Площу сферичного трикутника обчислюють за формулами

(1) , де R-радіус сфери;

(2) , де - сферичний надлишок. (3)

Сума кутів сферичного трикутника . (4).

 

6. Побудова трикутника на сфері:

а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами

а). Побудувати на сфері трикутник за трьома сторонами та , якщо , .

Розв'язання.

Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими сторонами. Відомо, що для існування сферичного трикутника повинні виконуватись наступні умови:

а) , ;

б) , ;

в) , ;

г) . .

Умови а-г виконані, значить сферичний трикутник може існувати..

Хід побудови.

1. Вибираємо довільний радіус сфери.

2. Будуємо коло, що відповідає колу великого круга на сфері (рис.7а).

Нехай О₁ А₁ = R

а) б)

Рис. 7

3. Від радіуса О₁ А₁ відкладаємо центральні кути , , та з'єднуємо між собою хордами точки та , та , С₁ та D₁.

4. Будуємо сферу радіуса . (рис. 7б)

5. Вимірявши циркулем хорду дуги с (рис. 7а), відмітимо на сфері дві точки та , відстань між якими . (Дуга великого кола дорівнює дузі с, так як рівним хордам одного й того ж кола відповідають рівні центральні кути).

6. Опишемо на сфері радіусом коло з центром в т. та радіусом - коло з центром в т. . - точка перетину цих кіл.

7. Будуємо полюси S,T,F відповідно дуг АВ, АС, ВС.

8. На сфері будуємо дуги великих кіл, що проходять через точки А та В, А та С, В та С. Одержимо сферичний трикутник АВС.

 

б). Побудувати сферичний трикутник за трьома кутами А, В та С.

План побудови.

1 Перевірити, чи існує сферичний трикутник з такими кутами.

2. Обчислити сторони , , трикутника , полярного до трикутника .

3. Побудувати трикутник за трьома сторонами , , .

4. Побудувати полюси дуг А₁В₁, А₁С₁, В₁С₁. Це будуть точки С, В та А – вершини шуканого трикутника..

5. Побудувати дуги великих кіл, які проходять через точки ; ; . Трикутник шуканий.

7. Довести нерівності:

а) ; б) .

 

ІV. Питання для самоконтролю.

1. Назвати поняття, які були введені в лекції. Дати їх визначення.

2. Що називається сферичним трикутником?

3. Що є мірою кутів (сторін) сферичного трикутника?

4. Користуючись зображенням на сфері трьох великих кіл (рис.5), назвати:

а) суміжні сферичні трикутники;

б) симетричні сферичні трикутники;

в) сферичний перпендикуляр до дуги, яку називає викладач;

г) чи є серед сферичних трикутників, зображених на сфері, прямокутні?

5. Сформулювати властивості кутів і сторін суміжних та симетричних трикутників.

6. Сформулювати умови існування косокутних (прямокутних) сферичних трикутників?

7. Що можна сказати про величину третьої сторони сферичного трикутника, якщо а =130⁰, b =100⁰ ?

8. Які сферичні трикутники називають взаємно полярними?

9. Записати співвідношення між сторонами і кутами взаємно полярних трикутників.

10. Трикутники та _--взаємно полярні. Знайти: а) сторони трикутника , якщо , , ;

б) сферичний надлишок.

11. Довести, що .

12. Записати формулу для обчислення площі сферичного трикутника.

13. Обчислити площу сферичного трикутника АВС, якщо: а) Ð А=132⁰, ÐВ=74⁰, ÐС=100⁰; б) .

14. Сформулювати план побудови трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.

V. Література.

1. Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии «Пособие для учителей» - М: Просвещения, 1967,– 648 с., (488-494 с.).

2. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977,– 136 с.,

(25-34 с.).

3. Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007,– 93 с. (10-15, 79-81 с.).

 

 

Лекції 4-5. Тема: Основні формули сферичної тригонометрії

І. План лекції.

1. Теорема синусів.

2. Теореми косинусів сторін сферичного трикутника.

3. Теореми косинусів кутів сферичного трикутника.

4. Наслідки з теорем синусів та косинусів.

 

ІІ. Основні типи задач

1. Розпізнавати записані співвідношення між елементами сферичного трикутника.

2. Читати (змістовно) записану тотожність.

3. Формулювати критерії застосування кожної тотожності.

4. Одержувати з однієї тотожності дві інші за допомогою кругової перестановки букв.

ІІІ. Короткі теоретичні відомості.

Теорема синусів.

Виведемо залежності між сторонами і кутами сферичного трикутника. На сфері з центром в точці О візьмемо сферичний трикутник АВС (рис. 8) зі сторонами а, b, c. З’єднаємо вершини сферичного трикутника А, В і С з центром сфери О радіусами ОА=ОВ=ОС=R. Опустимо з вершини С сферичного трикутника перпендикуляр СЕ на площину АОВ. У площині АОВ з точки Е проведемо ED АО і ЕК ОВ, DM || ЕК і EN || КМ. Одержимо шість прямокутних трикутників: СОК, COD, DOM, EDN, ECK, ECD.

Центральні кути СОК, COD i КOD чисельно дорівнюють відповідним їм дугам a, b i c. КутА сферичного трикутника АВС дорівнює двогранному куту CDE. Аналогічно, Ð В = Ð СКЕ. Використовуючи співвідношення між сторонами і кутами плоских прямокутних трикутників можна одержати співвідношення між сторонами і кутами сферичного трикутника.

Рис. 8

 

Δ ЕСК і Δ ОСК: ЕС = СК sin B = R sin a sin B,

Δ ECD і Δ ОСD: EC = CD sin A = R sin b sin A.

Прирівнюючи між собою праві частини цих рівностей, одержимо першу формулу групи (1). Останні дві формули записують по аналогії.

(1)

 

Формули групи (1) називають формулами синусів записують:

– і читають так – синуси сторін сферичного трикутника пропорційні синусам протилежних кутів.

 

2. Теореми косинусів сторін. Запишемо очевидну рівність: ОК = ОМ + МК. Виразимо відрізки ОК, ОМ і МК через тригонометричні функції кутів і сторін плоских трикутників: КОС, MOD, DOC, NDE і ECD, а саме

Δ ОКС: ОК = R cos а, Δ OMD, Δ COD: OM=OD cos c = R cos b cos c,

Δ NED, ΔCOD, ΔCDE:

MK = NE = ED sin c = CD cos A sin c = R sin b sin c cos A

Підставимо замість ОК, ОМ і МК їх значення. Одержимо першу формулу групи (2). Останні дві формули записують по аналогії.

 

(2)

 

Формули (2) іноді називають формулами косинусів сторін і читають так: у будь-якому сферичному трикутнику косинус сторони дорівнює добутку косинусів двох інших сторін доданого до добутку синусів тих же сторін, помноженого на косинус кута між ними.

3. Теореми косинусів кутів. Застосуємо формули групи (2) до трикутника, полярного даному.

 

Одержимо формули групи (3), які називають формулами косинусів кутів.

(3)

 

Тобто, у будь-якому сферичному трикутнику косинус кута дорівнює добутку косинусів двох інших кутів, взятому зі знаком «-», доданого до добутку синусів цих же кутів, помноженого на косинус сторони між ними.

4. Наслідки з теорем синусів та косинусів. Запишемо ще одну очевидну рівність: MN=MD-ND.

Оскільки, MN=KE=KC cosB=R sin а cosB,

MD=OD sinc=R cosb sinc,

ND=ED cosc=DC cosA cosc=R sinb cosc cosA.

Замість MN, MD і ND підставимо їх значення. Одержимо

 

(4)

 

Скориставшись правилом кругової заміни, одержимо формули групи (4’)

 

(4’)

Одержані рівності читають так: у будь-якому сферичному трикутнику добуток синуса сторони на косинус прилеглого кута дорівнює добутку косинуса на синус двох інших сторін мінус добуток синуса на косинус цих же сторін, помноженого на косинус кута між ними.

На основі властивостей взаємно полярних трикутників, , одержимо групу формул (5)

(5)

 

Якщо формулу з групи (4) поділити почленно на формулу групи (1), у лівій частині якої ті самі елементи, то одержимо формулу котангенсів, що містить дві сторони і два кути.

(6)

 

Формули групи (6) називають формулами котангенсів. Вони містять дві сторони і два кути, тому їх називають формулами чотирьох елементів.

Перетворимо одержані формули для прямокутних сферичних трикутників

Якщо, в групах формул (1)-(6) прийняти один із кутів, наприклад С, рівним 90⁰, то формули матимуть вигляд:

для групи (1)

, .

(7)

для групи (2)

, ,

. (8)

 

для групи (3) , , .

(9)

для груп (4) і (4’) , , .

(10)

для групи (5) , , . Одержимо дві нові формули.

(11)

Група (6) нових формул не дає.

Для запам’ятовування формул прямокутного сферичного трикутника існує правило Непера.

Рис. 9	Розглянемо прямокутний сферичний трикутник (). Кожен катет ( та ) замінимо їх доповненнями до ( та ). Прямий кут С не будемо приймати до уваги. Кожен з елементів (с, А, В, , ) має два прилеглі до нього елементи і два не прилеглі елементи.
Тоді, косинус кожного елемента дорівнює добутку котангенсів прилеглих до нього елементів і добутку синусів не прилеглих елементів.

 

№ п/п	Елементи сферичного трикутника	Прилеглі елементи	Не прилеглі елементи
	с	А, В	,
	А	с,	В,
	В	с,	А,
		В,	с, А
		А,	с, В