Отражение и преломление света на границе двух диэлектриков.

. Граничные условия для векторов поля световой волны на границе между двумя диэлектриками при отсутствии свободных зарядов и токов проводимости имеют вид:

где t, n – индексы тангенциальной (касательной к границе раздела) и нормальной компоненты вектора соответственно. Пусть на плоскую границу двух диэлектриков с абсолютными (не относительными!) проницаемостями (e₁; m₁) и (e₂; m₂) падает под некоторым углом плоская световая волна. Тогда для напряженностей электрического поля в падающей, отраженной и преломленной волнах соответственно имеем:

где – волновые числа, причем – скорости света в 1-й и 2-й средах.

Для электрического поля граничные условия принимают вид:

Отметим, что начало отсчета вектора r (точка 0’) совершенно произвольно. Если 0’ лежит не на поверхности раздела, то

.

Равенство будет соблюдаться для произвольных значений r и t только при . Отсюда следует, что . (Частота ЭМВ при отражении и преломлении не меняется.)

Плоскость, в которой лежат волновой вектор k ₀и нормаль к поверхности раздела n в точке падения луча, называется плоскостью падения. Из рис. видно, что

Тогда или: . Вспомним, что – показатели преломления.

. .(Закон Снеллиуса)

Введем обозначение – относительный показатель преломления. Тогда закон Снеллиуса примет вид: .

При (падение из менее оптически плотной в более оптически плотную среду) (рис.4.4). При (рис.4.5).

 

 

12. Формулы Френеля для s- и p- поляризаций.

Отражение и преломление s- поляризованной ЭМВ. (Рис.4.7)

Как направлены векторы E ₁ и E ₂ заранее не известно. Направим условно их так, как показано на рис.4.7. Если знак получится отрицательный, значит, векторы направлены в противоположную сторону.

Граничные условия для s –поляризации (индексы s опустим): (4.42) – (4.43)Обозначим: – амплитудный коэффициент отражения;(4.51) – амплитудный коэффициент пропускания. (4.52)При система имеет действительное решение для всех углов q₀. Если она имеет действительное решение лишь для углов (подробнее этот случай рассмотрим позднее). Тогда имеем:

(4.54) – (4.55)(Обобщенные формулы Френеля для s – поляризации)

Для диэлектриков в оптическом диапазоне обычно . Тогда из (4.54) и (4.55) получим общепринятые формулы Френеля для s – поляризации:

(4.56) – (4.57)

Графики зависимостей и для приведены на рис.4.8.

При отражении света от диэлектрика с фаза отраженной волны изменяется на p. При преломлении в этом случае изменения фазы нет.

При отражении света от диэлектрика с скачка фазы на p не происходит ни для отраженной, ни для преломленной волны (для углов рассмотрение – ниже).

Отражение и преломление p– поляризованной ЭМВ. (Рис.4.9)

Граничные условия для p –поляризации принимают вид:

(4.61) – (4.62)

Для действительных углов преломления получаем обобщенные формулы Френеля для p–поляризации:

(4.65) – (4.66)

или для диэлектриков с m₁ = m₂:

(4.67) – (4.68)

Графики зависимостей и для приведены на рис.4.10.

 

 

13. Энергетические и фазовые соотношения при преломлении и отражении света на границе раздела двух сред. ЯвлениеБрюстера.

Явление Брюстера. Из формулы (4.67) и из графика рис.4.10 видно, что для p –поляризованной волны при некотором угле падения , называемом углом Брюстера, отраженная волна отсутствует, т.е. . Это явление называется явлением Брюстера (1815 г.). Для угла Брюстера справедливы следующие соотношения: (4.69) При переходе через угол Брюстера фаза колебаний отраженной волны скачком меняется на p.

Заметим, что явление Брюстера наблюдается тогда, когда направления преломленной и отраженной волны ортогональны. С физической точки зрения это можно объяснить следующим образом. Если связывать наличие отраженной волны с вынужденными колебаниями электронов во второй среде, то в направлении, перпендикулярном преломленной волне, не должна распространяться энергия, т.к. образующийся при этом диполь не излучает в направлении собственных колебаний.

При при падающей волне с произвольным азимутом отражается лишь s – поляризованная компонента. Это является одним из способов получения линейно-поляризованного света.

Энергетические соотношения при преломлении и отражении. Энергетическим коэффициентом отражения называется абсолютное значение отношения нормальных компонент векторов Пойнтинга в отраженной и падающих волнах: (4.72)

Энергетический коэффициент пропускания вводится аналогичным образом для преломленной волны:

. (4.73)

Т.к. ,(4.74) (4.75)

то для имеем: (4.76)

(4.77)

или с учетом (4.54), (4.55), (4.65), (4.66):

; (4.78)

; (4.79)

; (4.80)

. (4.81)

При q₀ = 0 для m₁ = m₂

;(4.82) . (4.83)

Прямой проверкой можно показать, что

.(4.84)

Это выражает закон сохранения энергии при отражении и преломлении света на границе раздела двух сред. Графики для изображены на рис.4.11.

 

Пусть все три волны записаны в виде Очевидно, для линейной среды зависимость H (r,t) или B( r,t) будет иметь точно такой же вид. Воспользуемся для случая (а) граничным условием

Далее введем в плоскости падения вдоль границы сред координату x. Из поперечности волн и паралельности векторов следует, что все три волновых вектора лежат в одной плоскости — падения. Вдоль оси Ox произведения kr в формулах типа (2.6.1) вырождаются в . Т.о., граничное условие при равных частотах сводится к следующему:

 

 

Полное внутреннее отражение света. Примеры его проявления и использования.

Явление полного внутреннего отражения. При падении света на границу двух диэлектриков, для которых , из закона Снеллиуса следует, что существует предельный (или критический) угол q_п падения, при котором угол преломления . Тогда .При угол преломления q₂ имеет обычную геометрическую интерпретацию, и коэффициенты R и T являются вещественными.

Когда угол падения , не существует вещественного угла преломления q₂, т.к. закон Снеллиуса дает для sinq₂ значение больше единицы, а для cosq₂ – чисто мнимое значение:

Но формулы Френеля останутся справедливыми и в этом случае, если закон преломления рассматривать просто как определение входящих в них величин sinq₂ и cosq₂. Справедливость понимаемых таким образом формул Френеля следует из того, что они обеспечивают выполнение граничных условий и в этом случае.

Формулы Френеля для отраженной волны ((4.56) и (4.67) с учетом (4.86)) имеют вид:

; .

Видно, что энергетические коэффициенты при углах падения больше критического. Поэтому это явление называется полным внутренним отражением (ПВО). При этом волна и соответствующая доля энергии проникают через границу раздела во вторую среду на некоторую глубину d (глубину проникновения) (амплитуда поля на глубине d падает в е раз)

,

движутся вдоль поверхности раздела и затем возвращаются в первую среду. Места входа энергии во вторую среду и ее возвращения в первую смещены друг относительно друга. Амплитуды p– и s– компонент отраженной волны не изменяются по абсолютному значению, но испытывают различные фазовые сдвиги. Если представить, что , то Обозначим Тогда .

Примеры: 1. Призма–крыша, световоды, миражи, ромб (параллелепипед) Френеля (φ=54,37)

 

15. Распространение света в проводящих средах. Комплексный показатель преломления. Отражение света от поверхности проводника. Глубина проникновения. Закон Бугера. Распространение света в проводящих средах.

При рассмотрении вопроса применения электромагнитной теории Максвелла к данному случаю, задача сводится к учету проводимости металла, т.е. формально к введению в уравнения Максвелла членов, зависящих от коэффициента электропроводности s. Отражение света от поверхности металла, как и его распространение в нем, может быть рассмотрено на основе материальных уравнений, в которых диэлектрическая проницаемость e(w) комплексна. Соответственно показатель преломления n – тоже комплексный: .(4.96)

В сильно поглощающих средах и металлах мнимая часть преобладает над вещественной.

Частичное проникновение света в металл создает токи проводимости. С ними связано выделение джоулевой теплоты, т.е. поглощение света – необратимое превращение электромагнитной энергии в энергию хаотического теплового движения. Чем выше проводимость металла, тем меньшая доля падающего света проникает в металл и поглощается там. В идеальном проводнике, которому формально соответствует , потери на джоулеву теплоту вообще отсутствуют, так что падающий свет полностью отражается.

Пусть из вакуума на металл падает плоская монохроматическая волна с волновым вектором (рис.4.14);

– волновой вектор отраженной волны. Во второй среде волна неоднородна и . (4.97)Тогда, как и при выводе формул Френеля: .(4.98)

Видно, что составляющая вектора k ₂, направленная вдоль границы вещественна. Поэтому мнимая часть вектора k ₂ перпендикулярна поверхности металла. Это значит, что плоскости равных амплитуд прошедшей волны параллельны границе раздела. Вектор перпендикулярен плоскостям постоянных фаз и характеризует направление прошедшей волны. Угол y называется вещественным углом преломления. Отношение зависит от угла падения (в отличие от диэлектриков).

Формулы Френеля остаются в силе, если в них рассматривать cosq₂ как комплексную величину: .(4.99)

Знак корня нужно взять так, чтобы неоднородная волна затухала вглубь металла. Тогда коэффициенты отражения тоже комплексны: (4.100)В общем случае . При линейной поляризации падающего света с произвольным азимутом в отраженной волне появляется сдвиг фаз, приводящий к эллиптической поляризации отраженного света. Отраженный свет остается линейно поляризованным, если: 1) падающий свет s– или p– поляризован; 2) ;3) .

При нормальном падении: ; (4.101) .(4.102)У металлов c² значительно больше другого слагаемого. Поэтому .Волновой вектор прошедшей в металл волны при нормальном падении имеет только z – составляющую:

;(4.103)

— глубина проникновения. (4.104)

 

 

При достаточно высоких частотах роль “силы трения” в уравнениях колебаний электрона становится несущественной. Случай g = 0 формально соответствует “идеальному” металлу сs®¥. При , а .(4.105)

В этом случае из (4.102) следует Â = 1, т.е. отражение от поверхности идеального проводника полное.

Закон Бугера. Для затухающей волны, распространяющейся вдоль оси Z, интенсивность излучения: . (4.106)

Отсюда получаем зависимость: ,(4.107)называемая законом Бугера, где a – линейный показатель поглощения. Другой вид закона Бугера (см. (4.104)):

,(4.108)где l₀ – длина волны света в вакууме.