Распределение Гаусса и его основные характеристики

В случае большого числа измерений (), случайный разброс значений измеряемой величины подчиняется закону,
открытому Гауссом. Функция P (X) симметрична относительно а, достигает максимума при Х = а (рис.4).

Кроме параметра а функция P (X) задается еще параметром s, который называется стандартным отклонением.

Величина D = s ² называется дисперсией распределения и имеет смысл среднего значения квадрата отклонения Х от истинного значения а, т.е. , где — средний квадрат отклонения измеряемой величины от истинного значения.

Р (Х) быстро стремится к нулю, когда Х становится большим по сравнению с s.

Функция нормального распределения имеет вид:

(1)

Из рис. 5 видно, что основная часть результатов измерений группируется около центрального значения а – истинного значения измеряемой величины.

 

Отклонения по обе стороны от центра распределения наблюдаются тем реже, чем больше абсолютная величина таких отклонений.

Если изменить метод измерения величины а и измерять ее другим прибором, например, более совершенным, более точным, то разброс результатов измерений будет около центра с прежней абсциссой а, но разброс результатов существенно уменьшится (рис. 5, кривая 1). Если же точность метода измерений ниже, чем для кривой 2, то разброс результатов увеличится и кривая станет более пологой (рис. 5, кривая 3). Трем кривым на рис. 5 соответствуют разные значения стандарта отклонения s, который характеризует размах (разброс) случайных отклонений, присущих данному методу измерения. При этом площадь под кривыми распределения для разных s одна и та же. Параметры а и s в распределении Гаусса, как правило, неизвестны и их нужно искать по данным значениям Х ₁, Х ₂, … Х_n, полученным из опыта. В теории погрешностей существует метод (максимального правдоподобия), который позволяет установить связь между параметрами распределения Гаусса а и s и набором результатов измерений физической величины. Используя этот метод, можно строго математически доказать, что наиболее правдоподобной оценкой истинного значения измеряемой величины является среднее арифметическое из данных измерений, т.е.

(2)

а наилучшей оценкой второго параметра s является средняя квадратичная погрешность среднего .

Расчет осуществляется по формуле:

(3)

1.4. Понятие доверительного интервала и доверительной вероятности (надежности)

 

Среднее арифметическое является приближенной оценкой истинного значения а измеряемой величины. Поэтому, чтобы эта оценка была наиболее полной, надо обязательно указать, какова погрешность полученного результата D X. Величину абсолютного отклонения среднего из n измерений от истинного значения а называют абсолютной погрешностью или доверительным интервалом среднего. Важно не то, что в результате измерений мы получаем , а важно то, что наряду с должен быть указан интервал D X, в пределах которого где-то находится истинное значение а.

Однако мы не может достоверно утверждать, что истинное значение а окажется внутри интервала , мы можем сказать лишь следующее: имеется какая-то вероятность того, что а лежит в пределах этого интервала. Следовательно, доверительный интервал D X необходимо указывать вместе с доверительной вероятностью (надежностью) a попадания истинного значения в пределы этого интервала. Без указания вероятности a сам по себе интервал D Х не может быть принят в качестве оценки погрешности результата.
Если известен вероятностный закон распределения Р (Х), то вероятность попадания истинного значения в пределы этого интервала может быть рассчитана по формуле:

(4)

Расчет показывает, что уже при числе измерений выбор погрешности , дает величину надежности a, равную 0,68. Другими словами, если взять интервал надежности , то можно утверждать, что в 68 случаях из 100 истинная величина а попадет в указанный интервал, а в 32 случаях из 100 – не попадет в этот интервал.

В случае, когда , то a получается равной 0,95. Если , a = 0,997, т.е. за пределы доверительного интервала выйдет всего лишь около 3 измерений из 1000.

 

Распределение Стьюдента

 

Формула (3), по которой оценивается среднеквадратичное отклонение s, является справедливой лишь при . Число измерений в реальных опытах не может быть бесконечно большим, поэтому использовать среднеквадратичное отклонение для ограниченного числа измерений нельзя.

Чтобы получить оценку доверительного интервала для величины а в случае малых n, в теории погрешностей вместо отношения , вводят величину

(5)

Эта величина (коэффициент Стьюдента) является функцией числа измерений n и величины a - доверительной вероятности, которая нам задается или же мы ее выбираем сами.

Оказывается, что случайная величина при малых n распределена не по нормальному закону (1), а по закону, открытому Стьюдентом.

Вид этого закона существенно зависит от выбора n.

Плотность вероятности распределения P (t), соответствующая закону Стьюдента, имеет вид:

, (6)

где — гамма-функции.

На рис.6 приведены кривые распределения Стьюдента для различных значений n.

При распределение Стьюдента переходит в распределение Гаусса. Распределение Стьюдента позволяет оценить величину погрешности результата D X при заданной доверительной вероятности a, или, наоборот, при заданном D X найти величину a. Действительно, если выбрать на оси t (n, a) некоторое значение t ^* (рис.6), то вероятность a определяется заштрихованной площадью, причем величина a будет зависеть не только от t, но и от n. Значение коэффициента Стьюдента t для различных значений n и a, рассчитанные в соответствии с законом Стьюдента, приведены в таблице 2.

Задавая надежность a, равную определенной величине, при данном значении n, по табл.2 можно определить коэффициент t. Тогда, определив предварительно по формуле (3), можно оценить абсолютную погрешность результата (доверительный интервал) D Х по формуле:

(7)

Таблица 2.

	a
n	0,2	0,4	0,6	0,8	0,9	0,95	0,99
	0,33	0,73	1,38	3,1	6,31	12,7	63,7
	0,29	0,62	1,06	1,9	2,92	4,30	9,52
	0,28	0,58	0,98	1,6	2,35	3,18	5,84
	0,27	0,57	0,94	1,5	2,13	2,78	4,60
	0,27	0,56	0,92	1,5	2,02	2,57	4,03
	0,27	0,55	0,90	1,4	1,94	2,45	3,17
	0,26	0,55	0,90	1,4	1,89	2,36	3,50
	0,26	0,54	0,90	1,4	1,86	2,31	3,36
	0,26	0,54	0,86	1,4	1,83	2,26	3,25
	0,26	0,54	0,87	1,3	1,76	2,14	2,98
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,73	2,09	2,86
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,70	2,05	2,76
	0,26	0,53	0,85	1,3	1,69	2,02	2,71
	0,25	0,53	0,85	1,3	1,67	2,00	2,66
∞	0,25	0,52	0,84	1,3	1,65	1,95	2,59

Истинное значение измеряемой величины а будет находиться в пределах интервала () с вероятностью a, т. е.

(8)

Объективным критерием качества проведенных измерений является относительная погрешность, определяемая отношением абсолютной погрешности к среднему значению измеряемой величины:

(9)

 

Выявление промахов

Ранее уже говорилось, что если взять доверительный интервал , то только в 3 случаях из 1000 измерений можно ожидать выход измерений из указанного доверительного интервала. Если не ставится специальная задача, где точность играет основную роль, то можно считать данные, выходящие за доверительный интервал , промахами и их при чистовой обработке не учитывать. В практических расчетах, при ограниченном числе измерений, для оценки промахов предполагается, что .

 

1.7. Выбор числа необходимых измерений и учет погрешности измерительного
прибора

Иногда условия работы требуют получение максимальной точности с использованием определенного измерительного устройства, имеющего цену деления D С.

Считается, что экспериментатор достоверно устанавливает значение показаний прибора с точностью (здесь d - погрешность измерительного прибора). Если задаться доверительной вероятностью a = 0,68, то можно составить равенство для определения числа необходимых измерений n: . Подставляя из (3), получаем:

Тогда

(10)

Ясно, что в результате измерений нельзя сделать ошибку меньше, чем та, которая определяется погрешностью измерительного прибора. Поэтому в окончательном результате в качестве абсолютной погрешности принимают случайную погрешность только тогда, когда она существенно превышает приборную. В случае, когда эти требования не выполняются и случайная погрешность оказывается сравнимой с приборной погрешностью d, границы доверительного интервала определяются по формуле:

(11)

Если же приборная погрешность является определяющей, т.е. ее величина существенно больше величины случайной погрешности, присущей данному методу, то в окончательном результате учитывают только приборную погрешность. В этом случае многократные измерения не выполняют.