Электроёмкость. Конденсаторы..

 

Рассмотрим проводник, находящийся в однородной среде вдали от заряжённых тел и других проводников. Такой проводник назовём уединённым. Сообщим такому проводнику некоторый заряд q. Этот заряд распределится по поверхности так, чтобы напряжённость поля внутри проводника равнялась нулю. А все точки внутри проводника и на поверхности приобретут некоторый одинаковый потенциал φ.

Поместим теперь на тот же проводник заряд q`=n*q, т.е в n раз больший.

Чтобы поле внутри проводника вновь равнялось 0, заряд q` должен распределиться по поверхности проводника подобно заряду q. Очевидно, что и потенциал проводника увеличиться в n раз. Т.е. потенциал в каждой точке поля прямо пропорционален заряду проводника.

Будем сообщать проводнику разные по величине заряды q’,q’’,q’’’ и т.д. Соответственно потенциал проводника будет приобретать значения φ’, φ’’, φ’’’..

Однако отношение заряда к потенциалу будет оставаться постоянным для данного проводника.

Следовательно, это отношение может служить характеристикой самого проводника. Отношение q к есть постоянная для данного проводника величина и называется электроёмкостью или просто ёмкостью С проводника.

 

(1)

 

Из (1) можно написать:

Электроёмкость уединённого проводника численно равна величине заряда, который нужно сообщить данному проводнику для увеличения его потенциала на единицу.

В СИ за единицу электроёмкости принимают ёмкость такого проводника, при сообщении которому заряда в 1Кл его потенциал изменяется на 1В. Эта единица называется фарадой.

 

1Ф=1Кл/1В

 

Вычислим электроёмкость уединённого сферического проводника. Потенциал шара радиуса R на котором находится заряд q равен:

 

В СИ коэффициент k равен 9*10⁹ м/ф.

Из (2) следует, что электроёмкостью равной 1 фараде, обладает проводящий шар находящийся в вакууме ( и имеющий радиус

Это примерно в 1500 раз больше радиуса Земли. Т.о. фарада- очень большая величина, поэтому на практике пользуются единицами равными долям фарады

1 мкф=10^-6ф 1 пф=10^-12ф

 

Конденсаторы.

 

Мы рассмотрели электроёмкость уединённого проводника. Рассмотрим теперь, как влияют на электроёмкость проводника другие окружающие его тела (проводники или диэлектрики).

Под действием поля, создаваемого заряженным проводником А, на окружающих телах возникают индуцированные заряды (на проводниках) или связанные заряды (на диэлектриках). Заряды, противоположные по знаку заряду проводника А, располагаются ближе к проводнику, чем одноимённые и следовательно оказывают большее влияние на его потенциал и, следовательно, потенциал проводника уменьшается по абсолютной величине. Согласно формуле это означает увеличение емкости проводника. Основываясь на этом факте возрастания ёмкости проводника при приближении к нему других тел, можно создавать приборы большой емкости, называемые конденсаторами. Конденсаторы при небольшом относительно окружающих тел потенциале могут накапливать на себе (конденсировать) заметные по величине заряды.

Конденсаторы делают в виде двух проводников (обкладок), расположенных близко к друг другу. Чтобы внешние тела не оказывали воздействия на ёмкость конденсатора, обкладкам придают такую форму и так располагают их друг относительно друга, чтобы поле было полностью сосредоточено внутри конденсатора. Этому условию удовлетворяют две параллельных пластинки, два коаксиальных цилиндра, две концентрические сферы расположенные близко друг к другу. Соответственно бывают плоские, цилиндрические и сферические конденсаторы.

Поскольку поле заключено внутри конденсатора, заряды на обкладках должны быть равны по величине и противоположны по знаку.

Под ёмкостью конденсатора понимается физическая величина, равная отношению заряда одной из обкладок q к разности потенциалов между обкладками.

 

Величина емкости конденсатора зависит от формы и размера обкладок и расстояния между ними, а также от диэлектрических свойств среды, заполняющей пространство между обкладками.

Найдём формулу для ёмкости плоского конденсатора.

Пусть заряд на обкладках q, площадь обкладки S и расстояние между обкладками d.

Тогда

 

- диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками конденсатора.

Рассмотрим сферический конденсатор. Поле между обкладками создаётся только зарядом на внутренней сферической обкладке

Из (1) и (2) видно, что С~ , т.е. введение между обкладками диэлектрика с большой позволяет получить большую ёмкость.

 

 

Энергия электрического поля

 

Зарядить некоторый проводник означает перенести на его поверхность из бесконечности некоторый заряд q. Перенос первой порции заряда не сопровождается совершением работы. Для переноса же каждой последующей порции заряда необходимо совершить определенную работу против сил отталкивания между электрическими зарядами. Эта работа идет на увеличение энергии заряженного проводника.

Пусть имеется проводник, у которого емкость, заряд и потенциал соответственно равны С, q, .Работа, совершаемая против сил электростатического поля при перенесении заряда dq из бесконечности на проводник, равна

(1)

Так как. потенциал в процессе зарядки меняется, то выражение (1) может быть записано только для элементарной работы. Полная работа по зарядке тела от нулевого потенциала до потенциала получается интегрированием выражения (1)

Очевидно, что энергия заряженного тела равна той работе, которую надо совершить, чтобы зарядить это тело

(2)

Используя связь между c, и q можно записать W и в других формах

 

- (3)

Выражение (3) представляет собой собственную энергию заряженного тела.

 

Если мы имеем систему заряженных тел, то, поскольку W есть скалярная величина, полная энергия системы будет равна сумме энергий отдельно заряженных тел.

(4)

Конденсатор можно представить как систему зарядов: заряд +q находится в точках с потенциалом , а заряд -q в точках с потенциалом . Тогда по формуле (4) энергия заряженного конденсатора равна

или

(5)

Увеличение потенциала проводника вызывает соответствующее усиление его электростатического поля. Естественно предположить, что собственная энергия заряженного тела есть ни что иное, как энергия его электростатического поля. Проверим это предположение на примере поля плоского конденсатора.Для этого нам надо доказать, что энергия заряженного конденсатора пропорциональна объему, в котором сосредоточено поле и напряженности этого поля.

; ;

(6)

 

где V=Sd- объем электростатического поля между обкладками конденсатора, что и требовалось доказать.

Поле в конденсаторе однородное и следовательно заключенная в нем энергия распределяется в пространстве с одинаковой плотностью w

Следовательно, плотность энергии поля конденсатора равна:

 

Исследования неоднородных электрических полей, создаваемых произвольными заряженными телами, показали, что для них формула (6) неприменима, тогда как выражение (7) остается справедливым и определяет объемную плотность энергии в каждой точке любого электрического поля.

Поэтому, энергия dW бесконечно малого объема dV поля равна

 

(8)

 

Полная энергия поля равна

 

(9)

 

Диэлектрики в электрическом поле

 

В нескольких последующих параграфах мы рассмотрим электрические свойства непроводящих веществ – диэлектриков.

Диэлектрики отличаются от металлов тем, что в них нет свободных электрических зарядов, способных под действием электрического поля перемещаться через весь диэлектрик.