Розробка програми чисельного інтегрування функцій методом трапецій

 

Мета роботи: Закріплення знань із застосування методів чисельного

інтегрування функцій, розробка відповідного алгоритму і програми на мові Pascal і застосування її для розв’язання індивідуального завдання.

Теоретичні відомості

У загальному випадку звичайний визначений інтеграл безперервної функції на відрізку [ a, b ] можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца:

, (7.1)

де - першообразна функції , F’(x) = .

Він дорівнює площі фігури, обмеженої прямими x = a та x = b, віссю

абсцис Х і кривою підінтегральної функції :

f

 

 

 

I

 

 

0 x₀=a x_n=b x

 

Чисельне інтегрування застосовується, коли визначення функції F(x) неможливе, або воно дуже складне, коли функція задана таблично. При цьому на відрізку [ a, b ] інтерполюється функцією (поліномом) простої структури φ(х), для якої визначений інтеграл обчислюється безпосередньо за простими формулами.

Тоді приблизно приймається, що .

Суть методів чисельного інтегрування полягає в тому, що інтервал інтегрування [ a, b ] розбивається на n менших відрізків, на кожному з яких підінтегральна крива приблизно замінюється простішою функцією (наприклад лінійною). Відповідно, площа фігури під кривою розбивається на n простих геометричних фігур(прямокутників, трапецій тощо), сума площ яких приблизно дорівнює площі фігури під кривою і, відповідно, величині інтегралу І.

 

Формула трапецій

Виконується лінійна апроксимація функції на інтервалі [ a, b ]. Інтервал інтегрування розбивається на n рівних відрізків:

(7.2)

Кожний відрізок обмежується рівновіддаленими точками х_i значення підінтегральної функції в яких задані, або їх можна обчислити.

Крива у = на малому відрізку (х_і – х_і+1) замінюється прямою ВС.

c y=f(x) При малому h площа під кривою

B E приблизно дорівнює площі

трапеції ABCD: y_i y_i+1

A D

x_i x_i+1

h

Наближене значення інтегралу І дорівнює сумі площ n таких елементарних трапецій:

Наближене значення інтегралу І дорівнює сумі площ n таких елементарних трапецій:

0 (7.3)

Тут h – крок інтегрування, визначається за формулою (7.2);

­ - значення підінтегральної функції в точках .

Геометрично формула трапецій (7.3) відповідає заміні графіка підінтегральної функції y= ламаною лінією.

Точність результату збільшується при збільшенні кількості відрізків розбиття n.

Приклад обчислення інтегралу за формулою трапецій

 

Підінтегральна функція ; a=0; b=1.

Розбиваємо інтервал інтегрування на n =10 відрізків:

Обчислюємо значення підінтегральної функції в точках розбиття х_і, і =0,…,10:

і
xi		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
yi		1.0954	1.1832	1.2649	1.3416	1.4142	1.4832	1.5492	1.6125	1.6733	1.7321

 

Обчислюємо наближене значення інтегралу за формулою трапецій:

Точне значення інтегралу дорівнює 1.3987. Похибка інтегрування складає 0.021%.

Алгоритмічна та програмна реалізація методу трапецій

 

Var A,B,X,Y,I,H: real;

i,n: integer;

Begin

<Введення вихідних данних>

H:=(B-A)/n;

I:=sqrt(1+2*A)+sqrt(1+2*B);

X:=A;

For i:=1 to n-1 do

Begin

X:=X+H;

Y:=sqrt(1+2*X);

I:=I+2*Y;

End;

I:=I*H/2;

<Виведення результатів>

…

Примітки:

1. В програмі реалізоване обчислення інтегралу, що розглянутий у прикладі;

2. Якщо функція задана таблично, то необхідно передбачити введення масиву з ординатами точок.

 

 

Порядок виконання роботи

1. Вибрати індивідуальне завдання. Номер варіанту у таблиці 7.1. відповідає номеру студента в списку групи;

2. Ознайомитись із теоретичним матеріалом з питань чисельного інтегрування функцій;

3. Обчислити наближене значення заданого інтегралу методом трапецій при n =10;

4. Скласти докладний алгоритм чисельного інтегрування функцій методом трапецій;

5. Скласти і відлагодити програму на мові Pascal, яка реалізує:

- введення вихідних даних;

- обчислення значень підінтегральної функції у визначених точках;

- обчислення заданого інтегралу методом трапецій;

- виведення результатів у зручній формі.

Основні фрагменти програми оформити як процедури і функції;

6. Описати розроблений алгоритм і програму (змінні, масиви, процедури і функції, особливості реалізації тощо);

7. З використанням розробленої програми обчислити заданий інтеграл при n =10. Порівняти отримані результати з результатами ручних розрахунків (п.3);

8. Обчислити значення заданого інтегралу при n =20, 30, 40, …, 100. Результати показати у вигляді таблиці на екрані і в файлі;

9. Сформулювати висновки по роботі.

 

Результати виконання кожного пункту завдання докладно описати у звіті по роботі.

 

Таблиця 7.1. Варіанти завдань до занять №7 і №8

Варі- ант	Підінтегральна функція	a	b	Варі-ант	Підінтегральна функція	a	b
	x+sin x­­^2				Ошибка! Невозможно создать объект из кодов полей редактирования.
	Cos πx - 2x		0.9		(1+x)/(1+x^2)
	Cos(1+x)^2	0.1	0.9		1 + (2+sin^2x)
					(1+x^3)
							0.9
						0.1	0.8
						0.1	0.8
			0.9			0.1
		0.1	0.8
							1.1
						0.2	0.8
		0.1	0.9				0.5

Заняття № 8

Розробка програми