Співвідношення між елементами прямокутного сферичного трикутника

1) ; ;

2) ; ;

3) , ;

4) ;

;

5) ;

ІV. Питання для самоконтролю.

1. Записати теорему косинусів для сторони в(а;с).

2. Записати теорему косинусів кутів.

3. Як із формул групи (4), одержати формули групи 4’?

4. Сформулювати алгоритм одержання формул групи (5) (групи (6)).

5. Сформулювати правило Непера запам’ятовування формул для прямокутного сферичного трикутника.

Література

1. Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии „Пособие для учителей” - М: Просвещения, 1967, – 648 с., (483-486, 510-512 с.).

2. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977, – 136 с.,

(43-55 с.).

3. Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007, – 93 с., (15-20, 25-26, 55-56 с.).

4. Куликов К.А., Курс сферической астрономии – Изд-во Наука, - М. 1969- 216 с. (31-36 с.)

Лекції 6-7. Тема: Розв'язання сферичних трикутників.

І. План лекції.

1. Послідовність операцій при розв'язанні сферичних трикутників.

2. Основні типи задач на розв'язання довільних сферичних трикутників.

Розв'язання сферичних трикутників за:

а) трьома сторонами;

б) трьома кутами;

в) двома сторонами та кутом між ними.

3. Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників.

4. Приклади розв’язування сферичних трикутників.

ІІ. Основні типи задач.

1. Перевірка існування сферичного трикутника за даними елементами.

2. Розв'язання сферичних трикутників за:

а) трьома сторонами;

б) трьома кутами

в) двома сторонами та кутом між ними;

.3. Розв'язання прямокутних сферичних трикутників за:

а) двома катетами;

б) гіпотенузою та катетом;

в) гіпотенузою та прилеглим кутом;

г) катетом та протилежним кутом;

д) катетом та прилеглим кутом;

е) двома кутами, прилеглими до гіпотенузи.

 

ІІІ. Короткі теоретичні відомості.

1. Послідовність операцій при розв’язанні сферичних трикутників:

1. Оцінка вихідних даних.

2. Вибір формул для обчислення шуканих елементів.

3. Виконання обчислень.

4. Контрольні обчислення (обчислення однієї і тієї ж невідомої величини за двома різними формулами).

5. Аналіз одержаних результатів.

 

Розв’язання сферичних трикутників

Таблиця 4

Дано	Знайти	Формули для обчислення шуканих елементів
1. Три сторони	Кути	(2):
2. Три кути сферичного трикутника	Сторони трикутника	(3):
3. Дві сторони та кут між ними: а)	Сторону , кути	(6):
б)	Сторону , кути	(2): (6):
в)	Сторону , кути	(2): (6):

Шість основних типів задач розв'язання прямокутних сферичних трикутників

Дано	Знайти	Формули для обчислення шуканих елементів
1. Два катети	Гіпотенузу кути	(2): (8): звідки (6): тоді (6): звідки тоді
2. Гіпотенуза і катет	Катет кути	(8): З (7): , тоді З (4): Тоді
3. Гіпотенуза і прилеглий кут	Катети кут	З (10): З (7): З (3):
4. Катет та протилежний кут	Катет гіпотенузу кут	(6): звідки З (7): З (3): тоді
5. Катет та прилеглий кут	Катет гіпотенузу кут	(6): звідки , З (10): , З (10): , З (9)
6. Дано два кути та прилеглі до гіпотенузи	Катети гіпотенузу	З (9): З (9): З (9):

Приклади розв’язання задач

а) Розв’язати сферичний трикутник, у якого:

а = 79⁰33¹ , b = 65⁰28¹, с = 37⁰53¹

 

Розв’язання

Перевіримо, чи існує трикутник з такими сторонами.

0⁰ < а = 79⁰33¹ < 180⁰, 0⁰ < b = 65⁰28¹ < 180⁰, 0⁰ < c = 37⁰53¹ < 180⁰,

 

a+b = 79⁰33¹ + 65⁰28¹ = 145⁰01¹ > c = 37⁰53¹,

a+c = 79⁰33¹ + 37⁰53¹ = 117⁰26¹ > b = 65⁰28¹,

 

b+c = 65⁰28¹ + 37⁰53¹ = 103⁰21¹ > a = 79⁰33¹.

Трикутник з такими сторонами може існувати.

Дано	Знайти	Формули для обчислення шуканих елементів
1. Три сторони	Кути	(2):

Обчислення кута А.

cosa = cosb cosc + sinb sinc cosA, ,

cosa = cos 79⁰33¹ = 0,1814,

cosb = cos65⁰28¹ = 0,4152,

cosc = cos 37⁰53¹ = 0,7893,

cosb cosc =0,4152*0,7893= 0,3277,

sinb = sin 65⁰28¹ = 0,9097,

sinc = sin 37⁰53¹ = 0,6141,

sinb sinc = 0,9097*0,6141=0,5586,

cos a – cos b cos c = 0,1814 - 0,3277= - 0,1463,

= = -0,2619,

A=arccos(-0,2619)=180⁰-arccos 0,2619=105⁰10¹.

Обчислення кута В.

, 0,4152, 0,1814, 0,7893, 0,1432, 0,272, 0,9834, 0,6141, 0,6039, , ,

Контроль обчислень , звідки , 0,9834*0,8928=0,8780, 0,9097*0,9652=0,8781,   Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

 

Обчислення кута С

, 0,4152, 0,1814, 0,7893, 0,0753, 0,714, 0,9834, 0,9097 0,8946, , .

Контроль обчислень , звідки , 0,9834*0,6025=0,5925, 0,6141*0,9652=0,5927,   Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно)

Відповідь: , ,

б) Розв’язати сферичний трикутник, у якого , , .

Розв’язання.

Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими кутами:

, ,

,

,

,

,

.

Трикутник з такими кутами може існувати.

 

Дано	Знайти	Формули для обчислення шуканих елементів
Три кути сферичного трикутника	Сторони трикутника	(3):

Обчислення сторони :

, -0,3051,

0,3469, -0,6580,

-0,2283, -0,3051-0,2283=-0,5334,

0,9379, 0,7530,

0,7062, -0,7553,

Обчислення сторони .

, -0,3051, 0,3469, -0,6580, 0,2008, 0,5477, 0,9523, 0,7530, 0,7171, 0,7638, .

Контроль обчислень , 0,6554*0,9379=0,6147, 0,9523*0,6455=0,6147.   Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними.

 

Обчислення сторони .

-0,3051, 0,3469, -0,6580, -0,1058, -0,7638, 0,9523, 0,9379, 0,8932, -0,8551, .

Контроль обчислень , 0,5185*0,9379=0,4863, 0,7530*0,6455=0,4861,   Обчислення виконано правильно, залишається лише перевірити, чи існує трикутник з такими даними. (Перевірку виконати самостійно)

Відповідь: , , .

в) Розв’язати сферичний трикутник у якого:

, , .

Перевіримо, чи існує сферичний трикутник з такими елементами.

, , .

Отже, з такими даними сферичний трикутник може існувати.

Дано	Знайти	Формули для обчислення шуканих елементів
Гіпотенуза с і катет b	Катет а та кути А і В	(8) , , (1) , , (4) , .

Обчислення катета а.

;

;

;

,

,

Обчислення кута В:

;

,

,

,

або ,

Обчислення кута A: ; ; ;

Контроль обчислень (9) , , отже . . Значить – сторонній розв’язок. Або оскільки , то має бути більшим . Тому – сторонній розв’язок. , (11) , ; . Розв’язки знайдені правильно.

Відповідь: , ,

ІV. Питання для самоконтролю.

1. Сформулювати послідовність дій при розв’язанні сферичного трикутника.

2. Навести приклади задач, за даними яких сферичний трикутник: а) не існує; б) існує.

3. Чи існує сферичний трикутник, кути якого дорівнюють:

а) А=15⁰, В=25⁰, С=96⁰?

б) А=70⁰, В=30⁰, С=80⁰?

в) А=104⁰, В=83⁰, С=15⁰?

4. За яких даних слід застосовувати:

а) теорему косинусів сторін;

б) формули чотирьох елементів;

в) теореми косинусів кутів.

 

5.Чи існує трикутник з такими сторонами:

а) б) в)

6. Записати формули, за якими можна обчислювати кути сферичного трикутника.

 

Література

5. Андронов И.К., Окунев А.К., Курс тригонометрии „Пособие для учителей” - М: Просвещения, 1967, – 648 с., (488-491 с.).

6. Волынский Б.А. Сферическая тригонометрия – М.Наука 1977, – 136 с.,

(85-90 с.).

7. Кранц П., Сферическая тригонометрия – М. 2007, – 93 с., (51-61 с.).

8. Куликов К.А., Курс сферической астрономии – Изд-во Наука, - М. 1969- 216 с. (31-36 с.)