ІІІ. Короткі теоретичні відомості

1. Точки і кола, дуги і кути на сфері.

Сферична тригонометрія є розділ сферичної геометрії, в якому вивчають метричні властивості сферичних трикутників та методи їх розв’язання.

Будь-яка площина перетинає сферу по колу. Площина, яка проходить через центр сфери радіуса R перетинає її поверхню по великому колу, радіус якого дорівнює радіусу сфери.

Якщо січна площина не проходить через центр сфери, то вона перетинає поверхню сфери по малому колу (МКР), радіус якого О₁М = r менший радіуса сфери ОТ= R (Рис. 1а).

Перетин двох площин, які проходять через центр сфери, співпадає з діаметром цієї сфери. Значить, два великі кола сфери перетинаються у двох діаметрально протилежних точках. Через будь-які дві точки на сфері, які не є кінцями одного діаметра, можна провести тільки одне велике коло. Дуга великого кола, що менша 180⁰, є найкоротшою відстанню на сфері між двома точками.

Пряма, що проходитьчерез центрсфери перпендикулярно до площини великого кола, наприклад ABCD (рис.1а), перетинає поверхню сфери у двох діаметрально протилежних точках N і S, які називають полюсами даного великого кола. Обидва полюси знаходяться на однакових кутових відстанях від усіх точок великого кола АВСD, яке називається їх полярою або екватором.

. Дуга великого кола, яка проходить через полюс іншого великого кола, перпендикулярна до цього великого кола, тобто ﮞ NT ﮞ СТ (рис. 1а).

Дві дуги ВВ₁ і СС₁ великих кіл, що перетинаються на сфері в точці А, утворюють чотири сферичні кути: ВАС, ВАС₁, САВ_1, В₁АС₁ (рис. 1б).

а) б)

Рис. 1

2. Сферичний кут, його вимірювання та властивості. Суміжні та вертикальні кути.

Два сферичні кути називаються вертикальними, якщо сторони одного з них є продовженням дуг, що є сторонами другого сферичного кута. Наприклад, на рис 1б) вертикальними є кути ВАС і В₁АС₁; САВ₁ і С₁АВ. Вертикальні сферичні кути мають рівні міри.

Два сферичні кути називають суміжними, якщо вони мають спільну вершину і одну спільну сторону, а дві інші сторони є дугами одного великого кола. Наприклад, на рис 1б) суміжними є кути САВ₁ та В_!АС₁; ВАС₁ та С₁АВ_1.

Сума суміжних кутів дорівнює 180⁰.

Площини великих кіл, що перетинаються по прямій, якій належить діаметр NS сфери, утворюють двогранні кути з ребром NS (рис 1а). Наприклад NСSТN; NАSТN.

Сферичний кут CNT і відповідний йому двогранний кут NCSTN мають одну й ту ж міру, що дорівнює лінійному куту COT даного двогранного кута.

3. Сферичний двокутник. Площа двокутника. Довжина дуги. Сферичним двокутником називається частина поверхні сфери,обмежена площинами двох великих півкіл, які перетинаються на кінцях одного й того ж діаметра.

Два великі кола поділяють поверхню сфери на чотири двокутники (рис 2а). Точки А і А₁ перетину кіл є вершинами двокутника, а дуги, на які вершини поділяють великі кола - його сторонами.

Сферичні кути МАK і MA₁K (рис. 2а) є кутами сферичного двокутника. Для позначення сферичного двокутника вибирають, крім вершин, по одній точці на сторонах. Записують АКА₁MA; AMA₁NA.

Кут сферичного двокутника вимірюється дугою α поляри (дуги великого кола, перпендикулярного до осі), яка менша 180⁰ і обмежена сторонами сферичного двокутника. Кут МАК = ﮞ СТ = α (рис. 2б).

а) б)

Рис. 2

Таблиця 1

Аналогії між поняттями
на площині	на сфері
Пряма лінія	Дуга великого кола на сфері.
Через дві точки площини проходить пряма і тільки одна	Через дві точки сфери, які не є кінцями одного діаметра, проходить тільки одна дуга великого кола.
Відрізок прямої є найкоротшою відстанню між двома точками площини.	Дуга великого кола, менша 180^0, є найкоротшою відстанню між двома точками сфери.
Дві прямі перетинаються тільки в одній точці	Дві дуги великих кіл, менші 180^0, перетинаються в одній точці на сфері.

Площа сферичного двокутника.

, де радіус сфери, сферичний кут в радіанах (рис.2б).

Довжину L дуги СТ (рис.1а) обчислюють за формулою ,де – радіанна міра дуги СТ, а – її градусна міра, R – радіус кола

4. Елементарні задачі на побудову на сфері.

Задача 1 .Знаючи радіус сфери, побудувати полюс великого кола, накресленого на сфері.

Хід побудови

1. Будуємо сферичний радіус. (Будуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють радіусу сфери. Його гіпотенуза є сферичним радіусом великого кола (рис 3а))

2. Вибираємо на заданому великому колі дві довільні точки А і В. З цих точок, як із центрів, робимо засічки, радіусом, що дорівнює сферичному радіусу CD. Точки перетину цих засічок (рис. 3б) і будуть полюсами великого кола. (полюс S знаходиться на невидимій стороні сфери).

а) б)

Рис. 3

Задача 2. Знаючи радіус сфери, побудувати на сфері дугу великого кола, що проходить через дві задані точки К та В.

Хід побудови

1. Будуємо сферичний радіус. (Будуємо прямокутний рівнобедрений трикутник, катети якого дорівнюють радіусу сфери. Його гіпотенуза CD є сферичним радіусом великого кола (рис 4а)).

2. З даних точок К та В, як із центрів, радіусом, рівним сферичному радіусу CD, робимо засічки. Точка їх перетину Т (S) і буде полюсом великого кола, якому належать точки К та В (точка S знаходиться на невидимій стороні сфери).

3. З точки Т як із центра проводимо коло, радіус якого дорівнює сферичному радіусу CD. Дуга цього кола, що проходить через точки К та В буде шуканою.(рис. 4б)

	а) б) Рис. 4

ІV. Питання для самоконтролю:

1. Що відіграє на сфері роль прямої на площині?

2. Що є найкоротшою відстанню між двома точками сфери, які не є кінцями одного діаметра?

3. Записати формулу для обчислення довжини меншої дуги великого кола, яку визначають дві точки на сфері.

4. Користуючись зображенням на сфері, (рис.2а), назвати сферичні двокутники, сферичні кути та відповідні їм двогранні кути.

5. Сформулювати властивості вертикальних та суміжних сферичних кутів (рис 1б).

6. Користуючись рис.1а, назвати: а) великі (малі) кола; б) поляру точки N (S); в) відстань від точки N (S) до поляри.

7. Користуючись рис.1б, назвати вертикальні (суміжні) кути.

8. Записати формулу для обчислення площі сферичних двокутників:

а) NТSСN; б) NАSТN (рис.1а)

9. Сформулювати алгоритм побудови на сфері даного радіуса: а) полюса заданого великого кола; б) дуги великого кола, що проходить через дві точки, задані на поверхні сфери.

 

V. Література

1. Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии „ Пособие для учителей ”- М: Просвещение, 1967 – 648 с., (483-488 с.)

2. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977,– 136 с.,

(11-24 с.).

3. Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007,– 93 с., (7-10 с.)

Лекції 2-3. Тема: Сферичний трикутник

 

І. План лекції

1. Поняття сферичного трикутника, його елементи. Вимірювання сторін і кутів сферичного трикутника.

2. Суміжні та симетричні трикутники, їх властивості.

3. Умови існування сферичного трикутника.

4. Взаємно полярні трикутники та їх властивості.

5. Площа і сума кутів сферичного трикутника.

6. Побудова трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.

7. Доведення властивостей кутів сферичного трикутника.

ІІ. Основні типи задач.

1. Розпізнавання на сфері суміжних та симетричних трикутників.

2. Встановлення:

а) існування сферичного трикутника із зазначеними мірами його

сторін (кутів);

б) межі зміни третьої сторони, якщо відомі міри двох інших;

3. Доведення властивостей кутів (сторін) сферичного трикутника.

4. Обчислення площі сферичного трикутника та двокутника.

5. Знаходження сферичного надлишку.

6. Доведення нерівностей, що характеризують умови існування сферичного трикутника.

7. Побудова трикутника на сфері: а) за трьома сторонами; б) за трьома кутами.