Электромагнитные силы. Энергия магнитного поля

В технике широко применяют устройства, в основе работы которых лежит силовое действие магнитного поля (электродвигатели, реле и контакторы, тяговые и подъемные электромагниты, электроизмерительные приборы и др.). Электромагнитные силы приходится учитывать при расчете электрических аппаратов, проектировании распределительных устройств электрических станций и сетей и т. д.

Сила, действующая на проводник с током в магнитном поле. Большой практический интерес представляет выражение электромагнитной силы, действующей на проводник с током I в равномерном магнитном поле с магнитной индукцией В (рис. 4.13). Прямолинейный отрезок провода расположен в пространстве между полюсами постоянного магнита или электромагнита (катушки со стальным сердечником) так, что между направлениями магнитной индукции и тока угол α = 90°.

В равномерном магнитном поле на одинаковые элементы длины провода действует одинаковая по величине и направлению электромагнитная сила ΔF_м = BIΔ l, что следует из формул (4.1) и (4.2). Рис. 4.13

Сложим элементарные силы по длине l той части провода, которая находится в магнитном поле, получим выражение электромагнитной силы

F_м = B I l. (4.24)

 

При других значениях угла α электромагнитную силу определяют по формуле

F_м = B I l sin α, (4.25)

где l sin α — проекция отрезка l на направление, перпендикулярное направлению магнитной индукции.

Направление электромагнитной силы всегда перпендикулярно плоскости, в которой лежат провод и линии магнитной индукции, но его удобно определить по правилу левой руки: если левую руку расположить так, чтобы линии магнитной индукции «входили» в ладонь, а вытянутые четыре пальца показывали направление тока в проводе, то отогнутый в плоскости ладони большой палец покажет направление электромагнитной силы.

Рассмотрим проводящий контур прямоугольной формы, расположенный в равномерном магнитном поле, как показано на рис. 4.14.

 

 

 

Рис. 4.14

 

При наличии тока I в контуре на его стороны аб и вг действуют электромагнитные силы F_м, которые образуют вращающий момент. Предположим, что ось вращения проходит через середину контура и он поворачивается из положения I в положение II. Некоторое промежуточное положение контура характеризуется углом β, отсчитанным от вертикальной плоскости (в положении I угол β = 0).

Магнитный поток, сцепляющийся с контуром в процессеего поворота, изменяется по такому же закону, по какому изменяется проекция площади контура на плоскость, перпендикулярную линиям магнитной индукции (горизонтальная плоскость): S = l d sin β; Ф = BS = B l dsin β. Обозначив наибольшую величину магнитного потока В l d = Ф_m (положе-ние II, β = 90°), получим Ф = Ф_m sin β.

В процессе поворота контура при постоянном токе I силы F_м сохраняют свое направление и величину. Одновременно с изменением магнитного потока, сцепляющегося с контуром, изменяется работа электромагнитных сил: ΔA = 2BI l sinβ = IФ_msinβ. В начальном положении контура магнитный поток, сцепленный с ним, равен нулю, поэтому величина магнитного потока в промежуточном положении контура является изменением потока, т. е. Ф_msinβ = ΔФ, а ΔA = IΔФ.

Если проводящий контур содержит не один, а N витков, тогда работа электромагнитных сил увеличивается в N раз, т. е. ΔA = INΔФ. Учитывая, что NΔФ = ΔΨ, получим формулу

 

ΔА = I ΔΨ. (4.26)

 

Рассмотренные примеры являются иллюстрацией важных для практики свойств электромагнитных систем:

1. Изменение работы электромагнитных сил или энергии в электромагнитной системе выражается произведением тока и изменения магнитного потокосцепления.

2. Всякий проводящий контур с током в магнитном поле под действием электромагнитных сил стремится занять такое положение, при котором магнитный поток, сцепленный с контуром, будет наибольшим положительным. (При этом положительным считают магнитный поток, совпадающий по направлению внутри контура с потоком созданным током этого контура.)

Тяговое усилие электромагнита. Приведенные положения подтверждаются также действием тяговых электромагнитов. Конструкции тяговых электромагнитов (рис. 4.15) разнообразны и определяются их назначением. Но все они имеют намагничивающую обмотку 3, стальной магнитопровод, состоящий из двух частей — неподвижной 1 и подвижной 2. Подвижная часть магнитопровода (якорь) намагничивается в магнитном поле обмотки с током и притягивается к неподвижной части с силой

F_м = B² S/2μ₀, (4.27)

где В — магнитная индукция, S — площадь сечения полюса.

Магнитный поток при этом достигает наибольшего значения для данной электромагнитной системы, так как воздушныйзазор между сердечником и якорем сокращается, а магнитное сопротивление становится наименьшим.

 

Рис. 4.15 Рис. 4.16

 

Силы, действующие на параллельные провода с токами. Параллельное расположение проводов с токами на практике встречается часто: например, при установлении шин распределительных устройств электрических станций и подстанций.

Для того чтобы правильно выбрать шины и изоляторы,на которых они закреплены, приходится определять электромагнитные силы, действующие на шины.

В подобном случае (рис. 4.16) провод 2 с током I₂ находится в магнитном поле тока I₁. Магнитная индукция в месте расположения провода 2 В₁ = μ₀ I₁ / 2π а, где а— расстояние между осями проводов. Между направлениями магнитной индукции B₁ и током I₂ угол 90°, поэтому согласно формуле (4.24)

F_м1.2 = В₁ I₂ t₂ = μ₀ I₁ I₂ l ₂ / 2 π а.

Аналогично можно выразить силу F_м1.2, действующую на провод 1 в магнитном поле провода с током I₂.

Общее выражение для силы, действующей на равные по длине участки двух проводов,

F_м = . (4.28)

Свободная заряженная частица в магнитном поле. Действие магнитного поля на заряженные частицы, движущиеся вне проводника, например в вакууме, широко используется в технике. Примерами могут служить фокусировка или смещение электронного пучка (луча) в электроннолучевых трубках телевизоров, осциллографов, электронных микроскопов, ускорение заряженных частиц для исследования ядерных процессов и т. д.

Для определения силы, действующей на частицу с зарядом Q, движущуюся в равномерном магнитном поле перпендикулярно направлению магнитной индукции, можно использовать формулу (4.24). Подставим в нее выражение и обозначим скорость движения частицы l / t = υ, получим F_м = BQυ.

В данном случае сила F_м согласно правилу левой руки направлена перпендикулярно направлениям магнитной индукции и скорости частицы. Из механики известно, что под действием постоянной по значению силы, направленной перпендикулярно направлению скорости, тело движется по окружности радиуса ρ = mυ² / F_м = mυ/ QB.

Рис. 4.17

Если все величины правой части полученного уравнения постоянны, то заряженная частица движется по окружности радиуса ρ в плоскости, перпендикулярной направлению линий магнитной индукции.

Угловая скорость движения ω₀ = υ / ρ = QB / m.

Энергия магнитного поля. При возникновении электрического тока в проводящем контуре одна часть энергии источника питания расходуется на преодоление электрического сопротивления контура и превращается в теплоту, другая запасается в виде энергии магнитного поля. С увеличением тока растет энергия магнитного поля. Она может быть возвращена источнику или преобразована в другой вид энергии при уменьшении тока.

Для определения энергии магнитного поля воспользуемся формулой (4.26), принимая во внимание, что в процессе установления тока в контуре значение его изменяется от 0 до 1 и вместе с тем изменяется потокосцепление [см. формулу (4.12)]. Следовательно, в формуле (4.26) оба множителя переменные, поэтому она дает основание определить только приращение энергии ΔW_м за некоторый весьма малый промежуток времени, в течение которого ток в контуре изменяется на Δ i, а потокосцепление — на ΔΨ. Если индуктивность контура постоянна, то зависимость между потокосцеплением и током изображается прямой линией (рис. 4.17). Изменение энергии при изменении тока на Δ i выражается площадью трапеции (на рисунке заштрихована): ΔW_м = i ΔΨ + Δ i ΔΨ/2 ≈ i ΔΨ. Энергию при токе I и потокосцеплении Ψ выражает сумма таких площадок, т. е. площадь S = ΨI/2 прямоугольного треугольника с катетами Ψ, I. Учитывая еще и формулу (4.12), получим три выражения для энергии магнитного поля:

W_м = ΨI / 2 = L I ²/ 2 = Ψ²/2L. (4.29)

 

Электромагнитная индукция.

 

Явление электромагнитной индукции состоит в том, что в проводящем контуре возбуждается электродвижущая сила, если магнитный поток, сцепляющийся с этим контуром, изменяется.

На основе этого физического явления создаются и работают устройства для взаимного преобразования механической и электрической энергии (электрические генераторы и двигатели), передачи и распределения электрической энергии (трансформаторы, реакторы), передачи и приема информации (радиопередатчики, радиоприемники) и многие другие. Явление и закон электромагнитной индукции необходимо знать также для изучения электрических цепей переменного тока.

Явление электромагнитной индукции открыл в 1831 г. английский физик М. Фарадей. В изучение и практическое использование этого явления существенный вклад внесли русские ученые Э. X. Ленц, Б. С. Якоби.

Закон электромагнитной индукции. Электродвижущая сила, возбуждаемая в проводящем контуре при изменении сцепленного с ним магнитного потока (индуктированная э.д.с.), количественно определяется по закону электромагнитной индукции.

Электродвижущая сила, индуктируемая в проводящем контуре, равна скорости изменения магнитного потока, сцепляющегося с этим контуром

е = –d Ф / dt. (4.30)

В катушке, имеющей N витков (контуров), э.д.с. в N раз больше, если все витки ее сцеплены с одинаковым потоком е = NdФ /dt, где dФ /dt — скорость изменения магнитного потока. В общем случае витки катушки могут быть сцеплены с разными потоками, тогда общая э.д.с. определяется алгебраической суммой э.д.с. отдельных витков или скоростью изменения общего потокосцепления катушки

e = –d Ψ / dt.. (4.31)

Знак «минус» в формулах, выражающих э.д.с. электромагнитной индукции, соответствует правилу Ленца: э.д.с., возбуждаемая при изменении магнитного потокосцепления, направлена всегда так, что своим действием препятствует этому изменению.

Э.д.с. самоиндукции и взаимоиндукции. При изменении потокосцепления самоиндукции или взаимной индукции также возбуждается э.д.с. Изменение собственного потокосцепления контура (или катушки) обычно является следствием изменения тока в этом же контуре (или катушке).

Индуктированная в данном случае электродвижущая сила называется э.д.с. самоиндукции. Учитывая (4.31) и (4.9), получим

e_L = –d Ψ_1.1 / dt = –Ldi / dt. (4.32)

Потокосцепление взаимной индукции изменяется при изменениях тока или коэффициента связи.

Выражения э.д.с. взаимоиндукции следуют из формул (4.31) и (4.15)

e_м1 = –d Ψ_2.1 / dt = –Мdi₂ / dt, (4.33)

e _м2 = –d Ψ_1.2 / dt = –Мdi₁ / dt. (4.34)

Э.д.с. самоиндукции и взаимной индукции пропорциональны скорости изменения тока d i /dt. Коэффициентом пропорциональности является индуктивность собственная [см. формулу (4.32)] или взаимная [см. формулы (4.33) и (4.34)]. В правой части этих формул, как и в формулах (4.30), (4.31), поставлен знак «минус», что указывает на соответствие направления э.д.с. правилу Ленца: э.д.с. самоиндукции или взаимной индукции противодействует изменению тока, т. е. замедляет увеличение или уменьшение тока, причем это противодействие тем сильнее, чем быстрее изменяется ток.

Вихревые токи. Примерами использования явления электромагнитной индукции является работа трансформатор,

а) б) Рис. 4.18

а также возникновение и использование вихревых токов.

 

Рис. 4.18

Рассмотрим металлический сердечник внутри катушки с переменным током (рис. 4.18, а, б). В сердечнике можно мысленно выделить ряд замкнутых слоев, ось которых совпадает с осью сердечника. Каждый такой слой представляет собой замкнутый виток, в котором переменным магнитным потоком индуктируется э.д.с. и возникает ток, замыкающийся в плоскости, перпендикулярной оси магнитного потока. Рассматривая совокупность таких замкнутых контуров, можно представить себе в теле сердечника токи, замыкающиеся вокруг оси магнитного потока (вихревые токи).

Направление вихревых токов определяется правилом Ленца. В соответствии с законом Джоуля – Ленца, вследствие вихревых токов выделяется теплота в сердечнике. Это явление используется на практике для нагревания металлов (плавление стали, закалка и др.).

В магнитопроводах электрических машин, трансформаторов и электрических аппаратов тоже возникают вихревые токи. Но здесь они нежелательны, так как увеличивают общие потери энергии в устройствах и вызывают дополнительный их нагрев.

Э.д.с. в проводнике, движущемся в магнитном поле. В проводнике, движущемся под действием механической силы в магнитном поле так, что он пересекает линии магнитной индукции (рис. 4.19, а, б), возникает электродвижущая сила. Свободные электроны проводника АБ движутся вместе с ним со скоростью υ. Электромагнитная сила действует на каждый электрон (силы Лоренца) и, согласно правилу левой руки, направлена вдоль проводника, а по величине определяется выражением (4.24), которое в применении к заряду электрона принимает вид F_л = В e ₀υ. Под действием этой силы электроны переме-щаются к одному концу проводника, где создают избыточный отрицательный заряд, а на другом конце образуется такой же по величине положительный заряд. Разделение зарядов приводит к возникновению электрического поля в проводнике и сил притяжения заряженных частиц F_к (силы Кулона), направленных против сил Лоренца.

 

Рис. 4.19

 

Если проводник движется с постоянной скоростью, то величина сил Лоренца остается неизменной, а силы Кулона растут по мере накопления зарядов. Разделение зарядов прекращается при равенстве электромагнитных и электрических сил. Равенство сил означает наличие между концами проводника АБ установившейся разности потенциалов V_A — V_Б.

Предположим, что шины, по которым катится проводник АБ,металлические и соединены между собой резистором R. Эти элементы вместе образуют замкнутый проводящий контур, в котором под действием разности потенциалов V_A — V_Бпоявится электрический ток. При наличии тока заряды на концах проводника АБнейтрализуются, однако если движение его продолжается, то одновременно происходит разделение зарядов, т. е. установится непрерывный процесс, в результате которого в контуре поддерживаются постоянная электродвижущая сила Е = V_A — V_Б и постоянный электрический ток I.

Величину э.д.с. легко найти из условия равенства сил F_л = F_к и принимая угол между направлениями магнитного поля и движения проводника α =90°

В e ₀υ = .

Отсюда следует формула для определения э.д.с.

E = B υ l. (4.35)

При угле α ≠ 90° в эту формулу вместо полной скорости вводится проекция ее на направление, перпендикулярное направлению магнитной индукции υ sinα, и тогда полу-чается более общая формула

E = B υ l sin α (4.36)

В данном случае для определения направления э.д.с. применяют правило правой руки (рис. 4.20): правую руку надо расположить так, чтобы линии магнитной индукции упирались в ладонь, а большой палец, отогнутый в плоскости ладони перпендикулярно вытянутым четырем, показывал направление движения проводника, тогда вытянутые четыре пальца показывают направление э.д.с.

Рис. 4.20

Взаимное преобразование механической и электрической энергии. Электромагнитная индукция и силовое действие магнитного поля на проводник с током используется для преобразования механической энергии в электрическую, а также электрической энергии в механическую. Такие преобразования энергии происходят в электрических машинах. Рассмотрим принципы взаимного преобразования механической и электрической энергии, используя схему на рис. 4.19.

Проводник АБ движется в магнитном поле под действием силы F_мx с постоянной скоростью υза счет механической энергии какого-либо первичного двигателя (источника механической энергии), механическая мощность которого P_мх = F_мхυ. В проводнике возбуждается э.д.с. Е и ток I = Е / (r + R), где r — сопротивление проводника, R — сопротивление внешней части цепи (шины, электроприемника).

Проводник АБ в данном случае является источником э.д.с., электрическая мощность которого P = EI. С появлением тока возникает электромагнитная сила F_м, которая согласно правилу левой руки действует на проводник АБ противоположно силе F_мх (F_мх — сила движущая, F_м — сила тормозная). При постоянной скорости (установившееся движение) F_мх = F_м. Учитывая это равенство и формулы (4.24), (4.35), получим: P_мх = F_мхυ = BI l υ = ЕI = = Р. Следовательно, механическая мощность первичного двигателя равна электрической мощности источника, т. е. при движении проводника в магнитном поле под действием внешней механической силы механическая энергия полностью превращается в электрическую. Напряжение U_АБ на концах проводника одновременно приложено и к внешней части цепи. Оно меньше э.д.с. на величину внутреннего падения напряжения:

U_АБ = Е – Ir = IR.

Рис. 4.21

Обратный процесс — преобразование электрической энергии в механическую можно показать на том же проводнике АБ, изменив несколько электрическую цепь, в которую он входит (рис. 4.21). Вместо приемника электрической энергии в цепь включен источник э.д.с. Е₀, под действием которого в проводнике АБ возникает ток I. В результате взаимодействия магнитного поля и тока на проводник АБ действует электромагнитная сила F_м и он движется со скоростью υ. В проводнике АБ, движущемся в магнитном поле, индуктируется э.д.с. Е, направленная противоположно току (противо-э.д.с.). По второму закону Кирхгофа, U_АБ —Е = I_r; отсюда ток

I = (U_АБ – Е) / r. В данном случае, в отличие от схемы рис. 4.19, электромагнитная сила F_м движущая, а противодействие движению оказывает механическая сила F_мх (например, сила трения). При равенстве этих сил F_м = F_мх скорость движения проводника = const. Составим баланс мощностей для данной электрической цепи.

Проводник АБ является электроприемником и его мощность Р = U_АБI, но U_АБ = Е + Ir, поэтому P = EI + I²r.

С учетом выражения (4.35) P = Bυ l I + I²r. Первое слагаемое в этойсумме выражает механическую мощность движущегося проводника, а второе — мощность тепловых потерь в проводнике АБ (по закону Джоуля — Ленца).

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ R

1. Закон Ампера: Δ Fм = Закон Био-Савара: ΔВ = = = Магнитная индукция: B = µ0I N / l Магнитный поток: Ф = ВS соs α, Ф = Намагничивающая сила: F = IN Потокосцепление катушки: Ψ = ФN Собственная индуктивность: L = Ψ/ I для цилиндрической или кольцевой катушки L = Ψ / I = µ0 N^2 S / l для отрезка двухпроводной линии: L = ln Напряжённость магнитного поля: Н = В / μ а, H = IN / l Электромагнитная сила: Fм = B I l sin α Работа электромагнитных сил ΔА = I ΔΨ Сила, действующая на равные по длине участки двух проводов: Fм = Угловая скорость движения: ω0 = υ / ρ = QB / m Энергия магнитного поля: Wм = ΨI / 2 = L I^2/ 2 = Ψ^2/2L Закон электромагнитной индукции: е = –d Ф / dt

Схемы	Обозначения	Единици измерения
	D Fм – элементарная магнитная сила	1 Н
m0 = 4 p × 10^-7 – магнитная метр постоянная	1 Г/м
А – элемент тока	1 А м
r – расстояние между элементами тока	1 мм
a - угол между направлениями	^0С
DВ – магнитная индукция	1 Тл
l – длина катушки	1 мм
N - число витков
I - ток	1 А
F - намагничивающая сила	1 Н
Ф – магнитный поток y - потокосцепление катушки	1 Вб
L – собственная индуктивность	1 Г
а – расстояние между проводами линии	1 мм
r0 - радиус поперечного сечения провода	1 мм
Н – напряженность магнитного поля Fм – электромагнитная сила D А – работа электромагнитных сил	1 А/м 1 Н 1 Дж

Примеры решения задач Ë

 

 

1. В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,04 Тл на подвесе помещен проводник длиной l = 70 см перпендикулярно линиям поля (рис.). Определить электромагнитную силу при токах I = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 и 2,5 А. При каком значении тока произойдет разрыв нити, если сила натяжения для ее разрыва F_н = 0,08 H, сила тяжести проводника Р = 0,018 H? Определить минимальный ток для раз­рыва нити подвеса.

 

Дано:   В = 0,04 Тл I = 0,5; 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 А Fн = 0,08 Н Р = 0,018 Н

Решение   1. На проводник с током действует сила F = IB l. Определяем F для указанных значений токов: F1 = 0,5ּ0,04ּ70ּ10^-2 = 0,014H, F2 = 1ּ0,04ּ70ּl0^-2 = 0,028 Н, F3 = 0,042 H, F4 = 0,056 H, F5 = 0,07 Н. 2. Разрыв нити произойдет при Fн = P + F; следова­тельно, электромагнитная сила разрыва F = Fн – P = 0,08 – 0,018 = 0,062 H. 3. Тогда I = F/(B l) = 0,062/(0,04ּ0,7) = 2,2 А, т.е. минимальный ток разрыва нити подвеса со­ставляет 2,2 А   Ответ: 2,2 А.

I –?

 

 

2. На половину длины каркаса с наружным диа­метром D = 240мм и внутренним - d = 190мм, имею­щим прямоугольное сечение площадью S = 400мм²,равномерно нанесена обмотка медным проводом. Определить число витков, индуктивность, сопротивление обмотки и необходимую дли­ну провода (для намотки в один ряд), если магнитная индукция катушки на ее оси составляет В = 1,6ּ10^-3 Тл при токе катушки I = 3,6 А. Плотность тока J = 2 А/мм².

 

Дано:   D = 240мм d = 190мм S = 400мм^2 В = 1,6ּ10^-3 Тл I = 3,6 А J = 2 А/мм^2	Решение   1. В связи с тем, что намотка произведена на половину длины каркаса, расчет надо вести по формулам для прямолинейной катушки. Напряженность поля катушки Н = Iw / l к= 2Iw / l ср, где l к = ½ l ср; l ср = πDср, где Dcp = = = 215мм; l ср = 3,14ּ215 = 675 мм. 2. Напряженность поля можно определить из соот­ношения В = μμ0Н, откуда H = = = 1274 А/м.
w, L, l пр, R –?

3. Тогда w = = = 120 витков.

4. Определим индуктивность катушки:

L = = = = 21,4ּ10^-6 Гн,

или L = = = 21,4ּ10^-6 Гн.

5. Найдем необходимую длину провода для намотки этой катушки. Длина одного витка l _вит = 82мм. Длина провода

l _пр = l _вит w= 82 ּ120 = 9840 мм = 9,84 м.

6. Определим диаметр и сечение медного провода, примененного для намотки катушки:

S_пр = I / J = 3,6 / 2 = 1,8 мм²,

d_пр = = = 0,57 мм.

7. Тогда его сопротивление

R = = 0,0176ּ = 0,096 Ом.

 

Ответ: 120 витков, 21,4ּ10^-6 Гн, 675 мм, 0,096 Ом.

 

 

3. Катушка, имеющая w = 500 витков, внесена в однородное магнитное поле, индукция которого возросла при этом от 0 до 0,8 Тл за время t = 0,1 с. К катушке подключен резистор сопротивлением R = 20 Ом. Определить ток и мощность, выделив­шуюся в резисторе, если сечение катушки S = 12 см² и ее сопротивление R_к = 4, Ом.

 

Дано:   w = 500 витков dB = 0,8 Тл t = 0,1 с R = 20 Ом S = 12 см^2 Rк = 4 Ом	Решение   1. Определим ЭДС, наведенную в ка­тушке: е = – wS = – 500ּ10^-4 = – 4,8 В. 2. Зная сопротивление всей цепи R = 24Ом, опре­делим ток в катушке: I = U / R = 4,8 / 24 = 0,2 А. 3. Мощность, выделившаяся на резисторе, P = I^2R = (0,2)^2ּ20 = 0,8 Вт.   Ответ: 0,2 А, 0,8 Вт.
I, Р –?

 

 

4. Через центр кольца с площадью поперечного сечения S = 1 см², средним диаметром d = 3 см и чис­лом витков w = 100 пропущен провод. Определить ЭДС, наведенную в нем, если магнитная проница­емость сердечника μ = 3000, а ток I в обмотке кольца за t = 0,03 с изменился на 12 А.

 

Дано:   S = 1 см^2 d = 3 см w = 100 витков μ = 3000 S = 12 см^2 t = 0,03 с	Решение   1. ЭДС, наведенная в проводнике, е = – М . 2. Для ее определения необходимо найти значение взаимной индуктивности: М = = = = =0,4ּ10^-3 Гн. 3. Тогда е = - 0,4ּ10^-3ּ = 0,16 В = 160 мВ.   Ответ: 0,2 А, 0,8 Вт.
е –?

 

 

5. На стальное кольцо с магнитной проница­емостью μ = 4000 равномерно намотаны две обмотки с числом витков w = 800 и 300. Сечение кольца круглое, площадью S = 0,8 см², его наружный диа­метр D = 50 мм. Определить энергию магнитного поля внутри кольца, если токи I = 2 А и I = 4,5 А проходят: а) в одном направлении; б) в проти­воположном.

 

Дано:   μ = 4000 w1 = 800 витков w2 = 300 витков S = 0,8 см^2 D = 50 мм I1 = 2 А I2 = 4,5 А	Решение   1. Энергия магнитного поля двух связан­ных катушек W = + = ± MI1I2. 2. Прежде чем определить эту энергию, найдем L1, L2 и М. Найдем индуктивность первой катушки: L1 = , где l ср = pDср; (Dср = D – d). 3. Найдем диаметр поперечного сечения кольца d из выражения S = pd^2 / 4: d = = = 10,4 мм и Dср = 50 – 10,4 = 39,6 мм.
W1, W2 –?

4. Индуктивность L₁ = 4000×1,256×10^-6 = 2,06 Гн.

5. Рассчитаем индуктивность второй катушки:

L₂ = 4000×1,256×10^-6 = 0,29 Гн.

6. Определим взаимную индуктивность двух катушек:

М = = 4000×1,256×10^-6×300 = 0,775 Гн.

7. Зная L₁, L₂ и М, найдем значение энергии двух катушек:

а) при токах, проходящих в одном направлении,

W₁ = + + 0,775 × 2× 4,5 = 14,07 Дж;

б) при токах, проходящих в противоположных направлениях,

W₂ = + – 0,775 × 2 × 4,5 = 0,11 Дж.

 

Ответ: 14,07 Дж, 0,11 Дж.

Контрольные вопросы 4

 

1. Какие формулы из § 4.1 необходимо использовать, чтобы получить выражение (4.10) для определения индуктивности катушки?

2. Для определения собственной индуктивности служат формулы (4.9), (4.10), (4.11). После их анализа можно ли утверждать, что индуктивность не зависит от значений тока и потокосцепления?

3. Характеристика намагничивания В = f (Н) ферромагнитного материала, из которого изготовлен сердечник катушки (см. рис. 4.3, б), известна. Какие величины необходимо знать еще, чтобы построить кривую намагничивания сердечника катушки Ф = f (I)?

4. Характеристики В = f (Н) и Ф = f (I) по предыдущему вопросу предполагается построить на одном чертеже так, что ось ординат — общая для В и Ф, а ось абсцисс — общая для Н и I. Можно ли масштабы величин подобрать так, чтобы вторая кривая во всех точках чертежа совпала с первой?

5. Какое поле возникает вокруг движущихся электрических зарядов?

а) магнитное;

б) электрическое;

в) электромагнитное.

6. Напряженность магнитного поля Н = 0,57, m = 5. Определить индукцию магнитного поля В

а) В = 200 Вб;

б) В = 0,25 × 10^-3 Вб.

7. Какой характеристике магнитного поля соответствует размерность генри на метр (Г/м)?

а) Н;

б) m₀

8. Какой величеной является магнитный поток Ф?

а) векторной;

б) скалярной.

9. Какой величиной является магнитное напряжение U_м?

а) векторной;

б) скалярной.

10. Имеется однородное магнитное поле напряженностью Н=5А/см. Определить магнитное напряжение на пути АВ, если l _АВ =10см.

а) 50А;

б) 0.

11. Заданы токи: I₁ =2А, I₂ = 3А. Определить полный ток, пронизывающий поверхность S.

а) å I = 10А;

б) å I = 0.

12. Влияет ли направление обхода контура на конечный результат при использовании закона полного тока?

а) не влияет;

б) влияет.

13. Какое свойство магнитной цепи является главным?

а) нелинейная зависимость В (Н);

б) способность насыщаться;

в) малое магнитное сопротивление.

14. Магнитный поток, пронизывающий контур, изменяется по закону Ф = Ф_m sin w t

По какому закону будет изменяться ЭДС?

а) е = - E_m sin w t

б) е = const

в) е = - E_m cos w t

15. Укажите единицу измерения для потокосцепления в СИ:

а) А м; б) Вб.

Задачи для самостоятельного решения?

1. Определить магнитную индукцию в точках А, В, С, расположенных так, как показано на рис. 4.25. Ток в проводах линии I = 1000 А, расстояние между проводами b = 40 см.

(Ответ: В_в = 10^-3 Тл).

 

	Рис. 4.25

 

 

2. На кольцо из неферромагнитного материала (см. рис. 4.3, б), радиус которого по средней линии r= 10 см и площадь поперечного сечения S = 10 см², равномерно уложено N = 300 витков. Определить магнитное потокосцепление катушки при токе в ней I = 30 А. Найти ток в той же обмотке, если собственное потокосцепленне Ψ = 18 · 10^-4 Вб.

(Ответ: Ψ = 27·10^-4 Вб).

 

1. Определить индуктивность кольцевой катушки с числом витков N = 500, намотанных на неферромагнитный сердечник, имеющий прямоугольное поперечное сечение S = 6 см², внешний и внутренний радиусы 11 см и 9 см. При тех же размерах катушки (l, S) определить число витков ее обмотки, если индуктивность L = l,2 мГн.

(Ответ: L = 0,3 мГн).

 

1. На кольцевой сердечник из неферромагнитного материала, диаметр которого (по средней линии) D = 20 см, уложены две обмотки c числом витков N₁ =800, N₂ = 300. Определить магнитный поток в сердечнике и индуктивность при токе в обмотках I = 5A в двух случаях: а) обмотки включены согласно; б) обмотки включены встречно.

(Ответ: а) L = 0,098 Гн).

 

1. На замкнутый сердечник, длина которого l =30 см и поперечное сечение S = 5 см² намотана обмотка N = 500 витков. Определить индуктивность катушки и магнитный поток в сердечнике при токе в обмотке I = 3 А, если сердечник изготовлен: а) из электротехнической стали; б)из неферромагнитного материала. Найти абсолютную магнитную проницаемость электротехнической стали при найденных величинах В и Н.

(Ответ: а) L = 0,133 Гн).

 

1. Кольцевая катушка (см. рис. 4.3, б) N = 600 витков имеет сердечник, радиус которого r = 5 см и площадь поперечного сечения S = 6 см². Магнитный поток в сердечнике Ф = 36·10^-6 Вб. Определить ток и индуктивность катушки в двух случаях: а) сердечник неферромагнитный; б) сердечник из электротехнической стали.

(Ответ: а) L = 8,64·10^-4 Гн, I = 25А).

 

1. В сердечнике из листовой электротехнической стали марки 1311, размеры которого в миллиметрах показаны на рис. 4.10, требуется получить магнитный поток Ф = 3,2·10^-3. Определить ток в обмотке, имеющей N = 200 витков.

(Ответ: I = 4,5А).

 

1. Определить ток в обмотке по условию задачи 7, если в сердечнике выпилить воздушный зазор δ = 2мм.

(Ответ: I = 14,76А).

1. В равномерном магнитном поле с индукцией В = 1,2 Тл находится прямолинейный проводник длиной l = 80 см с током I = 20 А. Определить силу, действующую на про водник в различных случаях его расположения по отношению к магнитному полю: между направлением тока и магнитной индукции угол α = 30°, α = 60°; α = 90°.

(Ответ: F_м = 19,2 Н [при α = 90°]).

 

1. В проводах воздушной линии, расположенных на одинаковом расстоянии l = 10 см друг от друга(рис. 4.26), токи I_В = I_С = 6000 А направлены в одну сторону, а ток I_А = 12 000 А противоположно. Определить силу, действующую на 1 м каждого провода.

 

(Ответ: F_мА = 249,1 Н).

 

Рис. 4.26

 

1. Магнитный поток в сердечнике катушки, создаваемый током в ее обмотке, изменяется по графику рис. 4.27. П