Визначення місця знаходження точки на земній кулі.

У першому наближенні Землю можна вважати кулею. Ближче до істинної фігури Землі буде еліпсоїд обертання, одержаний обертанням еліпса навколо його малої осі. Якщо позначити через а і b найбільшу та найменшу півосі еліпсоїда, то стиснення f виразиться формулою .

Прийнято характеризувати фігуру Землі наступними параметрами еліпсоїда обертання: , . В дійсності Земля за своєю формою значно складніша. Для простоти зображення будемо вважати земну поверхню сферою.

Положення будь-якого пункту на поверхні Землі, визначається двома координатами: широтою і довготою . При цьому основним напрямом є напрям осі обертання Землі, який співпадає з найменшою віссю еліпсоїда.

Вісь обертання Землі перетинає її поверхню у двох точках: північному N і південному S полюсах.

Площина, що проходить через центр Землі перпендикулярно до осі обертання називається екваторіальною площиною.

Лінія QQ, утворена перетином поверхні Землі екваторіальною площиною, називається земним (географічним) екватором, який поділяє поверхню Землі на дві півкулі: північну (з північним полюсом N) і південну (з південним полюсом S). Малі круги, паралельні земному екватору, називають географічними паралелями (рис. 10). За початкову (нульову) паралель, від якої ведуть рахунок географічної широти, прийнято географічний екватор.

Примітка. Географічні паралелі, які відстоять на на північ і на південь від екватора, називаються тропіками. Тропіки обмежують жаркий кліматичний пояс Землі. Географічні паралелі, які відстоять на від екватора, вважаються межами холодних і помірним кліматичних поясів і називаються північним і південним полярними кругами.

Коло, що проходить через полюси N і S і дану точку М, називають географічним меридіаном точки М.

Всі меридіани є великі кола. У міжнародній практиці за початковий (нульовий) меридіан, від якого ведуть рахунок географічної довготи, прийнято меридіан Гринвіча.

Широтою точки М називають кут, який утворює радіус ОМ сфери, з площиною екватора. Мірою цього кута є дуга меридіана, який проходить через точку М, від цієї точки до екватора..

Розрізняють північну (N) та південну (S) широти, (Рис. 10).

Довготою точки М називають двогранний кут, який утворений площиною нульового меридіана з площиною меридіана, проведеного через точку М. Мірою цього кута є центральний кут у площині паралелі, яка проходить через точку М, або у площині екватора, утворений радіусами, проведеними в точки їх перетину із зазначеними меридіанами (Рис. 10). Іншими словами, вимірюється довгота точки М дугою її паралелі (або дугою екватора), що заключна між нульовим меридіаном та меридіаном, який проходить через точку М.

Розрізняють східну (О) та західну (W) довготу.

а)	б)
Рис 10.

Земля повертається з заходу на схід з рівномірною швидкістю і за 24 години повертається 1 раз навколо своєї осі або на , тобто, за 1 годину – на , або за 1 хвилину - на

Визначення географічної довготи можна здійснювати за допомогою годинника, який показує час за Гринвічем.

Якщо в деякому пункті, довготу якого треба визначити,за місцевим часом 12 год, а на годиннику, що показує час за Гринвічем, 14год. 5хв., то це означає, що в цьому пункті опівдні за Гринвічем було 2 год. 5 хв. тому назад. Значить даний пункт знаходиться на на захід, а його довгота становить .

Якщо у даному пункті опівдні годинник показує 10год. 57хв за Гринвічем, то це означає, що за Гринвічем годинник покаже опівдні через 1год. 3 хв., а значить його довгота становить .

Обчислення градусної міри сторін і кута одержаного сферичного трикутника та відстані між двома пунктами

Найкоротшою відстанню між двома точками сфери є довжина дуги великого кола, яка проходить через ці точки і менша 180⁰. Тобто L=Rα, де α-радіанна міра дуги, а R- радіус сфери.

При обчисленні найкоротшої відстані між пунктами, доцільно користуватись наступними співвідношеннями:

, , ,

. (рис. 11)

Кут FNA= , кут BNC= , тому що і (), є західні довготи (східні), тобто відкладаються в одному напрямі від меридіана Гринвіча. Кут ANB= , бо і відкладають у різних напрямках відносно меридіана Гринвіча (рис 11).

Рис.11.

Рис. 11

Розв’язування задач.

Задача: Визначити найкоротшу відстань між пунктами О і R, якщо відомі їх координати. О: широта , довгота R: широта , довгота (Рис. 12)

Розв'язання

Найкоротша відстань між пунктами на Земній кулі є довжина дуги великого кола, яке проходить через обидва пункти і менша 180⁰.

Позначимо полюси Меридіани та , які проходять через точки та , та побудуємо дугу великого кола, що проходить через ці ж точки. Утворився сферичний трикутник NRO. найкоротша відстань між О та R. – нульовий меридіан (меридіан Гринвіча). Дуга NR доповнює до , а доповнює до . Значить, .

Кут є сумою довгот λ₁ та λ₂ тобто λ₁ +λ₂, бо довгота λ₁ східна, а λ₂ - західна.

 

Рис.12.

Скористаємось теоремою косинусів сторін сферичного трикутника RON. Маємо:

Знайдене значення дає величину центрального кута, який відповідає дузі Відомо, що довжина дуги , де - радіус земної кулі, - радіанна міра центрального кута, який відповідає дузі км. Одержимо

(км). Відповідь: 3716,9 км.

IV. Питання для самоконтролю

1. Користуючись географічними координатами () побудувати:

а) точки К(33⁰N; 50⁰O); M(40⁰S; 60⁰W);

б) найкоротшу відстань між точками К та М.

2. Користуючись рис. 11, записати:

а) міри кутів FNB, ANB, ANC

б) міри сторін SC, SD трикутника 1) SDC; 2) DNC.

3. Записати теорему косинуса сторони DC сферичних трикутників DNC і DSC.

4. Сформулювати план:

а) побудови дуги великого кола, що проходить через точки C і D;

б) обчислення довжини дуг DN і SE.

5. У яких випадках:

а) кут у полюса сферичного трикутника дорівнює:

1) ?; 2) ?.

б) градусна міра сторони сферичного трикутника дорівнює:

а) ?, б) ?

 

V. Література

1. Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии „ Пособие для учителей ”- М: Просвещение, 1967, – 648с., (483-486 с.).

2. Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007, – 93с., (26-33 с.).

3. Куликов К.А., Курс сферической астрономии – Изд-во Наука, - М. 1969- 216 с. (10-12 с.)