Чисельного розв’язання звичайних диференційних рівнянь (ЗДР)

методом Ейлера

Мета роботи: Закріплення знань із застосування чисельних методів розв’язання ЗДР і використання для цього методів Ейлера, розробка відповідного алгоритму і програми на мові Pascal, застосування її для розв’язання заданого диференційного рівняння.

Теоретичні відомості

Диференційним називається рівняння, яке зв’язує незалежну змінну , функцію і її похідні :

(10.1)

Порядок рівняння визначається найвищою похідною у його складі. Якщо функція є функцією однієї змінної, то диференційне рівняння називається звичайним.

У роботі розглядаємо звичайні диференційні рівняння першого порядку:

(10.2)

або , якщо його можна розв’язати відносно похідної.

Розв’язком, або інтегралом диференційного рівняння називається будь-яка функція , обертає його на тотожність.

Загальним розв’язком диференційного рівняння першого порядку називається функція:

, (10.3)

яка залежить від однієї довільної постійної величини і задовольняє таким умовам:

1. Вона є розв’язком диференційного рівняння при будь-якому конкретному значенні ;

2. При будь-якій початковій умові функція повинна дорівнювати заданому , тобто можна знайти таке значення , при якому функція буде задовольняти заданій початковій умові.

Графічно, загальному розв’язку ЗДР відповідає сімейство кривих, що описується рівнянням (10.3) при різних значеннях (інтегральні криві).

Частковим розв’язком називається функція , яку отримаємо із загального розв’язку при вибраному відповідно до заданих початкових умов , значенні . Йому відповідає одна із інтегральних кривих, яка проходить через задану точку початкових умов ().

Розв’язати (проінтегрувати) диференційне рівняння означає визначити його частковий розв’язок, що відповідає заданим початковим умовам. Розв’язок отримаємо у вигляді функції , яка при розв’язанні ЗДР чисельними методами подається у табличній формі, тобто як система точок .

Чисельні методи розв’язання ЗДР застосовуються тоді, коли коефіцієнти і функції в рівнянні занадто складні або задані у табличній формі, що унеможливлює розв’язання таких рівнянь класичними аналітичними методами.

Одним із широких класів чисельних методів розв’язання диференційних рівнянь є методи Рунге-Кутта. Це одноступеневі методи, в яких для обчислення значення функції в точці достатньо даних тільки про попередню точку . Ці методи не потребують обчислень похідних від - достатньо обчислень самої функції.

В даній роботі використовуємо деякі із методів цього класу - метод Ейлера, виправлений метод Ейлера і модифікований метод Ейлера.

 

Методи Ейлера для чисельного розв’язання ЗДР

Треба визначити наближений розв’язок рівняння

(10.4)

на відрізку при заданих початкових умовах: при . Ним буде функція , значення якої у точках обчислюємо одним із чисельних методів.

Ділимо відрізок точками на рівних частин. Їх величина (крок) дорівнює:

. (10.5)

Тоді і, відповідно,

 

Відповідно до методу Ейлера наближені значення функції в точках обчислюються за формулою:

(10.6)

Тут (х_к, у_к) - значення функції (10.4) в точці

Метод має велику похибку і часто виявляється нестійким.

 

У виправленому методі Ейлера (метод трапецій) для обчислення значень функції використовується формула:

(10.7)

де

 

Модифікований метод Ейлера дозволяє обчислити значення за формулою:

(10.8)

де

 

Метод Ейлера відноситься до методів Рунге-Кутта першого порядку, виправлений і модифікований методи Ейлера - до методів Рунге-Кутта другого порядку. Порядок методу визначається порядком у розкладенні функції в ряд Тейлора, з яким узгоджується відповідна формула.

 

Існує загальна форма запису методів Ейлера:

(10.9)

При w =0 отримуємо метод Ейлера (формула (10.6)), w =0.5 - метод трапецій (формула (10.7)), при w =1 - модифікований метод Ейлера (формула 10.8).

Приклад розв’язання диференційного рівняння методами Ейлера

Визначити наближене розв’язання диференційного рівняння 1-го порядку на відрізку [ 0;1 ], яке задовольняє початковим умовам: при

Відповідно до (10.4) в цьому рівнянні права частина:

.

Ділимо відрізок [ 0;1 ] на частин точками . Крок

Для розв’язання рівняння треба обчислити значення функції в точках

Метод Ейлера. Застосовуємо формулу (10.6). Для заданого рівняння вона набуває вигляду:

 

 

Результати обчислень запишемо у таблицю:

Точка
x		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y		1.1	1.22	1.362	1.5282	1.72	1.9431	2.1974	2.4872	2.8159	3.1875

Отримали наближені значення функції у заданих точках. Точним розв’язком є функція . Точне її значення: .

Похибка складає . Збільшення дозволяє отримати точніший результат.

Виправлений метод Ейдера. Застосовуємо формулу (10.7). Вона набуває вигляду:

Результат обчислень запишемо у таблицю:

Точка
x		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y		1.1	1.2421	1.3985	1.5818	1.7949	2.0409	2.3232	2.6456	3.0124	3.4282

Похибка при складає

Модифікований метод Ейлера. Застосовуємо формулу (10.8).

 

Результат обчислень запишемо у таблицю:

Точка
x		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8	0.9	1.0
y		1.1	1.2421	1.3985	1.5818	1.7949	2.0409	2.3232	2.6456	3.0124	3.4282

Отримані результати співпадають з результатами по виправленому методу Ейлера.