Правила приближенных вычислений

 

При сложении и вычитании приближенных чисел окончательный результат округляют так, чтобы он не имел значащих цифр в тех разрядах, который отсутствуют хотя бы в одном из приближенных данных. Например, при сложении чисел получим

При умножении следует округлять сомножители так, чтобы каждый из них содержал столько значащих цифр, сколько их имеет сомножитель с наименьшим числом таких цифр. Например, вместо выражения следует вычислять выражение .

В окончательном результате следует оставлять такое же число значащих цифр, какое имеется в сомножителях после их округления.

В промежуточных результатах следует сохранять на одну значащую цифру больше .
Такое же правило соблюдается и при делении приближенных чисел.

При возведении в квадрат или куб следует в результате оставлять столько значащих цифр, сколько их имеется в основании степени. Например, .

При извлечении квадратного или кубического корней в результате нужно брать столько значащих цифр, сколько их имеется в подкоренном выражении. Например,

.

При вычислении сложных выражений следует применять указанные правила в соответствии с видом производимых действий. Например,

.

Сомножитель 5,3 имеет наименьшее число значащих цифр – две. Поэтому результаты всех промежуточных вычислений должны округляться до трех значащих цифр:

Окончательный результат округлили до двух значащих цифр.

 

Правила построения графиков

Возможно построения двух видов графиков: в общем виде без числовых данных и с цифровыми данными.

Построение графиков в «общем виде» без числовых данных помогает студенту правильно осмыслить задачу, передать общую тенденцию изменения той или иной функции на основе математического анализа зависимости.

Построение графика с цифровыми данными производят в следующей последовательности:

1. Графики следует вычерчивать только на подходящей специальной бумаге (например, на миллиметровой).

2. Для заданного диапазона изменения аргумента определяют максимальное и минимальное значения функции на границах требуемого диапазона изменения аргумента.

Так, для построения графика X = 4 t ² - 6 t + 2 в диапазоне изменения t от 0 до 2 с, имеем:

При определении интервалов значений функции и аргумента следует округлить их последние значащие цифры в сторону уменьшения наименьших и увеличения наибольших возможных значений. В нашем примере t изменяется от 0 до 3 с и Х изменяется от –1 м до +7 м.

3. Выбрать размер листа для графика так, чтобы вокруг поля координатного угла и надписей масштабов оставались свободные поля шириной 1,5 – 2 см.

4. Выбрать линейный масштаб координатных осей по округленным границам интервалов так, чтобы длины отрезков осей для функций и аргументов были примерно одинаковыми, но чтобы деления интервалов на счетные части образовывали шкалы, удобные для отсчета любых значений величин. Определить масштаб для построения графика таким, чтобы поле листа было максимально использовано. Для этого выбрать размер листа для графика таким образом, чтобы вокруг поля координатного листа и надписей масштабов остались свободные поля шириной 1,5 – 2 см. Далее определяют масштаб для построения графика. Например, для вышеприведенного примера поле для построения графика оказалось равным полю школьной тетради, то для построения графика можно использовать по горизонтали (ось абсцисс) 10-12 см, а по вертикали (ось ординат) 8 – 10 см. Таким образом, получим масштабы m_x и m_y для осей x и y соответственно:

5. С началом координат совместить наименьшие округленные значения аргумента
(по оси абсцисс) и функции (по оси ординат).

6. Строят оси графика, нанося на них ряд чисел с постоянным шагом в виде арифметической прогрессии и обозначают цифрами через равные промежутки, удобные для отсчета значения. Эти обозначения не следует располагать слишком часто или редко. Цифры на осях графика должны быть простыми, их не надо связывать с расчетными значениями. Если числа очень большие или очень маленькие, то их умножают на постоянный сомножитель типа 10 ⁿ (n – целое число), вынося этот сомножитель к концу оси. Вместо цифровых обозначений у концов осей помещают символы аргумента и функции с наименованием единиц их измерения, отделенными запятой. Например, при построении оси давлений Р в диапазоне от 0 до 0,003 Н/м² целесообразно умножить Р на 10³, а ось изобразить следующим

образом (рис. 7):

На график наносят расчетные или экспериментально полученные значения величин, руководствуясь таблицей значений величин. Для построения гладкой кривой достаточно рассчитать
5 – 6 точек. При теоретических расчетах точки на графике не выделяются (рис. 8а).

Экспериментальный график строится как аппроксимированная кривая по точкам (рис. 8б).

7. При построении графиков по экспериментальным данным необходимо на графике указывать экспериментальные точки. При этом каждое значение величины должно быть показано с учетом доверительного интервала. Доверительные интервалы откладываются от каждой точки в виде отрезков прямых (горизонтальных для аргументов и вертикальных для функций). Полная длина этих отрезков в масштабе графика должна быть равной удвоенной абсолютной погрешности измерения. Опытные точки можно изображать в виде крестиков, прямоугольников или эллипсов с размерами по горизонтали 2D х и с размерами по вертикали 2D y. При изображении доверительных интервалов функций и аргументов на графиках концы вертикальной и горизонтальной черточки с точкой посередине

изображают оси площади рассеяния значений (рис. 9).

Если в масштабе графика черточки доверительных интервалов за малостью нельзя изобразить, точку значений окружают маленькой окружностью, треугольником или ромбиком. Отметим, что экспериментальные кривые следует проводить гладкими, с максимальным приближением к доверительным интервалам экспериментальных значений. Рассмотренный пример на рис. 9 иллюстрирует наиболее распространенную форму графиков, которые придется строить студенту при обработке опытных данных.

Графическое изображение величин представляет собой своеобразный язык, обладающий наглядностью и большой информативностью при условии правильного, неискаженного пользования им. Поэтому полезно ознакомиться с примерами

ошибок в оформлении графиков, представленных на рис. 10.

Графики двух функций одного аргумента, например F (e) и K (e), можно совмещать на общей оси абсцисс. В этом случае масштабы осей ординат строят слева для одной и справа для другой функции. Принадлежность графика к одной или другой функции показывают стрелками (рис. 11а).

Графики одной функции при различных значениях постоянной всегда совмещают на одной плоскости координатного угла, кривые нумеруют и под графиком выписывают значения постоянных (рис. 11б).

2.5. Приставки для образования наименований кратных и дольных единиц

 

Перечисленные в табл. 6 множители и приставки используются для образования кратных и дольных единиц от единиц Международной системы единиц (СИ), системы СГС, а также от внесистемных единиц, допущенных государственными стандартами. Приставки рекомендуется выбирать таким образом, чтобы числовые значения величин находились в пределах от 0,1 до 1^.10³. Например, для выражения числа 3^.10⁸ м/с лучше выбрать приставку мега, а не кило и не гига. С приставкой кило получим: 3^.10⁸ м/с = 3^.10⁵ км/с, т.е. число, большее, чем 10³.
С приставкой гига получим: 3^.10⁸ м/с = 0,3^.Гм/с, число, хотя и большее 0,1, но не целое. С приставкой мега получим: 3^.10⁸ м/с = 3^.10² Мм/с.

Таблица 6

Кратность и дольность	Название	Обозначение
10^12	тера	Т
10^9	гига	Г
10^6	мега	М
10^3	кило	к
10^1	дека	да
10^-1	деци	д
10^-2	санти	с
10^-3	милли	м
10^-6	микро	мк
10^-9	нано	н
10^-12	пико	п

 

Наименования и обозначения десятичных кратных и дольных единиц образуются присоединением приставок к наименованиям исходных единиц. Присоединение двух и более приставок подряд не допускается. Например, вместо единицы «микромикроФарада» следует применять единицу «пикоФарада».

Обозначение приставки пишется слитно с обозначением единицы, к которой она присоединяется. При сложном наименовании производной единицы СИ приставку присоединяет к наименованию первой единицы, входящей в произведение или числитель дроби. Например: кОм^.м, но не Ом^.км.

В виде исключения из этого правила допускается присоединение приставки к наименованию второй единицы, входящей в произведение или в знаменатель дроби, если ими являются единицы длины, площади или объема. Например: Вт/см³, В/см, А/мм² и др.

В табл. 6 указаны приставки для образования только десятичных кратных и дольных единиц. Кроме этих единиц, государственным стандартом «Единицы физических величин» допущены к использованию кратные и дольные единицы времени, плоского угла и относительных единиц, не являющихся десятичными. Например, единицы времени: минута, час, сутки; единицы угла: градус, минута, секунда.