Основне рiвняння динаміки обертального руху абсолютно твердого тiла

Розглянемо обертання АТТ навколо нерухомої точки О (нехай вона збiгається з центром мас) пiд дiєю зовнiшнiх сил . Вiдповідно до виразу (2.39) його момент iмпульсу

Продиференціюємо за часом цей вираз:

Оскiльки вектори та , колiнеарнi, їх векторний добуток дорiвнює нулю. Тодi з урахуванням формули (2.13) останнiй вираз стане:

де — головний момент зовнiшнiх сил, що дiють на АТТ.

Остаточний вираз має вигляд:

(2.42)

i називається основним рiвнянням динамiки обертального руху АТТ вiдносно нерухомої точки О.

Воно свiдчить про те, що похiдна моменту iмпульсу АТТ за часом дорiвнює головному моменту дiючих зовнiшнiх сил. (Моменти і визначаються вiдносно однiєї й тiєї ж точки обертання О). Якщо АТТ обертається навколо нерухомої осi, то рiвняння (2.42) запишеться у вiдповiдних проекцiях i на цю вiсь:

(2.43)

тобто похiдна за часом вiд моменту iмпульсу АТТ вiдносно нерухомої осi обертання дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно цiєї осi.

Рiвняння (2.43) можна записати iнакше, якщо врахувати вирази (2.41) та (1.50), а також те, що момент iнерцiї I = соnst:

тобто

(2.44)

для обертання навколо нерухомої, осi.

Якщо тiло обертається навколо нерухомої точки О, останнiй вираз буде таким:

(2.45)

Цi вирази читаються так: добуток моменту iнерцiї АТТ вiдносно нерухомої точки (або осi) обертання на кутове прискорення дорiвнює головному моменту зовнiшнiх сил вiдносно тiєї ж точки (або осi) обертання.

Неважко побачити, що рiвняння (2.42) i (2.45) нагадують записи другого закону Ньютона для поступального руку (див. рiвняння (2.13) та (2.8)). Тiльки роль маси тут вiдiграє момент iнерцiї, роль сили — момент сили , роль iмпульсу — момент iмпульсу роль лiнійного прискорення — кутове прискорення . Якщо при поступальному русi причиною змiни руху були дiючi сили , то при обертальному русi причиною змiни обертання є момент дiючих сил , причому чим вiн бiльший, тим швидше змінюється обертання.

Робота, потужнiсть, коефiцiєнт корисної дії

Робота

Розглянемо матерiальну точку, що рухається довiльною траєкторiєю L пiд дiєю змiнної сили (рис. 2.10).

Розiб’ємо цю траєкторiю на елементарнi перемiщення так, щоб на кожному такому перемiщеннi дiючу силу можна було б вважати постiйною.

Тодi скалярний добуток сили на перемiщення буде називатись елементарною роботою :

, (2.46)

або

(2.47)

де — кут мiж векторами i .

Оскiльки ,тобто є проекцiєю сили на дотичну до траєкторiї в даному мiсцi, то вираз (2.47) можна записати як

(2.48)

При , тобто кут гострий, то ; 0. Вiдповiдну силу часто називають рушійною силою (наприклад, сила тяги лiтака або ракети).

При , тобто коли кут тупий, -0 i вiдповiдно силу називають гальмуючою силою (наприклад, сила тертя чи опору).

Якщо ж кут = то = 0 i вiдповiдна сила роботи не виконує (наприклад, сила тяжiння при горизонтальному русi потягу або доцентрова сила).

Повна робота сили (F) при перемiщеннi з точки 1 в точку 2 буде визначатися сумою елементарних робiт, для обчислення якої слід проiнтегрувати вираз (2.47) або (2.48):

(2.49)

Якщо тiло рухається прямолiнiйно пiд дiєю постiйної сили (тобто F = соnst, соs = соnst), то в цьому частинному випадку, враховуючи, що dr = dS, з виразу (2.49) отримуємо:

тобто

(2.50)

Одиницею роботи в системi СІ є джоуль (Дж). 1Дж=1Н×м. Роботу сили можна знайти графiчно, якщо відомо її залежнiсть вiд перемiщення (рис.2.11). Добуток на , (див. рис. 2.11), що визначає елементарну роботу , є площиною прямокутника з основою i висотою . Тодi повна робота, як сума таких прямокутникiв, чисельно дорiвнює всiй площi заштрихованої криволiнiйної трапеції, тобто площi пiд графiком функцiї . Такий пiдхiд часто математично спрощує обчислення роботи.

Для прикладу знайдемо роботу зовнiшньої сили, що розтягує пружину (рис.2.12,а). За третiм законом Ньютона ця сила дорiвнює силi пружностi = , але протилежна їй за напрямком: , тому

(2.51)

 

Графiк цiєї сили подано на рис. (2.12,б). Робота зовнiшньої сили є додатною i чисельно дорiвнює площi заштрихованого трикутника

Цей же вираз можна одержати з виразу (2.49), пiдставивши вираз (2.51):

(2.52)

Розглянемо роботу у разi обертального руху. Нехай до АТТ прикладено дотичну силу , пiд дiєю якої воно повернулося на малий кут (рис. 2.13). При цьому точка прикладання сили перемiстилася на . Як вiдомо, переміщення можна визначити через радiус R та кут : R . Як видно з рис. 2.13, R = l, де l — плече сили . Тодi вiдповiдно до виразу (2.48.) елементарна робота дорiвнюватиме:

Оскільки F_tl=M, то

(2.53)

тобто елементарна робота при поворотi тiла на елементарний кут чисельно дорiвнює добутку моменту дiючої сили на цей кут. Якщо ж тiло повернулося на певний кут вiд положення до положення , то повну роботу в обертальному русi знайдемо шляхом iнтегрування виразу (2.53):

(2.54)

Зокрема, коли момент дiючої сили є постiйною величиною (М =соnst) з виразу (2.54) маємо, що

(2.55)

Потужнiсть

У поняттi роботи час не вiдiграє нiякої ролi. Однак у технiцi дуже суттєво, який час необхiдно витратити на виконання певної роботи. Вiдомссті про це дає потужнiсть.

Середньою потужнiстю (N) називається фiзична величина, що визначається вiдношенням всiєї виконаної роботи А до часу , за який ця робота була виконана:

(2.56)

Миттєва потужнiсть (або просто потужнiсть) визначається вiдношенням елементарної роботи до промiжку часу , за який вона виконана:

(2.57)

Одиницею вимiрювання потужностi в системi СІ є ват (Вт) 1Вт=1Дж/с.

Пiдставляючи у вираз (2.57) вирази для роботи (2.46) i (2.53), одержимо вирази для миттєвої потужностi:

— поступального руху

(2.58)

де дiюча сила, — миттєва швидкiсть тiла;

— обертального руху

(2.59)

де М — момент дiючої сили, — миттєва кутова швидкiсть обертання АТТ.

Коефiцiєнт корисної дії

Характеристикою ефективностi використання технiчного пристрою є його коефiцiєнт корисної дії (ККД).

Залежно вiд конкретної задачi, ККД () визначається через рiзні фiзичні величини, але завжди як вiдношення “корисних результатів” до “витрат”. У механiцi це може бути записано так:

, (2.60)

де А_кор, N_кор. - корисні робота і потужність; А_витр. N_витр -. витрачені робота і потужність.

У реальності в будь-якому процесі присутні тертя, опір та ін., тому завжди А_кор. - А_витр, N_кор. - N_витр і ή-1.

ККД виражають у десяткових дробах або у вiдсотках. Наприклад, для авiацiйних двигунiв звичайний ККД — 0,4—0,5 (або 40— 50%), для бортових електрогенераторiв — 0,9—0,95 (або 90—95%).

Енергiя. Механiчна енергiя

Енергiя — це загальна кiлькiсна мiра руху i взаємодiї всiх видiв матерії. Вiдповiдно до рiзних форм руху i взаємодiї матерiї розглядають рiзнi види енергії: механiчну, внутрiшню, електричну, ядерну та iн. Вiдповiдно до уявлень класичної фiзики енергiя будь-якої системи змiнюється безперервно i може набувати різних значень. Одиницею вимiрювання енергiї є джоуль (Дж) у системi СІ.

У механiцi розрiзняють два види енергiї — кiнетичну та потенцiальну . Повна механiчна енергiя дорівнює їхній сумі:

— для матерiальної точки

(2.61)

— для механiчної системи

, (2.62)

де та вiдповiдно кiнетична i потенцiальна енергiя i —го елемента системи. Розглянемо кожний з цих видiв механiчної енергiї.

Кiнетична енергiя

Кiнетичною енергією називається енергiя тiла, що рухається. Визначимо кiнетичну енергiю тiла при поступальному русi. Нехай пiд дiєю сили тiло (матерiальна точка) масою m перемiстилося на , змiнивши при цьому свою швидкiсть на . Тодi кiнетична енергiя тiла змiнилася на . Зрозумiло, що ця змiна кiнетичної енергiї вiдбулася за рахунок виконання силою роботи (вважаємо, що сил опору та тертя немає):

,

Скористаємося виразом для елементарної роботи (2.49), другим законом Ньютона (2.8) та виразом для тангенцiального прискорення (1.25):

,

Оскільки , а , то .

Якщо тiло починає рухатись iз стану спокою, тобто змінює свою швидкість вiд 0 до υ, воно набуде кiнетичну енергiю

.

Отже, кiнетична енергiя тiла (матерiальної точки) при поступальному русi дорiвнює:

(2.63)

Враховуючи, що iмпульс р = mυ, вираз (2.63) можна записати iнакше, помноживши i поділивши праву частину на m:

. (2.64)

Кінетична енергiя системи тiл (матерiальних точок) дорiвнює сумi кiнетичних енергiй окремих елементiв системи тобто є величиною адитивною.

(2.65)

Кiнетична енергiя є величиною вiдносною, i, як i швидкість, залежить вiд системи вiдлiку.

Знайдемо вираз для кiнетичної енергії АТТ, що обертається, як уже робилося ранiше, роздiлемо умовно АТТ на малi елементи m_i, для кожного з яких кiнетична енергiя за формулою (2.63) дорiвнюватиме

.

Враховуючи вираз (2.65), а також рiвняння (1.60), запишемо для всього АТТ:

Оскільки є моментом iнерції I всього тiла, остаточно будемо мати для кiнетичної енергії обертального руху АТТ

(2.66)

Якщо швидкiсть тiла пiд дiєю сили змiнюється при поступальному русi вiд до то виконана при цьому робота сили дорiвнює змiнi кiнетичної енергiї тiла:

(2.67)

Аналогiчне вiдбувається при обертальному русi, коли кутова швидкiсть АТТ змiнюється вiд до :

(2.68)

Зрозумiло, що додатня робота приводить до збiльшення кiнетичної енергiї тiла, а вiд’ємна робота — до зменшення кiнетичної енергiї

Потенцiальна енергiї

Потенцiальною енергiєю називається енергiя взаємодії тiл (або їх частин), що залежить вiд їх взаємного розташування.

Загалом взаємодiя мiж тiлами вiдбувається або при безпосередньому контактi, або на вiдстанi, за рахунок сил поля. Сили за їх властивостями можна подiлити на два класи. Для сил одного класу робота при перемiщеннi тiла мiж двома точками не залежить вiд траєкторiї руху, а для сил другого класу — залежить вiд траєкторiї руху тiла.

Сили, робота яких не залежить вiд форми траєкторiї руху тiла i визначається тільки початковою i кiнцевою точками траєкторiї, називаються консервативними (наприклад гравiтацiйна сила, електростатична сила). Саме цi сили можна описати за допомогою потенцiальної енергii.

Сили, робота яких залежить вiд траєкторiї руху тiла, називаються неконсервативними (наприклад, сили тертя). Для цих сил не iснує поняття потенцiальної енергiї.

Область простору, в якiй дiють сили, називається полем сил (або просто полем). Поля, в яких дiють консервативнi сили, називаються потенцiальними полями. Тiло, що перебуває в потенцiальному полi, має потенцiальну енергiю .

За означенням, потенцiальна енергiя тiла в даному його положеннi чисельно дорiвнює роботi, яку виконують дiючi на тiло консервативнi сили при перемiщеннi його з цього положення в те, де потенцiальна енергiя умовно приймається рiвною нулю. З цього означення можна зробити два висновки.

По-перше, робота консервативних сил, що дiють на тiло в потенцiальному полi, дорiвнює зменшенню потенцiальної енергiї тiла. Дiйсно, оскільки пiд дiєю консервативних сил тiло перемiщується з точки з бiльшою потенцiальною енергiєю в точку з меншою потенцiальною енергiєю - (поки воно не перемiститься в точку, де = 0), то

(2.69)

По-друге, значення потенцiальна енергiя залежить вiд того, яке положення тiла умовно взяте за нуль (вибiр нульового рiвня потенцiальної енергiї називається нормуванням потенцiальної енергії). Причому в разi замiни одного нульового рiвня на iнший потенцiальна енергiя змiнюється на сталу величину. Наприклад, вiзьмемо за нульове положення тiла в точцi l (рис.2.14,а). Тодi в положенні 2 потенцiальна енергiя тiла дорiвнюватиме . Якщо ж узяти за нульове положення тiла в точцi l ¢, то його потенцiальна енергiя в точцi 2 буде . Оскiльки сили консервативні, то робота вздовж траєкторiї 2- l ¢ дорiвнює роботi вздовж траєкторiї 2 — 1 — l¢, тобто , або

Роботу А, можна позначити як довiльну константу С i записати в загальному виглядi

(2.70)

Таким чином, потенціальна енергiя визначається не однозначно, а з точнiстю до довiльної сталої. Довiльнiсть вибору сталої не впливає на фiзичнi висновки, оскiльки вони характеризуються не абсолютним значенням потенцiальної енергiї, а й змiною, а саме . Зрозумiло, що для зручностi найчастiше покладають С = 0.

Потенцiальна енергiя залежить вiд характеру взаємодiї тiл, тому єдиної формули для неї, як для кiнетичної енергiї, немає. Крiм того, оскiльки початок вiдлiку вибирається довiльно, потенцiальна енергiя може мати вiд’ємнi значення (кiнетична енергiя завжди додатня). Наприклад, якщо за нуль прийняти потенцiальну енергiю тiла, що пребуває на поверхнi Землi, то потенцiальна енергiя тiла, пiднятого на висоту h ₁ буде , а тiло, що перебуває на днi шахти глибиною h ₂, буде .

Запишемо тепер математичний критерiй (тобто ознаку) потенцiальностi поля консервативних сил. Нехай тiло рухалося замкненою траєкторією 1—1 (рис.2.14,б). Оскiльки на нього дiяли консервативнi сили, їх робота в цьому замкненому контуру (позначимо його L) дорiвнює нулю. Математично це записується, з урахуванням рiвняння (2.46), так:

.

У математиці інтеграл вигляду називається циркуляцiєю вектора вздовж замкненого контура L. Отже для поля консервативних сил маємо такий математичний критерiй його потенцiальностi:

, (2.71)

тобто циркуляцiя вектора сили по довiльному замкненому контуру L дорiвнює нулю.