И определение угловой скорости прецессии гироскопа

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение динамики вращательного движения, закона сохранения момента импульса на примере вращения гироскопа. Ознакомление с гироскопическим эффектом и определение угловой скорости прецессии гироскопа.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

 

Гироскопические приборы и системы применяются в различных областях техники: в авиации и на морских судах; в горнорудной и нефтяной промышленности (при прокладке шахт, тоннелей, при бурении скважин); в артиллерии и на танках для стабилизации прицелов и орудий и т.д.

В частности, успехи в области авиационной и ракетной техники стали возможными благодаря автоматизации процессов управления летательными аппаратами.

С помощью гироскопических приборов и систем решаются как задачи по управлению, ориентации, автономной навигации летательных объектов, так и проблемы по стабилизации и управлению специальных бортовых систем (антенны бортовых радиолокационных станций, чувствительные элементы головок самонаведения реактивных снарядов, авиационные прицелы и др.)

Гироскопические приборы и системы по назначению делятся на несколько групп. Применительно к теме данной лабораторной работы в гироскопических стабилизаторах используется свойство гироскопа сохранять неизменным направление своей оси вращения в пространстве.

Гироскоп - быстро вращающееся симметричное твердое тело, ось вращения которого может изменять своё направление в пространстве. Необычные свойства гироскопа проявляются при выполнении следующих условий. Во-первых, ось вращения гироскопа должна иметь возможность изменять своё направление в пространстве и, во-вторых, угловая скорость вращения гироскопа вокруг своей оси должна быть значительно больше угловой скорости, которую будет иметь сама ось при изменении своего направления.

Наибольшее применение имеют симметричные гироскопы, которые обладают осью симметрии, являющейся свободной осью вращения.

Свободными осями тела называются такие оси вращения, которые сами (без воздействия внешних сил) могут сохранять неизменными своё направление в пространстве. Эти оси называются также главными осями инерции тела. В теле произвольной формы всегда существуют три взаимно - перпендикулярные оси, проходящие через центр масс тела, которые могут служить свободными осями вращения.

Отличительной особенностью свободных осей является то, что при вращении твердого тела вокруг любой из них момент импульса () совпадает по направлению с угловой скоростью ().

Следует отметить, что в общем случае направление векторов и не совпадают.

Вся теория гироскопа построена на уравнении моментов (втором законе динамики для вращательного движения), согласно которому производная момента импульса твёрдого тела по времени равна результирующему моменту внешних сил, действующих на тело

, (1)

причём моменты и определены относительно одной и той же точки заданной системы отсчёта (относительно неподвижной точки опоры гироскопа).

Рассмотрим поведение гироскопа на примере волчка с неподвижной точкой опоры О (рис. 32). Оказалось, что если ось вращающегося волчка наклонена к вертикали, то она (ось) описывает конус вокруг вертикали (оси Z) с угловой скоростью . Указанное движение оси волчка - гироскопа называется прецессионным (прецессией), при котором ось волчка остаётся на поверхности конуса с вершиной в точке О и вместе с осью совершает движение вектор момента импульса (рис. 32). Наблюдается следующая закономерность: чем меньше угловая скорость () вращения волчка вокруг собственной оси, тем больше угловая скорость прецессии ().

На волчок действует момент силы тяжести, стремящейся опрокинуть волчок, равный

, (2)

где d = ОС - расстояние от точки опоры до центра масс волчка;

- угол, образованный осью волчка (гироскопа) с вертикалью (осью Z).

Вектор момента перпендикулярен к плоскости ОО₁А, в которой находится сила тяжести .

Согласно (1) за время dt момент импульса волчка получит приращение, равное

(3)

в результате чего плоскость ОО₁А, в которой расположены ось волчка и вектор , повернётся на угол

. (4)

Следует подчеркнуть, что вектор приращения момента импульса сонаправлен с вектором , т.е. .

Следовательно, вектор момента импульса , значит и ось волчка-гироскопа, будет поворачиваться вокруг вертикальной оси Z, описывая круговой конус с углом полураствора , причём вектор будет изменяться только по направлению, не меняясь по величине.

Итак, волчок-гироскоп будет прецессировать вокруг вертикальной оси Z с угловой скоростью прецессии, определяемой следующим образом.

Из рис. 32 следует, что

. (5)

Учитывая, что величина момента импульса волчка-гироскопа равна * и, подставляя (2) в (5), получим согласно (4) выражение для вычисления угловой скорости прецессии:

,

(6)

где I - момент инерции волчка-гироскопа; m - масса волчка (вместе с осью).

Из (6) видно, что угловая скорость прецессии () не зависит от угла наклона оси волчка и, кроме того, подтверждается вышеуказанная закономерность: чем меньше угловая скорость () волчка, тем больше угловая скорость прецессии () или наоборот.

Следует отметить, что прецессионное движение имеет следующие особенности.

Во-первых, угловая скорость прецессии значительно меньше угловой скорости вращения гироскопа вокруг собственной оси, т.е. .

Во-вторых, из выражения =[ ] следует, что момент () определяет угловую скорость прецессии (), а не угловое ускорение. Следовательно, устранение момента приводит к мгновенному исчезновению прецессии, т.е. прецессия не обладает инертностью.