Оценка стоимости денег во времени

 

В процессе управления инвестиционной деятельностью возникает необходимость в проведении специальных расчетов, связанных с движением денежных потоков в различные периоды времени. Ключевую роль в этих расчетах имеет оценка стоимости денег во времени. Концепции, которые оценивают стоимость денег во времени, исходят из предпочтительности денег сегодня, чем завтра, и многие специалисты придерживаются этой линии поведения по двум причинам:

1. существует риск того, что деньги могут быть не получены в будущем;
2. если деньги имеются в наличии сегодня, то их можно вложить в бизнес с целью получения выгоды в текущем периоде.

 

Под влиянием инфляции и других факторов стоимость денег с течением времени изменяется с учетом нормы прибыли, сложившейся на рынке капитала. В качестве последней часто выступает ставка ссудного или депозитного процента, а также норма доходности по государственным ценным бумагам. В данном случае под процентом понимают сумму доходов, полученных от использования денег на финансовом рынке. Учитывают длительность инвестиционного процесса, приходится сравнивать стоимость денег при начале их инвестирования со стоимостью денег при их возврате в форме будущих денежных поступлений (прибыли, амортизационных отчислений, основной суммы долга по кредиту и т. д.).

 

В процессе сравнения стоимости денег при их инвестировании и возврате принято использовать ряд базовых понятий. Основные из них следующие:

1. Процентная ставка – это удельный показатель, исходя из которого в определенные сроки выплачивают сумму процента в расчете на единицу авансированного капитала. На практике процентная ставка указывает на соотношение между годовой величиной процента и суммы предоставленного заемного капитала, выраженное в долях единицы или в процентах.
2. Будущая стоимость денег (FV) представляет собой величину инвестированных в настоящий момент денежных средств, в которую они превратятся через определенных период времени (t) с учетом выбранной ставки процента (r). Расчет будущей стоимости денег связан с процессом ее наращения (компаундингом), который выражает поэтапное увеличение суммы вклада (капитала) путем присоединения к начальному его размеру суммы процента (процентных платежей). Данную сумму вычисляют по выбранной процентной ставке (r).
3. Настоящая (приведенная) стоимость денег (PV) представляет собой сумму будущих поступлений, приведенных с учетом определенной ставки процента (дисконтной ставке) к настоящему моменту (периоду). Расчет настоящей стоимости денег связан с процессом дисконтирования.
4. Дисконтирование – это финансовая операция, обратная наращению.
5. Период начисления – это общий период времени, в течение которого происходит процесс наращения или дисконтирования стоимости денег.
6. Интервал начисления – это обусловленный конкретный временной срок (в пределах общего периода начисления), в рамках которого устанавливают отдельную сумму процентов по выбранной ставке. Производят определенный платеж процентов.
7. Предварительный метод начисления процентов (пренумерандо) – это способ расчета платежей, при котором начисление процентов происходит в начале каждого интервала (в начале месяца, квартала, года).
8. Последующий метод начисления процентов (постнумерандо) – это способ расчета платежей, при котором начисление процентов осуществляют в конце каждого интервала (в конце месяца, квартала, года).
9. Дискретный денежный поток – это поток платежей на авансированный капитал, имеющий четко ограниченный период начисления процентов и конечный срок возврата основной его суммы.
10. Непрерывный денежный поток – это поток платежей на авансированный капитал, период начисления процентов по которому не ограничен и не установлен конечный срок возврата основной его суммы.
11. Аннуитет (финансовая рента) – это длительный поток платежей, отличающийся одинаковым уровнем процентных ставок на протяжении всего расчетного периода. Например, лизинговые платежи.

 

В системе приведенных базовых понятий приоритетным является показатель процентной ставки, применяемый для наращения и дисконтирования денежных потоков. На практике существует многообразие процентных ставок, используемых в финансовых вычислениях.

Приведем возможную классификацию процентных ставок.

1. По использованию оценки стоимости денег во времени различают ставки наращения и ставки дисконтирования. По ставке наращения устанавливается будущая стоимость денег, а по ставке дисконтирования – настоящая стоимость.
2. По стабильности уровня процентной ставки в интервале начисления выделяют фиксированную и плавающую процентные ставки. Фиксированная ставка остается постоянной на протяжении всех интервалов общего периода начисления. Плавающие (переменные) ставки регулярно пересматривают по соглашению партнеров в разрезе отдельных интервалов общего периода начисления. Например, в связи с изменением учетной ставки ЦБ или средней нормы ссудного или депозитного процента, темпа инфляции и т. д.
3. По обеспечению начисления определенной годовой суммы процента различают периодическую и эффективную ставку процента. Периодическая процентная ставка изменяется как по уровню, так и по продолжительности отдельных интервалов на протяжении годового периода платежей. Эффективная процентная ставка (ставка сравнения – ) отражает ее среднегодовой уровень, который определяют отношением годовой суммы процента, начисленного по периодическим ставкам, к основной сумме вклада (капитала). Расчетная формула эффективной ставки процента имеет следующий вид:

(2.1)

где – номинальная процентная ставка, – количество периодов начисления.

Пример. Определить эффективную ставку сложных процентов, если номинальная ставка 16% при ежеквартальном начислении. Тогда .

. Следует помнить, что эффективная ставка всегда больше номинальной ставки (которую также называют объявленной процентной ставкой): .

1. По условиям формирования различают базовую и договорную процентные ставки. Базовую процентную ставку определяют на основе исходного ее уровня и берут за базу для последующей корректировки кредитором в соответствии с условием проведения финансовых операций. Договорная ставка согласовывается между кредитором и заемщиком и отражается в соответствующем кредитном или депозитном договоре.

 

При проведении финансовых операций, связанных с вложением денег в какой-либо вид действия, процессы наращения и дисконтирования можно осуществлять как по простым, там и по сложным процентам. Простые проценты используют, как правило, при краткосрочном инвестировании, а сложные проценты – при долгосрочном.

 

Простым процентом называют сумму по первоначальной (настоящей) стоимости вклада в конце одного периода платежа, обусловленного условиями инвестирования.

Для расчета суммы простого процента в процессе наращения вклада используют следующий алгоритм:

(2.2)

где – сумма простых процентов, – первоначальная сумма вклада по настоящей стоимости, – продолжительность инвестирования, – процентная ставка (в долях единицы).

Пример. Определить сумму простых процентов вклада при следующих условиях:

Тогда будущая стоимость вклада равна:

или

Для расчета суммы простого процента в процессе дисконтирования денежного потока используют следующий алгоритм:

(2.3)

где – сумма дисконта за обусловленный период инвестирования, – конечная сумма вклада (капитала), – продолжительность инвестирования, – используемая дисконтная ставка (в долях единицы).

Пример. Определить сумму дисконта по проценту за год при следующих условиях:

Тогда

Настоящая стоимость вклада тогда равна:

.

 

Сложным процентом называют величину дохода, который образуется в результате инвестирования при условии, что сумма начисленного процента не выплачивается после каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада, и в последующем расчетном периоде она сама приносит доход (т. е. процент начисляется на процент).

Для расчета суммы вклада в процессе наращения (компаундинга) по сложным процентам используют следующий алгоритм:

(2.4)

(2.5)

Пример. Определить будущую стоимость вклада и сумму сложного процента за весь период инвестирования при условии, что первоначальная стоимость вклада PV = 6 млн. руб., процентная ставка для расчета суммы сложного процента – 5% в квартал, общий период инвестирования – 1 год.

Тогда

Для расчета настоящей стоимости вклада в процессе дисконтирования денежных потоков используют следующий алгоритм:

(2.6)

(2.7)

Пример. Рассчитать настоящую стоимость вклада и сумму дисконта по сложным процентам при условии, что FV = 6,0 млн. руб., ставка сложного процента – 5% в квартал, период инвестирования – 4 квартала.

Тогда

 

Существует специальные финансовые таблицы, с помощью которых при заданных размерах процентной ставки и количестве платежных периодов можно определить будущую и настоящую стоимость денег.

См. Четыркин Е. М. Финансовая математика. Изд-во «Дело», М., 2009.

Ковалев В. В. Финансовый менеджмент. М., 2007.

 

При оценке стоимости денег во времени необходимо учитывать, что на результаты оценки оказывает большое влияние не только размер процента, но и периодичность выплат (количество платежных периодов в течение одного года). В ряде случаев более выгодно инвестировать денег под меньшую ставку, но с большей периодичностью выплат, например, вклады по депозитам.

 

Пример. Перед инвестором стоит задача разместить 2,4 млн. руб. в депозитные вклады сроком на 1 год. Первый банк предлагает вкладчику выплачивать доход по сложным процентам 5% 1 раз в квартал, второй банк – 6% 1 раз в 4 месяца, третий банк – 8% 2 раза в году, четвертый банк – 15% 1 раз в год.

1. 
2. 
3. 
4. 

 

Таблица 2.1. Расчет будущей стоимости вклада при различной периодичности начисления сложных процентов и различных процентных ставках

№ варианта	PV, млн. руб.	Ставка дисконта, %	Будущая стоимость вклада в конце
1-го	2-го	3-го	4-го
	2,4		2,52	2,646	2,778	2,918
	2,4		2,544	2,696	2,858	-
	2,4		2,592	2,80	-	-
	2,4		2,76	-	-	-

 

Отдельные виды денежных потоков, оцениваемых во времени, определяют последовательно через равные промежутки времени или в равных размерах. Такую последовательность денежных потоков (равномерных платежей) называют аннуитетом (финансовой рентой). Примером аннуитета могут быть ежеквартальные суммы процентов по облигационным займам, лизинговые платежи за арендуемое имущество и т. д. В практических расчетах на основе специальных алгоритмов устанавливают:

1. будущую стоимость аннуитета на условиях предварительных (авансовых) платежей (пренумерандо)
2. будущую стоимость аннуитета на условиях последующих платежей (постнумерандо)
3. настоящую стоимость аннуитета на условиях предварительных платежей (пренумерандо)
4. настоящую стоимость аннуитета на условиях последующих платежей (постнумерандо)
5. размер отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета
6. размер отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета.

 

20.09.10

 

Для определения будущей стоимости аннуитета на основе предварительных (авансовых) платежей применяют следующий алгоритм:

(2.8)

где – член аннуитета, характеризующий сумму отдельного платежа; – используемая процентная ставка (доли единицы), – количество интервалов, по которым осуществляют каждый отдельный платеж

Пример. Определить будущую стоимость авансового аннуитета, осуществляемого на основе предварительных платежей по следующим данным: сумма каждого отдельного платежа – 3 млн. руб., период платежей – 5 лет, интервал платежей по аннуитету – 1 год; платежи вносятся в начале года; используемая процентная ставка равна 10% годовых.

Тогда

 

Для расчета будущей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо) применяют формулу:

(2.9)

где – член аннуитета, характеризующий сумму отдельного платежа; – используемая процентная ставка (доли единицы), – количество интервалов, по которым осуществляют каждый отдельный платеж.

Пример. Установить будущую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей по данным предыдущего примера (при условии взноса платежей в конце года).

Тогда

 

Из этих двух примеров следует, что будущая стоимость аннуитета на условиях авансовых платежей обеспечивают инвестору большую сумму дохода.

 

 

Для определения настоящей стоимости аннуитета на условиях предварительных платежей используют следующую формулу:

(2.10)

Пример. Установить настоящую стоимость аннуитета при условиях авансовых платежей при следующих данных: период платежа – 5 лет, сумма каждого отдельного платежа – 3 млн. руб., используемая дисконтная ставка – 10% годовых.

Тогда

 

Для расчета настоящей стоимости аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), используют следующий алгоритм:

(2.11)

Пример. Рассчитать настоящую стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей (постнумерандо), то есть при условии взноса платежей в конце года, по данным предыдущего примера.

Тогда

 

Из двух выше указанных примеров следует, что настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях авансовых платежей, выше, чем настоящая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей.

 

 

Для расчета суммы отдельного платежа при заданной будущей стоимости аннуитета используют следующий алгоритм:

(2.12)

где С_ОП – сумма отдельного платежа по аннуитету; – будущая стоимость аннуитета, осуществляемого на условиях последующих платежей.

 

Для расчета суммы отдельного платежа при заданной текущей стоимости аннуитета используют следующий алгоритм:

(2.13)

 

При расчете аннуитета возможно использование упрощенных алгоритмов, основу которых составляет только член аннуитета (сумма отдельного платежа) и соответствующий стандартный множитель (коэффициент) его наращения или дисконтирования.

 

Упрощенная формула для определения будущей стоимости аннуитета на условиях последующих платежей имеет вид:

(2.14)

где – сумма отдельного аннуитетного платежа; – множитель наращения аннуитета, определяемый по специальным расчетным таблицам с учетом ставки процента и числа периодов.

 

Упрощенная формула для расчета настоящей стоимости аннуитета на условиях последующих платежей имеет вид:

(2.15)

где – сумма отдельного аннуитетного платежа; – дисконтный множитель аннуитета, определяемый по специальным расчетным таблицам с учетом ставки процента и числа периодов.

 

Использование стандартных множителей наращения и дисконтирования стоимости аннуитета значительно упрощает процесс оценки стоимости денег во времени.