Математическая модель движения

 

В произвольном положении на тело массой m действует сила тяжести G = mg и сила сопротивления воздуха F_с = kv. Тогда в соответствии со вторым законом Ньютона дифференциальное уравнение движения в проекции на ось Y запишется, с учетом соотношения , в виде

 

с начальным условием . Таким образом, математической моделью движения тела, брошенного вертикально вверх, является задача Коши вида

 

(3.4.1)

 

Ее решение на промежутке времени [ t_нач, t_кон ] покажет характер изменения скорости тела при полете вверх.

Для нахождения максимальной высоты подъема учитываем, что , откуда ds = v × dt. Проинтегрировав это выражение, получим

 

. (3.4.2)

 

Разобьем промежуток времени [ t_нач, t_кон ] на n равных элементарных участков

 

.

 

Количество исследуемых положений тела будет равно n + 1. Каждому i -му положению соответствует время t_i, исчисляемое от начала движения, и скорость v_i. Зададим для 1-го положения t ₁ = t_нач = 0,
v ₁ = v_нач. Для остальных положений при i = 2,..., n + 1 определим
t_i = t_{i- 1} + D t или t_i = t_нач + (i - 1)D t. Для определения скорости v_i решается задача Коши (см. формулу 3.4.1) методом Рунге–Кутта, в соответствии с которым для i = 2,..., n + 1

 

где ;

 

;

 

;

 

.

 

Максимальная высота подъема h_max (см. формулу 3.4.2) определяется путем численного интегрирования по методу трапеций:

 

.

 

Алгоритм решения

 

1. Исходные данные (ввод): m, v_нач, t_нач, k, g, n.

2.

3.

4. t ₁ = t_нач, v ₁ = v_нач

5. Для i= 2,...,n+ 1

5.1.t_i= t_нач+ ( i- 1)D t

5.2.

5.3.

5.4.

5.5.

5.6.

6. h= 0

7. i= 2,...,n +1

7.1.

8. h_max=h

 

Схема алгоритма решения

 

 

Таблица идентификаторов

 

Математическое обозначение	m	g	k	vнач	v	t	tнач	tкон
Идентификатор	m	g	k	v0	v	t	tn	tk

 

Математическое обозначение	k1	k2	k3	k4	D t	n	h	hmax
Идентификатор	k1	k2	k3	k4	dt	n	h	hmax

 

Текст программы

 

program kurs_010; {Петров В.И., группа 303010}

{Исследование движения тела,}

{брошенного вертикально вверх}

{Вариант 5}

uses crt;

type Mas=array[1..201] of real;

var v,t:Mas;

m,k,v0,g,tn,tk,dt,k1,k2,k3,k4,h,hmax:real;

i,n:integer;

fu:text;

begin

clrscr;

assign(fu,'kurs_010.rez');

rewrite(fu);

writeln(fu,' ':20,'Исследование движения тела,');

writeln(fu,' ':19,'брошенного вертикально вверх');

writeln(fu);

writeln(fu,' ':20,'Петров В.И., группа 303010');

writeln(fu);

writeln(fu,' ':25,'Вариант 5');

writeln('Введите исходные данные');

write('Масса тела равна m=');

readln(m);

write('Начальное время tn=');

readln(tn);

write('Начальная скорость тела v0=');

readln(v0);

write('Коэффициент сопротивления среды k=');

readln(k);

write('Ускорение свободного падения g=');

readln(g);

write('Количество разбиений участка [tn,tk] n=');

readln(n);

writeln(fu);

writeln(fu,' ':15,'Исходные данные:');

writeln(fu);

writeln(fu,' ':10,'Масса тела m=',m:5:2,'кг');

writeln(fu,' ':10,'Начальная скорость тела v0=', v0:5:2,'м/c');

writeln(fu,' ':10,'Коэффициент сопротивления среды', ' k=',k:5:2);

writeln(fu,' ':10,'Ускорение свободного падения g=', g:3:1,'м/c**2');

writeln(fu,' ':10,'Количество разбиений участка', ' [tn,tk] n=',n:2);

tk:=-m/k*ln(g/(k/m*v0+g));

writeln(fu);

writeln(fu);

writeln(fu,' ':10,'Общее время полета tk=', tk:7:5,'c');

writeln(fu);

dt:=(tk-tn)/n;

v[1]:=v0;

t[1]:=tn;

for i:=2 to n+1 do

begin

t[i]:=tn+(i-1)*dt;

k1:=-k/m*v[i-1]-g;

k2:=-k/m*(v[i-1]+0.5*dt*k1)-g;

k3:=-k/m*(v[i-1]+0.5*dt*k2)-g;

k4:=-k/m*(v[i-1]+dt*k3)-g;

v[i]:=v[i-1]+dt/6*(k1+2*k2+2*k3+k4);

end;

writeln(fu,' ':17,'I',' ':9,'I');

writeln(fu,' ':15,'i I t I v ');

writeln(fu,' ':17,'I',' ':9,'I');

write(fu,' ':14);

for i:=1 to 22 do write(fu,'-');

writeln(fu);

for i:=1 to n+1 do

writeln(fu,' ':14,i:2,' I ',t[i]:7:3,' I ', v[i]:7:5);

h:=0;

for i:=2 to n+1 do h:=h+(v[i]+v[i-1])/2*dt;

hmax:=h;

writeln(fu);

writeln(fu,' ':5,'Макcимальная высота полета', ' hmax=',hmax:7:5,'м');

close(fu);

writeln('Работа окончена');

repeat until keypressed

end.

 

 

Распечатка результатов

 

Исследование движения тела,

брошенного вертикально вверх

Петров В.И., группа 303010

Вариант 5

Исходные данные:

Масса тела m= 0.50кг

Начальная скорость тела v0= 5.00м/c

Коэффициент сопротивления среды k= 0.20

Ускорение свободного падения g=9.8м/c**2

Количество разбиений участка [tn,tk] n=14

Общее время полета tk=0.46429c

I I

i I t I v

I I

----------------------

1 I 0.000 I 5.00000

2 I 0.033 I 4.61125

3 I 0.066 I 4.22763

4 I 0.099 I 3.84906

5 I 0.133 I 3.47547

6 I 0.166 I 3.10682

7 I 0.199 I 2.74302

8 I 0.232 I 2.38401

9 I 0.265 I 2.02974

10 I 0.298 I 1.68013

11 I 0.332 I 1.33513

12 I 0.365 I 0.99468

13 I 0.398 I 0.65871

14 I 0.431 I 0.32717

15 I 0.464 I 0.00000

Макcимальная высота полета hmax=1.12501м

 

 

Графическое представление результатов

 

v, м/c

 

 

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t, c

 

Анализ результатов

 

Анализ результатов показывает:

а) скорость v ₁ равна начальному значению v ₁ = v_нач;

б) с увеличением времени до t_кон = 0,46429с скорость убывает линейно.

 

 

Литература

 

1. Справочное пособие по приближенным методам решения задач высшей математики / Л.И. Бородич, А.И. Герасимович, Н.П. Кеда, И.Н. Мелешко. – Мн.: Выш. школа, 1986.

2. О ф и ц е р о в Д. В., С т а р ы х В. А. Программирование в интегрированной среде Турбо–Паскаль: Справ. пособие. – Мн.: Беларусь, 1992.

3. П е т р о в А. В., Т и т о в М. А., Ш к а т о в П. Н. Вычислительная техника и программирование: Курсовая работа / Под ред. А.В.Петрова. – М.: Высш. школа, 1992.

 

Рекомендуемая литература

1. А л е к с е е в В. Е., В а у л и н А. С., П е т р о в а Г. Б. Вычислительная техника и программирование: Практикум по программированию / Под ред. А.В.Петрова. – М.: Высш. школа, 1991.

2. Вычислительная техника и программирование: Учебник для техн. вузов / А.В.Петров, В.Е.Алексеев, А.С.Ваулин и др.; Под ред. А.В.Петрова. – М.: Высш. школа, 1990.

3. О ф и ц е р о в Д. В., С т а р ы х В. А. Программирование в интегрированной среде Турбо–Паскаль: Справ. пособие. – Мн.: Беларусь, 1992.

4. П е т р о в А. В., Т и т о в М. А., Ш к а т о в П. Н. Вычислительная техника и программирование: Курсовая работа / Под ред. А.В.Петрова. – М.: Высш. школа, 1992.

5. П о л я к о в Д. Б., К р у г л о в И. Ю. Программирование в среде Турбо–Паскаль: Версия 5.5. – М.: Изд-во МИА, АО «Росвузнаука», 1992.

6. Ф и г у р н о в В. Э. IBM PC для пользователя: Краткий курс. – Сокращенная версия 7-го издания. – М.: ИНФРА, 1999.

 

Содержание

 

1.	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ.......
1.1.	Алгоритмизация задач..............................
1.1.1.	Алгоритм, схема алгоритма, блоки....................
1.1.2.	Алгоритм линейной структуры.......................
1.1.3.	Алгоритм разветвляющейся структуры................
1.1.4.	Алгоритм циклической структуры с заданным числом повторений.......................................
1.1.5.	Алгоритмизация задач с использованием массивов......
1.2.	Структура Паскаль-программы.......................
1.2.1.	Заголовок.........................................
1.2.2.	Подсоединение модулей............................
1.2.3.	Раздел описания констант...........................
1.2.4.	Раздел описания типов..............................
1.2.5.	Раздел описания переменных........................
1.2.6.	Раздел операторов.................................
2.	КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ..........................
2.1.	Контрольная работа №1.............................
2.1.1.	Требования к выполнению контрольной работы........
2.1.2.	Варианты заданий..................................
2.1.3.	Пример выполнения контрольной работы..............
2.2.	Контрольная работа №2. Применение численного интегрирования при решении инженерных задач.......
2.2.1.	Требования к выполнению контрольной работы........
2.2.2.	Постановка задачи.................................
2.2.3.	Математическая модель задачи......................
2.2.4.	Алгоритм решения задачи...........................
2.2.5.	Пример решения задачи.............................
2.2.6.	Задания к контрольной работе №2....................
3.	КУРСОВАЯ РАБОТА..............................
3.1.	Задания на курсовую работу.........................
3.2.	Пояснения к поставленной задаче....................
3.3.	Требования к пояснительной записке.................
3.3.1.	Оформление пояснительной записки..................
3.3.2.	Содержание пояснительной записки..................
3.4.	Пример выполнения курсовой работы.................
	Введение........................................
3.4.1.	Постановка задачи................................
3.4.2.	Математическая модель движения..................
3.4.3.	Алгоритм решения................................
3.4.4.	Схема алгоритма решения.........................
3.4.5.	Таблица идентификаторов.........................
3.4.6.	Текст программы.................................
3.4.7.	Распечатка результатов............................
3.4.8.	Графическое представление результатов.............
3.4.9.	Анализ результатов...............................
3.4.10.	Литература......................................
	Рекомендуемая литература.........................

 

 

 

Учебное издание

 

 

Луцко Наталья Яковлевна

Анципорович Петр Петрович

Булгак Татьяна Ивановна

 

 

Информатика.

 

Контрольные работы и курсовое проектирование

 

Учебно‑методическое пособие

для студентов‑заочников

машиностроительных специальностей

 

 

Редактор Т.Н.Микулик

Компьютерная верстка Л.М.Чернышевич

Подписано в печать 18.03.2004.

Формат 60х84 1/16. Бумага типографская № 2.

Печать офсетная. Гарнитура Таймс.

Усл. печ. л. 4,1. Уч.-изд. л. 3,2. Тираж 500. Заказ 230.

Издатель и полиграфическое исполнение:

Белорусский национальный технический университет.

Лицензия ЛВ №155 от 30.01.2003. 220013, Минск, проспект Ф.Скорины, 65.