Швидкість, це фізична величина , що показує, як змінюється переміщення матеріальної точки за одиницю часу.

Прискорення

Прискоренням називається фiзична величина, що характеризує змiну швидкостi з часом. Розрiзняють прискорення середнє i миттєве.

Середнє прискорення ()— це векторна величина, що визначається вiдношенням змiни швидкостi до промiжку часу , за який ця змiна вiдбулася:

(1.16)

Напрямок вектора збігається з напрямком .

Миттєве прискорення (або просто прискорення) , тобто прискорення в певний момент часу це границя, до якої прямує середнє прискорення при

(1.17)

Використовуючи рівність (1.16) маємо,

(1.18)

Прискорення є векторна величина, що дорівнює похiднiй вектора швидкості за часом. З урахуванням формули (1.16) прискорення можна записати як другу похiдну радіус-вектора за часом:

(1.19)

Як буде показано далi, в загалом вектор спрямований пiд кутом до вектора в бiк угнутостi траєкторiї. На рис. 1.8. вектор вiдповідає прискореному руху, вектор —сповiльненому руху. Оскiльки змiна швидкостi вiдбувається i за модулем i за на напрямком, розрiзняють двi складовi прискорення:

- прискорення (дотичне), яке характеризує змiну швидкості за модулем i спрямоване по дотичнiй до траєкторії;

- нормальне прискорення (доцентрове), яке характеризує змiну швидкості за напрямком i спрямоване по нормалi до траєкторії.

Повне прискорення дорівнює їх векторнiй сумi

(1.20)

Для знаходження цих складових прискорення, пiдставимо вираз для швидкостi в означення (1.18) i зробимо вiдповiдне диференцiювання:

Враховуючи, що , а можна подати у виглядi:

Матимемо вираз:

(1.21)

Можна показати, що

, (1.22)

де - орт нормалі, R – радіус кривизни траєкторії в даній точці.

Остаточно вираз (1.21) набуде вигляду:

(1.23)

Порiвнюючи цей вираз з рiвнянням (1.20) бачимо, що перший член виразу визначає тангенцiальне прискорення

(1.24)

що спрямоване по дотичнiй до траєкторiї в данiй точцi i за модулем дорівнює

. (1.25)

Другий член визначає нормальне прискорення

, (1.26)

що спрямоване по нормалi до траєкторії в данiй точцi (тобто до центру кривизни траєкторiї) i за модулем дорівнює

(1.27)

Як видно з рис.1.9, модуль повного прискорення

(1.28)

Аналогiчно до того, як записувався вектор швидкостi, вектор прискорення теж можна подати через проекцiї на координатнi осi:

(1.29)

(1.30)

Цi проекцiї знаходяться як похiднi за часом:

(1.31)

Обернена задача кiнематики

Обернена задача кiнематики полягає в знаходженнi рiвняння руху за вiдомими характеристиками руху.

Розглянемо, як за вiдомими i можна знайти рiвняння руху в траєкторному виглядi . Запишемо з виразу (1.12) елементарний шлях, пройдений за час :

(1.32)

Щоб знайти весь шлях, пройдений за певний промiжок часу , слід проiнтегрувати цей вираз:

(1.33)

Графiчно цей iнтеграл зображений на рис. 1.10, з якого видно, що шлях чисельно дорiвнює площi фiгури (криволiнiйної трапеції), що обмежена кривою .

Аналогiчно за вiдомим прискоренням можна знайти швидкiсть у довiльний момент часу :

(1.34)

Якщо в початковий момент часу , тiло мало початкову швидкiсть , то

(1.35)

Застосуємо наведенi вирази для рiвнозмiнного прямолiнiйного руху при . Тодi рiвняння (1.35) перепишеться:

(1.36)

З виразу (1.33) можна одержати:

Остаточно:

(1.37)

Знайшовши з виразу (1.36) i пiдставивши його у вираз (1.37), можна одержати рiвняння, яке часто зручно використовувати в задачах:

(1.38)

Рух матерiальної точки по колу

Пiд час розглядання руху матерiальної точки по колу крім характеристик , якi в даному разi називаються лiнiйними, зручно користуватися так званими кутовими характеристиками руху: кутом повороту, кутовою швидкiстю, кутовим прискоренням.

Кут повороту

Положення матерiальної точки пiд час руху по колу можна визначити кутом повороту . Як видно з рис. 1.11,а, кут повороту з центральним кутом, який вiдповiдає дузi , описанiй матерiальною точкою за час . Вимiрюється кут повороту в радiанах (рад) i є скалярною величиною. Один оберт точки по колу дорiвнює 2 , а при N обертах:

(1.39)

Із геометрiї вiдомий зв’язок мiж довжиною дуги та кутом повороту:

(1.40)

де R— радiус кола. Для малих промiжкiв часу цей вираз матиме вигляд:

(1.41)

де - елементарний кут повороту. Для того, щоб показати i напрямок руху точки по колу, домовились елементарний кут повороту показувати як вектор , що вiдкладається вздовж осi обертання. Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта: вектор елементарного кута повороту збiгається за напрямком з поступальним рухом гвинта, ручка якого обертається в напрямку руху точки по колу (рис. 1.11,а). Такi „штучні” вектори називаються псевдовекторами.

Кутова швидкiсть

Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.2, розрiзняють середню і миттєву кутові швидкостi. Середня кутова швидкiсть () визначається вiдношенням кута повороту до вiдповiдного промiжку часу :

(1.42)

Для миттєвої кутової швидкостi (або просто кутової швидкості) можна записати:

(1.43)

тобто чисельно вона дорiвнює похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутова швидкiсть у радiанах за секунду (рад/с). Вона теж є псевдовектором, що напрямлений вздовж осi обертання, вiдповiдно до правила гвинта (рис. 1.11). Тому можна записати у векторному виглядi:

(1.44)

Якщо з часом кутова швидкiсть не змiнюється, тобто , рух по колу називається рiвномiрним, для нього

(1. 45)

У цьому разі називають циклічною частотою обертання. Час, за який матерiальна точка проходить один оберт по колу, називається перiодом обертання Т, який вимiрюється в секундах. Вираз (1.45) дає:

(1.46)

звідки

Величина, обернена до перiоду, називається частотою обертання :

(1.47)

Вона показує, скiльки обертiв по колу робить точка за одиницю часу i вимiрюється в секунду мінус першій ступені (с^-1) або в герцах (Гц). Зв’язок мiж частотою i кутовою частотою має такий вигляд:

(1.48)

Кутове прискорення

Кутове прискорення характеризує змiну кутової швидкостi за часом. Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.3, розрiзняють середнє i миттєве кутове прискорення.

Середнє кутове прискорення () визначається вiдношенням змiни кутової швидкостi до вiдповiдного промiжку часу:

(1.49)

Для миттєвого кутового прискорення (або просто кутового прискорення) можна записати:

(1.50)

Тобто воно чисельно дорiвнює першiй похiднiй кутової швидкості за часом або другiй похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутове прискорення в радiанах на секунду в квадратi (рад/с²). Воно також є псевдовектором, спрямованим по осi обертання

(1.51)

На рис.1.11, в напрямок вiдповiдає прискореному руху по колу, напрямок — сповiльненому руху по колу.

Знайдемо зв’язок мiж лiнiйними i кутовими характеристиками руху.

1. Зв’язок мiж лiнiйною i кутовою швидкiстю:

тобто

(1.52)

2. Зв’язок мiж тангенцiальним i кутовим прискоренням:

тобто

(1.53)

3. Зв’язок між нормальним прискоренням і кутовою швидкістю:

тобто

(1.54)

Для розв’язання оберненої задачi під час руху точки по колу використовують вирази аналогiчнi виразам (1.33) та (1.35):

(1.55)

(1. 56)

Тодi для рiвнозмiнного руху по колу вiдповiднi математичнi перетворення дадуть вирази аналогiчнi виразам (1.36), (1.37),(1.38):

(1.57)

(1.58)

(1.59)

де — початкова кутова швидкiсть у момент часу t =0, — кутова швидкiсть у момент часу t.