Розробка програми інтерполяції функцій

Мета роботи: Закріплення знань із застосування інтерполяційних формул, розробка комп’ютерної програми на мові Pascal, яка реалізує інтерполяційну формулу Лагранжа, застосування її для розв’язання індивідуального завдання.

Теоретичні відомості

Інтерполяція застосовується до функцій, які задані таблично, або які мають складні аналітичні вирази і обчислення Їх значень при довільному значенні аргумента на заданому відрізку неможливе або занадто складне.

При цьому виконується приблизна заміна таких функцій функцією простої структури.

Спрощена задача інтерполяції функції однієї змінної полягає у наступному. Функція задана таблично, тобто на відрізку [ а,в ] задано (n+1) точку х_0, х_1, х_2,….., х_n і відомі значення функції у цих точках:

, , ……, .

 

x	x0	x1	x2	...	xn
y	y0	y1	y2	..	yn

 

 

Необхідно визначити функцію F(x), яка в точках х_і має ті ж значення, що і

функція f(x), тобто:

, (6.1)

Точки х_і (і=0, …, n) називаються вузлами інтерполяції, функція F(x) - інтерполююча функція. Графічно це означає, що крива у=F(x) повинна проходити через задану систему точок M_i (x_i, y_i), і=0,…n, тобто в цих точках вона повинна співпадати із функцією .

Y y_n

y₁ y₂

f(x) F(x)

y₀

 

 

x₀ x₁ x₂ x_n X

 

Для забезпечення однозначності розв’язання задачі інтерполяції, функцію F(x) можна вибрати у вигляді полінома P_n(x) ступеня не вищого n, який задовольняє умовам (6.1):

, , …, . (6.2)

Цей інтерполюючий поліном P_n(x) зазвичай використовується для приблизного обчислення значень функції f(x) при значеннях х, відмінних від заданих вузлів інтерполяції х_і (і=0,….n).

У цьому занятті для інтерполяції функції використовується інтерполяційний поліном Лагранжа:

(6.3)

де x_0, x_1,..., x_і,... x_n - задані вузли інтерполяції,

y_0, y_1,....y_{і, ….}y_n - відомі значення функції, що інтерполюється , у

цих вузлах.

При заданому (n+1) вузлі інтерполяції, що довільно розташовані на відрізку [ а, в ], поліном L_n(х) повинен мати в цих точках ті ж значення, що і функція, що інтерполюється :

L_n(x_i)=y_i; i=0,1,…, n.

 

 

y

 

 

 

y₀ y₁ y_n

x₂

x

x₀=а x₁ y₂ x_n=b

 

 

 

 

 

 

Поліном Лагранжа має загальний характер, застосовується при довільному розташуванні вузлів інтерполяції на заданому відрізку [ а, в ].

При n=1 формули Лагранжа (6.3) перетворюється на рівняння прямої лінії, яка проходить через 2 точки:

.

 

 

у у

 

у₀ у₁ у₀ у₂

 

х₁

х х

х₀ х₁ х₀ х₂

у₁

 

При n=2 отримуємо рівняння параболи, яка проходить через 3 точки:

 

 

 

Приклад інтерполяції функції поліномом Лагранжа

Для функції y=cos сформувати інтерполяційний поліном Лагранжа, обравши вузли інтерполяції:

х₀=0; х₁=0,25; х₂=0,5; х₃=1.

Обчислюємо точні значення функції у вузлах інтерполяції:

Застосовуємо формулу (6.3) і отримуємо:

Сформований вираз є інтерполюючим поліномом Лагранжа для заданої функції y=cos .

Обчислимо значення поліному L₃ у вузлах інтерполяції і порівняємо їх з точними значеннями:

Вузли інтерполяції	х		0,25	0,5
Задана функція	У		0.7071		-1
Інтерполяційний поліном	L3		0.7071	0.0001	-1

Значення функції, що інтерполюється, і інтерполюючого поліному у вузлах інтерполяції співпадають, тобто обидві криві проходять через задану систему точок.

Обчислимо значення функції і поліному L₃ при значеннях х, що не співпадають з вузлами інтерполяції ():

 

х	0.1	0.2	0.3	0.35	0.4	0.55	0.6	0.7	0.85	0.9
у	0.9511	0.809	0.5878	0.454	0.309	-0.1564	-0.309	-0.5878	-0.8991	-0.9511
L3	0.9591	0.8121	0.5856	0.4508	0.308	-0.1546	-0.306	-0.5856	-0.8972	-0.959
	0.8	0.31	-0.22	-0.71	-0.96	-1.15	-0.97	-0.37	0.7	0.79

 

Інтерполяційний поліном дає значення, що незначно (похибка ) відрізняються від точних. При збільшенні кількості заданих вузлів інтерполяцій n і, відповідно, порядку полінома L_n збільшується і точність результату.

Алгоритмічна та програмна реалізація інтерполяційного полінома Лагранжа

Функція задана множиною точок з координатами х_і і у_і (і=0,…n):

 

Х	x0	x1	x2	………	xn
Y	y0	y1	y2	………	yn

 

Обчислити наближене значення функції у точці х=х_р, використовуючи для інтерполяції формулу Лагранжа.

 

 

 

 

i=0, n

 

 

 

k=0,n

 

 

Так

 

 

Ні

 

X_p, L

 

 

L+L1 / L2→L

(xp - xk)*L1→L1

(xi - xk)*L2→L2

 

Var Хp,L1,L2,L: real;

n,I,k: integer;

Х,У:arrary [0..30] of real;

Label M;

Begin

<Введення вихідних даних>

L:=0;

For i:=0 to n do

Begin

L1:=Y[i]; L2:=1;

For k:=0 to n do

Begin

If i=k then goto M;

L1:=L1*(Хp-Х[k]);

L2:=L2*(Х[i]-Х[k]);

M: end;

L:=L+L1/L2;

End;

<Виведення результатів>

Примітки:

1. Вихідними даними для роботи програми є масив вузлів інтерполяції Х, масив значень функції у цих точках У, кількість відрізків інтерполяції n (при цьому кількість вузлів інтерполяції n+1) і значення х=х_р, при якому обчислюється значення функції;

2. Змінні L1, L2, L використовуються для значень, відповідно, чисельника, знаменника і полінома. Вони обчислюються за формулою (6.3).

Порядок виконання роботи

1. Вибрати індивідуальне завдання. Номер варіанту у таблиці 6.1. відповідає номеру студента у списку групи;

2. Ознайомитися з теоретичним матеріалом з питань інтерполяції і апроксимації функцій;

3. Вибрати інтервал [ a,b ] і чотири вузли інтерполяцій в ньому х_0, х₁, х_2, і х₃, обчислити значення заданої функції у цих точках у₀, у₁, у₂, у₃. По цим даним сформувати інтерполяційний поліном Лагранжа L₃;

4. Визначити значення полінома у вузлах інтерполяції, порівняти їх з точними значеннями функції у_і;

5. Обчислити значення заданої функції і поліному при 10 значеннях х, що не співпадають з вузлами інтерполяції (). Визначити похибку інтерполяції у цих точках;

6. Скласти докладний алгоритм інтерполяції функції поліномом Лагранжа;

7. Скласти і відлагодити програму на мові програмування Pascal, яка реалізує введення вихідних даних; обчислення значення функції, заданої таблично, при довільному значенні n і х_р; виведення результатів у зручній формі на екран і в файл;

8. Описати алгоритм і програму (змінні, масиви, процедури і функції, особливості реалізації тощо);

9. З використанням розробленої програми повторити пункти 4 і 5, порівняти результати;

10. Обчислити точне значення функції у трьох вибраних точках х_р1, х_р2, х_р3 () і значення поліному L_n в них (з використанням програми) при 5, 8, 10, 14, 17 і 20 вузлах інтерполяції, що розташовані в межах інтервалу [ a,b ]. При цьому можна використати результати п. 3 і 5.

Визначити і порівняти похибку інтерполяції.

Результати оформити у вигляді таблиці.

Побудувати графік залежності похибки інтерполяції ∆ від кількості

вузлів інтерполяції (і порядку поліному Лагранжа) n: ∆=f(n), для

кожного значення х_рі;

11. Сформулювати висновки по роботі.

 

Результати виконання кожного пункту завдання докладно описати у звіті по роботі.

 

Таблиця 6.1. Варіанти завдань до заняття № 6

Варіант	Функція	Варіант	Функція

Заняття № 7