторов: Q = Q1+ Q2 + Q3 U= U1 = U2 = U3 С = С1 + С2 + Сз   11. Энергия электрического поля конденсатора: W э = U Q / 2 = C U^2/ 2 = Q^2/ 2
	Схемы	Обозначения	Единицы и значения величин
		Q1, Q2 – электрические заряды	1 Кл (Кулон)
	r – расстояние между заряженными телами	1 м (метр)
	e0 – электрическая постоянная	e0 = 8,85 × 10^-12Ф/м
		Е – напряженность электрического поля	В/м
	Fэ – электрическая сила	1 Н
	А1,2 - работа	1 Дж
	U – электрическое напряжение	1 В
	l – расстояние между точками 1, 2	1 м
	V1, V2 - потенциал поля в точке 1, 2	1 В
		С – электрическая ёмкость	1 Ф
	eа – диэлектрическая проницаемость диэлектрика	1 Ф/м
	S – площадь одной обкладки	1 м^2
	d – расстояние между обкладками конденсатора	1м
	а – расстояние между осями проводов линий	1 м
		r0 – радиус провода	1 м
	r1, r2 – радиусы обкладок внутренней и внешней	1 м
	l – длина цилиндрического конденсатора или участка линии	1 м
	1/С – эквивалентная ёмкость конденсатора	1/Ф
	U – общее напряжение	1 В

 

Примеры решения задач Ë

 

1. На заряд Q = 16ּ10 ^–8 Кл действует сила F = 2,4ּ10 ^–3 Н. Найти напряженность электрического поля в данной точке. Определить заряд Q₀, создающей это поле, если он удален от этой точки на расстояние r = 0,3 м в вакууме.

 

Дано:   Q = 16ּ10^–8Кл F = 2,4ּ10^–3 Н r = 0,3 м	Решение   1. Напряженность поля в данной точке: Е = F / Q = 2,4ּ10^–3/ (16ּ10^–8) = 0,15ּ10^5 В/м 2. Значение заряда при данной напряженности: Q0 = Е4nεε0r^2 = 0,15ּ10^5ּ4ּ3,14ּ8,85ּ10^-12ּ(0,3)^2 = = 15ּ10^–8 Кл.   Ответ: 0,15ּ10^5 В/м; 15ּ10^–8 Кл.
E, Q0 –?

 

 

2. Два разнополярных заряда в стекле Q₁ = + 3,5ּ10 ^-9 Кл и Q₂ = -3,5ּ10^-9 Кл находятся на расстоянии r = l8 cм друг от друга. Заряд Q₃ = + 2ּ10^-8 Кл расположен на расстоянии r = 24 смот этих двух зарядов. Определить значение и направ­ление напряженности поля Е в точке, находящейся посередине между зарядами Q₁ и Q₂.

 

Дано:   Q1 = + 3,5ּ10^-^9 Кл Q2 = -3,5ּ10^-9 Кл r = l8 cм Q3 = + 2ּ10^-8 Кл r = 24 м	Решение   1. Напряженность поля от действия заряда Q1 в искомой точке: Е1 = = 550 В/м. 2. Напряженность Е2 = 550 В/м, так как Q1 = Q2 и r1 = r1. Для определения напряженности в этой же точке от действия заряда Q3 необходимо найти расстояние r3 этой точки от заряда Q3: из прямоугольного треугольника имеем r3 = = 22,2 см.
E –?

3. Найдем напряженность Е₃:

Е₃ = = 520 В/м.

4. Определим вектор напряженности поля в указанной точке: Е = Е ₁ + Е ₂ + Е ₃.

Векторы Е ₁ и Е ₂ направлены в одну сторону (так как заряды Q₁ и Q₂ разноименные и Е ₁₂ = Е ₁ + Е ₂= 550 + 550 = 1100 В/м.

Вектор Е ₃ направлен перпендикулярно вектору Е ₁₂, и суммарный вектор напряженности:

E = = 1220 В/м.

При определении направления вектора Е необ­ходимо помнить, что оно совпадает с направлением силы, действующей на положительный заряд.

 

Ответ: 1220 В/м.

 

3. К выводам плоского воздушного конден­сатора приложено напряжение U = 800 В. Определить напряженность электрического поля конденсатора при расстоянии между пластинами d = 5 мм и силу, действующую в этом поле на единичный заряд Q = 1,5ּ10^-7 Кл. Определить емкость конденсатора, если площадь каждой пластины S = 24 см². Как изменится его емкость, если конденсатор поместить в спирт?

 

Дано:   U = 800 В d = 5 мм Q = 1,5ּ10^-7 Кл S = 24 см^2	Решение   1. Напряженность электрического поля плоского конденсатора Е = U / d = 800 / (5ּ10^-3) = 16ּ10^4, В/м 2. Если заряд помещен в электрическое поле конденсатора, то F = EQ = 16ּ10^4ּ1,5ּ10^-7 = 0,024 Н. 3. Емкость плоского воздушного конденсатора С = = 4,25ּ10^-12 Ф = 4,25 пФ.
C' –?

Если конденсатор помещен в спирт, диэлект­рическая проницаемость которого

ε = 33, емкость увеличивается в 33 раза при неизменных расстоянии между

пластинами и площади пластин:

С' = С ε = 4,25пФ ּ33 = 140пФ.

 

Ответ: 140 пФ.

 

 

4. Два плоских конденсатора емкостями С1 = 0,5 мкФ и С2 = 1,5 мкФ соединены последовате­льно и подключены к источнику питания. При этом на обкладках конденсаторов появился заряд Q = 4,5ּ10^-4 Кл. Оба конденсатора имеют одинако­вые площади пластин и одинаковый диэлектрик. Определить общую (эквивалентную) емкость соедине­ния, подведенное напряжение, падение напряжения на обоих конденсаторах и расстояние между пла­стинами первого конденсатора, если напряженность электрического поля второго конденсатора Е = 2000 В/см. Определить энергию электрического поля эквивалентного конденсатора.

 

Дано:   С1 = 0,5 мкФ С2 = 1,5 мкФ Q = 4,5ּ10^-4 Кл Е = 2000 В/см

Решение   1. Определим напряжения U1 и U2, на конденсаторах: U1 = Q / C1 = 4,5ּ10^-4/ (0,5ּ10^-6) = 900 В; U2 = Q / C2 = 4,5ּ10^-4/ (1,5ּ10^-6) = 300 В. 2. Напряжение, подведенное к зажимам цепи U = U1 + U2 = 900 + 300 = 1200 В. 3. Общая, или эквивалентная, емкость последовате­льно соединенных конденсаторов C = C1C2 / (C1 + C2) = 0,5ּl,5 / (0,5 + l,5) = 0,375 мкФ, или С = Q / U = 4,5ּ10^-4 / 1200 = 0,375ּ10^-6 Ф = 0,375 мкФ.

С, U, d1, W –?

4. Определим расстояние между пластинами второго конденсатора по (1.9):

d₂ = U₂ / E =300 / 2000 = 0,15 см.

5. Если конденсаторы имеют одинаковые площади пластин и один и тот же диэлектрик, то С₁ / С₂ = d₂ / d₁,

откуда d₁ = = 0,45 см.

6. Энергию электрического поля найдем по (1.12)

W = CU² / 2 = 0,375ּ10^-6ּ1200² / 2 = 0,29 Дж.

 

Ответ: 0,375 мкФ, 1200В, 0,45см, 0,29 Дж.

 

 

Контрольные вопросы 4

 

1. На рисунке показана модель атома водорода. В какой области пространства действует электрическое поле

а) в области А;

б) в области В?

 

2. Какое из приведённых утверждений вы считаете правильным?

а) поле и силовые линии существуют реально;

б) поле существует реально, а силовые линии условно;

в) поле и силовые линии существуют условно.

 

3. Какой величиной является потенциал электрического поля?

а) векторной;

б) скалярной.

 

4. Какого соотношение между потенциалами точек А и В?

а) V_A = V_B;

б) V_A ¹ V_B.

 

5. При параллельном соединении трёх конденсаторов, подключенных к источнику питания, один из них (С₃) оказался пробитым. Как изменится напряжение на конденсаторах и какой станет их общая ёмкость?

а) U = const; С_общ = С₁ +С₂;

б) U = 0; С_общ = ¥.

 

6. Три конденсатора подключенные к источнику питания, соединены последовательно. Как будет распределяться напряжение на конденсаторах?

а) U₁ > U₂ > U₃;

б) U₃ > U₂ > U₁;

в) недостаточно данных для ответа на вопрос.

 

7.Три конденсатора можно соединить последовательно, параллельно и по схемам смешанного соединения. Сколько схем соединения можно построить из трех конденсаторов одинаковой емкости С и какая из них имеет наименьшую эквивалентную емкость?

 

Задачи для самостоятельного решения?

 

1. Два заряда Q₁ = 5ּ10^-8 Кл и Q₂ = 12ּ10^-8 Кл, находящиеся на расстоянии r = 20 см друг от друга, разделены диэлектриком, в качестве которого использована парафинированная бумага. Определить силу взаимодействия этих за­рядов. Как она изменится, если убрать диэлектрик?

2. Определить силу взаимодействия двух заря­дов Q = 3,5ּ10^-7 Кл и Q₂ = 6ּ10^-7 Кл, находящихся на расстоянии r = 5 см друг от друга и помещенных в воду.

3. Два заряда Q₁ и Q₂, находящиеся на рас­стоянии r = 10 см в воздухе, взаимодействуют с силой F = 1,2 H. Определить заряд Q₂, если известно, что Q₁ = 6ּ10^-7 Кл.

4. Между двумя зарядами Q₁ = 22ּ10^-7 Кл и Q₂ = 5ּ10^-7 Кл помещен электрокартон. Сила взаимодействия этих зарядов F = 0,8 H. Определить расстояние между ними.

5. Два заряда Q₁ и Q₂, находящиеся на расстоянии r = 25 см в воздухе, взаимодействуют с силой F = 0,l H. Определить заряд Q₂, если Q = l,5ּ10^-6 Кл.

6. Сила взаимодействия двух зарядов, нахо­дящихся в воздухе, F = 3 Н; Q₁ = 3ּ10^-5 Кл и Q₂ = 0,6ּ10^-5 Кл. Определить расстояние между ними.

7. Определить напряженность электрического поля, действующего с силой F = 5,4ּ10^-4 Н на заряд Q = 1,8ּ10^-3 Кл.

8. Электрическое поле с напряженностью Е = 0,8 В/м действует на заряд с силой F = 9,6ּ10^-4 Н. Определить этот заряд.

9. Определить силу, с которой действует элек­трическое поле, имеющее напряженность Е = 1,4 В/м, на заряд Q = 4ּ10^-6 Кл.

10. На расстоянии r = 1,5 см от заряда Q, на­ходящегося в воздухе, напряженность электрического поля Е = 650 кВ/м. Определить заряд Q.

11. Определить заряд, перемещенный в точку поля с потенциалом φ = 10В, если при этом совер­шена работа А = 0,5ּ10^-6 Дж.

12. Потенциал электрического поля φ = 20 В. Определить работу, совершаемую силами этого поля, при внесении в него заряда Q = 5,5ּ10^-4 Кл.

13. Напряженность электрического поля Е = 5ּ10^-2 В/м. Определить силу, с которой дей­ствует это поле на заряд Q = 1,6ּ10^-3 Кл, и работу по перемещению этого заряда в точку поля с потен­циалом φ = 45 В.

14. Определить разность потенциалов между двумя точками электрического поля, если при перемещении заряда Q = 0,5ּ10^-6 Кл совершена работа А = 18ּ10^-5 Дж.

15. Определить емкость конденсатора, если он был заряжен до напряжения U = 250 В. При этом заряд конденсатора Q = l0^-4 Кл.

16. Определить напряженность электрического поля между пластинами плоского конденсатора, находящимися на расстоянии d = 3 мм, если напряже­ние, приложенное к ним, U = 450 В. Определить емкость этого конденсатора при условии, что заряд на его пластинах Q = 3ּ10^-4 Kл.

17. Плоский воздушный конденсатор емкостью С = 1мкФ заряжен от источника постоянного тока напряжением 27 В. Определить заряд и напряжен­ность электричес-кого поля заряженного конденсатора при расстоянии между его пластинами d = 1,5 мм. Определить также энергию электрического поля.

18. Емкость конденсатора С = 1,5 мкФ, заряд на его обкладках Q = 45ּ10^-5 Кл. Определить напряже­ние на зажимах конденсатора.

19. Конденсатор заряжен от источника питания напряжением U = 100 В. Энергия электрического поля конденсатора W = 6·10^-3 Дж. Определить его ем­кость.

20. К конденсатору емкостью С = 0,25 мкФ под­ведено напряжение U = 400 В. Определить энергию электрического поля конденсатора.

21. Определить эквивалентную (общую) емкость С двух последовательно включенных конденсаторов С1 = С2 = 0,7 мкФ.

22. Общая емкость двух последовательно вклю­ченных конденсаторов С = 1,2 мкФ. Емкость одного конденсатора С1 = 3 мкФ. Определить емкость второ­го конденсатора.

23. Конденсаторы емкостями С1 = 10 мкФ и С2 = 15 мкФ соединены последовательно. Опреде­лить их эквивалентную емкость.

24. Три конденсатора одинаковой емкости С1 = С2 = СЗ = 12 мкФ соединены последо-вательно. Определить их эквивалентную емкость.

25. Общая емкость трех последовательно со­единенных конденсаторов С = 0,08 мкФ. Определить емкость одного из конденсаторов, если емкости С1 = 0,2 мкФ, С2 = 0,4 мкФ. Определить их эквива­лентную емкость при параллельном соединении конденсаторов.

26. Четыре конденсатора емкостями С7 = 0,18 мкФ, С2 = 0,7 мкФ, C3 = 0,12 мкФ и С4 = 0,5 мкФ соединены параллельно. Определить их эквивалентную емкость.

27. Три конденсатора емкостями С1 = 47 пФ, С2 = 18 пФ, С3 = 75 пФ соединены параллельно, и к ним последовательно подключен конденсатор С4 = 75 пФ. Определить общую емкость цепи и эк­вивалентную емкость конденсаторов, если конден­сатор С4 подсоединить параллельно.

28. На рис. представлена схема соединения конденсаторов, где С1 = С2 = 1 мкФ, С3 = 2 мкФ. Определить эквивалентную ем­кость.

 

29. Общая емкость двух последовательно со­единенных конденсаторов С_об = 18 мкФ. Определить емкость каждого конденсатора, если напряжение на зажимах цепи U = 450 В, а на конденсаторе С1 U₁ = 150 В.

3. Электрические цепи

постоянного тока

3.1 Понятие об электрической цепи и её элементах.

Условные обозначения на схемах ……………………………………………….. 33

3.2 Основы расчета электрических цепей постоянного тока ……………………… 35

3.3 Режимы работы электрических цепей …………………………………………... 36

3.4 Характерные особенности последовательного соединения резисторов

и источников ……………………………………………………………………… 36

3.5 Характерные особенности параллельного соединения резисторов

и источников ………………………………………………………………………. 37

3.6 Метод свёртывания схем. Смешанное соединение источников

электрической энергии …………………………………………………………… 38

3.7 Первый закон Кирхгофа …………………………………………………………. 38

3.8 Второй закон Кирхгофа ………………………………………………………….. 38

3.9 Плавкие предохранители ………………………………………………………… 39

3.10 Выбор сечения проводов по условиям нагрева и потери напряжения ………... 39

Основные формулы ……………………………………………………….... 41

Обозначения ……………………………………………………………….... 42

Примеры решения задач ……………………………………………………. 43

Контрольные вопросы ……………………………………………………....45

Задачи для самостоятельного решения …………………………………….45