Механика абсолютно твердого тела. Вращение вокруг неподвижной оси. Момент инерции.

Механика абсолютно твердого тела полностью сводима к механике материальных точек.

Абсолютно твёрдое тело — совокупность материальных точек, расстояния между которыми сохраняются в процессе любых движений этого тела (деформация невозможна), обладающая только кинетической энергией поступательного или вращательного движения.

Таким образом, положение абсолютно твердого тела полностью определяется, например, положением жестко привязанной к нему декартовой системы координат (обычно ее начало координат делают совпадающим с центром масс твердого тела).

При вращении такого тела вокруг неподвижной оси каждая его точка описывает дугу окружности с центром, лежащим на оси, причем все такие окружности лежат в параллельных плоскостях.

Так как положение неподвижной оси задано, а расстояние между двумя любыми точками остается неизменным, определить положение тела в пространстве можно с помощью всего одного числа: угол , меняющийся с течением времени, на который повернуто тело вокруг оси относительно некоторого своего положения.

Угловая скорость – это быстрота изменения угла поворота вокруг оси всего тела(!):

Если за малый промежуток времени Δ t тело повернется вокруг оси на угол Δ φ, то точка тела, находящаяся на расстоянии R от оси вращения, переместится, пройдя по дуге окружности расстояние Δ s = R Δ φ. Разделив обе части последнего уравнения на Δ t, получим соотношение между величиной линейной скорости V точки и угловой скоростью w вращения:

Линейная скорость точек тела при вращении зависит от радиуса окружности:

Угловое ускорение – быстрота изменения угловой скорости:

Момент инерции – скалярная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси (как масса в поступательном движении):

Теорема Штейнера. Вычисление моментов инерции. Примеры.

Теорема Штейнера: момент инерции тела относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела относительно параллельной ей оси, проходящей через центр масс тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями: где

– известныймомент инерции относительно оси, проходящей через центр масс тела,

— искомый момент инерции относительно параллельной оси,

— масса тела,

— расстояние между указанными осями.

Формулы для вычисления моментов инерции:

1) Кольца, трубки: ;

2) Сплошного цилиндра, диска: ;

3) Шара: ;

4) Стержня: .

Пример:

 

Колебания. Разные типы колебаний.

Колебания — повторяющийся в той или иной степени во времени процесс изменения состояний системы около точки равновесия (попеременное превращение энергии одной формы проявления в другую).

Типы колебаний: механические (звук, вибрация), электромагнитные (свет, радиоволны, тепловые), смешанного типа (комбинация).

Различают вынужденные, свободные, случайные и т.д. колебания.

Гармонические колебания. Основные характеристики колебательного процесса. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний.

Гармоническими колебаниями называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина меняется от времени по закону синуса или косинуса.

Уравнение гармонических колебаний имеет вид:

где A – амплитуда колебаний (величина наибольшего отклонения системы от положения равновесия);

– циклическая частота;

аргумент косинуса – фаза колебаний. Фаза колебаний определяет смещение колеблющейся величины от положения равновесия в данный момент времени t;

– значение фазы в момент времени t = 0 (начальная фазой колебания). Значение начальной фазы определяется выбором начала отсчета;

х – смещение. Величина x может принимать значения, лежащие в пределах от -A до +A.

 

Т – период колебаний – промежуток времени, через который повторяются определенные состояния колебательной системы. Т = 2π называется периодом гармонических колебаний.

Период гармонических колебаний равен: T = 2π/ .

Число колебаний в единицу времени называется частотой колебаний :

Единица измерения частоты герц (Гц) – одно колебание в секунду.

Дважды продифференцировав исходное уравнение по времени, видно, что выполняется следующее соотношение: