Применение численного интегрирования при решении

Инженерных задач

 

Требования к выполнению контрольной работы

 

Работа содержит одну задачу, вариант которой выдается преподавателем на установочных занятиях.

Решение задачи должно содержать следующие разделы:

1. Постановка задачи (приводится условие задачи).

2. Математическая модель задачи.

3. Алгоритм решения задачи.

4. Схема алгоритма решения.

5. Таблица идентификаторов.

6. Текст программы на языке Паскаль.

7. Таблица исходных данных.

При организации вычислительного процесса необходимо предусмотреть выполнение следующих действий:

1) очистку экрана;

2) вывод текста – приглашения к вводу;

3) ввод исходных данных;

4) определение приближенного значения интеграла методом трапеций;

5) определение точного значения интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

Ниже приведены пояснения к контрольной работе и пример выполнения.

 

Постановка задачи

 

Задача численного интегрирования заключается в получении при-ближенного значения . Если подынтегральная функция f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ] и на нем существует ее первообразная F (x), то по формуле Ньютона-Лейбница = F (b) - F (a).

Численное интегрирование используется:

1) при задании подынтегральной функции f (x) в виде таблицы:

 

x	x1	x2	x3	...	xn+1
y = f(x)	y1	y2	y3	...	yn+1

 

где x ₁ = a, x_{n +1} = b;

2) при задании подынтегральной функции f (x) в виде графика, полученного, например, опытным путем (рис. 2.1);

 

 

Рис. 2.1

 

3) если аналитическое определение F(x) сложно или невозможно.

 

Математическая модель задачи

 

Построим математическую модель приближенного вычисления интеграла методом трапеций.

Для непрерывной на интервале [ a, b ] функции f (x) величина опре-деленного интеграла равна площади, ограниченной кривой y = f(x), осью абсцисс ОХ и прямыми x = a и x = b (рис. 2.2).

Рис. 2.2

 

Разобьем отрезок интегрирования [ a, b ] на n равных элементарных участков длиной . Полученные промежуточные точки пронумеруем от 1 до n + 1. Введем переменную i, определяющую номер промежуточной точки.

Каждая i -я точка определяется значением аргумента, которое обозначим x_i. Из рис. 2.2 видно, что при

i=1 x₁=a;

i=2 x₂=a+h;

i=3 x₃=a+2h;

...

i=i x_i=a+(i-1)h;

...

i=n+1 =b.

В каждой i -й точке вычислим значение подынтегральной функции y_i = f(x_i).

Площадь под кривой y = f(x) на одном из участков разбиения [ x_{i -1}, x_i ] равна (рис. 2.3).

Эту площадь можно с некоторой погрешностью считать равной площади трапеции и вычислить по формуле

.

Следовательно,

Рис. 2.3

.

 

Тогда (см. рис. 2.2)

Рис. 2.3

.

 

Алгоритм решения задачи

 

Приведем алгоритм вычисления приближенного значения методом трапеций в случае аналитического (в виде формулы) задания подынтегральной функции f(x):

1. Исходные данные (ввод): a, b, n

2.

3. i = 1,..., n + 1

3.1. x_i = a + (i - 1) × h

3.2. y_i = f (x_i)

4. Int = 0

5. i = 2,..., n + 1

5.1. .

 

Пример решения задачи

 

Определить максимальную высоту h_max подъема тела, брошенного вертикально вверх со скоростью v_нач, вычислив , где g = 9,81. Получить точное и приближенное значения интеграла.

При вычислении интеграла аргументом является t, подынтегральная функция f (t) = v_нач - gt, нижний предел интегрирования t_нач = 0. Верхний предел интегрирования t_кон вычислим из условия равенства нулю скорости тела в наивысшей точке подъема:

.

Найдем точное значение интеграла по формуле Ньютона-Лейб-ница:

.

Для нахождения приближенного значения интеграла h_max методом трапеций используем алгоритм, построенный в пп. 1-5 (разд. 2.2.4).

Окончательно алгоритм решения задачи примет вид:

1. Исходные данные (ввод): v_нач, t_нач, g, n

2.

3.

4. i = 1,..., n + 1

4.1.

4.2.

5. h = 0

6. i = 2,..., n + 1

6.1.

7.

8. .

Схема алгоритма имеет следующий вид:

 

 

 

 

 

 

 

Задания к контрольной работе №2

 

1. Определить длину l кривой от точки x_нач = 0 до точки x_кон = 1, вычислив .

2. Определить работу А_Д силы F_Д = s ² от точки S_нач = 0 до точки S_кон = 3, вычислив .

3. Определить работу А_Д момента М_Д = M₀×sin j при повороте вала от j _нач = 0 до j _кон = p, вычислив , где М₀ = 25 Нм.

4. Определить угол поворота механизма j за время от t_нач = 0 до t_кон = 5c, вычислив , где w ₀ = 20с^-1.

5. Определить угловую скорость w при повороте вала от j _нач = 0 до j _кон = p, вычислив , где J_П = 10 кгм², М₀ = 100 Нм.

6. Определить путь S, пройденный телом за время от t_нач = 0 до t_кон = 15c, вычислив , где v ₀= 1,2 м/с, а = 0,5 м/с².

7. Определить площадь S, ограниченную кривой y = e^x на интервале от точки x_нач = 0 до точки x_кон = 3, вычислив .

8. Определить работу А_С силы сопротивления F_С = F₀ × (1 + 0,5 S) на участке от точки S_нач = 3 до точки S_кон = 5, вычислив , где F₀ = 10 H.

9. Определить реакцию R_n при трении по дуге контакта от b _нач = 0 до b _кон = p/2, вычислив , где r = 0,01 м,
l = 0,025 м, p = 1,5.

10. Определить время t движения при изменении угловой скорости от w _нач = 0 до w _кон = 10с^-1, вычислив , где J_П =7,5 кг×м².

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

Задания на курсовую работу

 

Студенту предлагается выполнить курсовую работу на одну из тем:

1. Определение параметров поступательного движения тела на плоскости.

2. Определение параметров вращательного движения вала.

Исходные данные на проектирование для поступательного движения даны в табл. 3.1, для вращательного движения – в табл. 3.2. Тема курсовой работы и вариант исходных данных сообщаются преподавателем на установочных занятиях. Ниже приведены пояснения к поставленной задаче, требования к пояснительной записке и пример выполнения курсовой работы.