Механiка — роздiл фiзики, в якому вивчається найпростiша форма руху матерії — механiчний рух, тобто змiна положення одних тiл чи частин тiла вiдносно iнших.

ФІЗИКА

Методичні рекомендації до вивчення курсу фізики. “Механіка” модуль І-ІІ.

Для студентів спеціальностей:

6.091902- “Механізація сільського господарства”,

6.010100- “Професійне навчання”,

6.130200- “Технологія виробництва та переробки

продукції тваринництва”,

6.091900-“Енергетика сільськогосподарського виробництва”,

6.130102-“Агрономія”.

 

 

Миколаїв 2006 р.

 

 

Удк

У методичних рекомендаціях викладено повний лекційний курс з дисципліни фізики з розділу “Механіка матеріальної точки та твердого тіла”, а також наведено тестові запитання, що пропонуються використовувати для контролю знань студентів.

 

 

Укладачі:

Старший викладач Вахоніна Л.В.,асистент Краснянський С.В.,старший лаборант Власенко Л.С.

 

 

Рецензенти:

Івашина Ю.К., доц.,к.ф.-м.н., зав. кафедрою “Фізики та методики”, ХДУ.

Горбенко О.А., доц. к.т.н., МДАУ

 

 

Відповідальний за випуск Пастушенко С.І., д.т.н., професор, декан факультету механізації сільського господарства МДАУ

 

Друкується згідно з рішенням методичної ради МДАУ.(протокол № 5 від 1.02.2006р.)

 

Надруковано у видавничому центрі МДАУ. Зам.

Наклад 150 прим.

54010, Миколаїв, вул. Паризької комуни, 9

 

Зміст

Вступ......................................................................................................................
1. Кінематика.........................................................................................................
1.1. Механічний рух. Система відліку.................................................................
1.2. Способи опису руху матеріальної точки. Основна (пряма) задача механіки.................................................................................................................
1.3. Кінематичні характеристики поступального руху матеріальної точки....
1.4. Обернена задача механіки.............................................................................
1.5. Рух матеріальної точки по колу....................................................................
1.6. Основи кінематики руху абсолютно твердого тіла.....................................
2. Динаміка.............................................................................................................
2.1. Динамічні характеристики поступального руху матеріальної точки........
2.2 Закони Ньютона...............................................................................................
2.3. Динамічні характеристики обертального руху абсолютно твердого тіла..........................................................................................................................
2.4. Основне рівняння обертального руху..........................................................
2.5. Робота. Потужність. Коефіцієнт корисної дії..............................................
2.6. Енергія. Механічна енергія............................................................................
2.7 Кінетична енергія............................................................................................
2.8. Потенціальна енергія......................................................................................
2.9. Неінерціальні системи відліку......................................................................
2.10. Сили інерції в системах, що обертаються..................................................
3. Закони збереження............................................................................................
3.1. Закони збереження в механіці.......................................................................
3.2. Закон збереження симетрії та часу...............................................................
3.3. Реактивний рух...............................................................................................
3.4. Удар.................................................................................................................
4. Елементи спеціальної теорії відносності........................................................
4.1. Перетворення Галілея....................................................................................
4.2. Постулати спеціальної теорії відносності....................................................
4.3 Перетворення Лоренцо та їх наслідки...........................................................
4.4. Поняття про релятивістську динаміку..........................................................
4.5. Основне рівняння релятивістської динаміки...............................................
4.6. Кінетична енергія релятивістської частинки...............................................
4.7. Взаємозв’язок маси та енергії.......................................................................
5. Тестові запитання для перевірки теоретичного матеріалу з курсу фізики

 

Вступ

Механiка — роздiл фiзики, в якому вивчається найпростiша форма руху матерії — механiчний рух, тобто змiна положення одних тiл чи частин тiла вiдносно iнших.

Слово “ механiка ” в перекладi з грецької мови означає мистецтво створювати машини. Це одна з найстародавнiших наук, розвиток якої нерозривно пов’язаний з практичною дiяльнiстю людини. Авторами перших трактатiв з механiки були Арiстотель (IV ст. до н.е.) та Архімед (III ст. до н.е.). Подальшого розвитку ця наука отримала в працях Леонардо да Вiнчi, Галiлео Галiлея та iн. Завершилося створення основ механiки нарисом І.Ньютона „Математичнi початки натуральної філософії” (1687 р.).

З подальшим розвитком фiзики з’ясувалося, що залежно вiд швидкостi руху і масштабiв тiл підходи до вивчення механiчних закономiрностей можуть бути зовсiм рiзними. Тому на сучасному етапi розрiзняють три напрямки механiки: класичну механiку (або механiку Ньютона), релятивiстську механiку (або теорiю вiдносностi Енштейна) та квантову механiку. Всi вони вивчають механiчний рух тiл, але мають певнi межi застосування. Рух макроскопiчних тiл iз швидкостями, невеликими порiвнянно з швидкiстю свiтла, вивчає класична механiка; рух тiл, швидкостi яких близькi до швидкостi свiтла, розглядає релятивiстська механiка; вивченню руху мiкрочастинок присвячена квантова механiка.

У даному випуску розглядаються класична та релятивiстська механiки. Для описування механiчних явищ i встановлення законiв механiки зручно користуватися iдеалiзованими моделями реальних тiл: матерiальною точкою i абсолютно твердим тiлом.

Матеріальною точкою (МТ) називають тiло, геометричними розмiрами якого в умовах конкретної задачi можна знехтувати.

Абсолютно твердим тiлом (АТТ) називають тiло, у якого вiдстань мiж будь-якими двома точками нiколи не змiнюється. Іншими словами, це тіло, деформацією якого можна знехтувати.

Основна задача механіки- визначення положення тіла в будь який момент часу.

 

КIНЕМАТИКА

Кiнематика — роздiл механiки, в якому вивчається рух тiл, не встановлюючи причин, що викликали цей рух. Сам термiн походить вiд грецького слова „кiнета”, що означає рух. За законами i залежностями, встановленими в кiнематицi, визначаються параметри польоту лiтальних апаратiв, виконуються розрахунки передач рухiв у рiзних авiацiйних механiзмах та iн.

1.1. Механiчний рух. Система вiдлiку

Механiчним рухом називається змiна положення тiла в просторi вiдносно iнших тiл. Це все свідчить, що механiчний рух є вiдносним. Дiйсно, будь-яке тiло може бути нерухомим вiдносно одних тiл i рухається вiдносно iнших. Разом з тим цей рух є абсолютним, оскiльки завжди можна вказати, таке тiло, вiдносно якого дане „нерухоме” тiло рухається, тобто абсолютно нерухомих тiл в природi не iснує. Отже, починаючи дослiджувати рух якогось тiла, слід визначити, вiдносно якого iншого тiла вiн буде розглядатися. Тiло, вiдносно якого розглядається рух, називається тiлом вiдлiку. Для математичного описування руху з тiлом вiдлiку необхiдно зв’язати систему координат. Як вiдомо, iснує багато рiзних систем координат (полярна, цилiндрична, сферична та iн.). Найбiльш поширеною є прямокутна декартова система координат.

Слiд звернути увагу, що iснують два види декартових систем:

права (рис. 1.1) та лiва (рис.1.2), якi розрiзняють за допомогою правила гвинта: якщо обертати ручку гвинта вiд додатнього кiнця осi ОХ до додатнього кiнця осi ОУ, то в правiй системi координат гвинт буде поступально рухатись у додатньому напрямку осi ОZ, а в лiвiй системi — у вiд’ємному напрямку. У фiзицi здебiльшого застосовується права система.

Перемiщення тiл вiдбувається з плином часу, тому для описування руху слід мати також годинник. Тiло вiдлiку, повязана з ним система координат та годинник становлять систему вiдлiку.

1.2. Способи описування руху матерiальноiї точки. Основна (пряма) задача кінематик

Важливо зазначити, що в класичнiй механiцi загальновизначеною є концепцiя простору i часу, розроблена Ньютоном. Вiдповiдно до цiєї концепцiї простiр i час розглядаються як такi, що не пов’язанi нi мiж собою, нi з рухом тiл. Iншими словами, в класичнiй механiцi простiр i час вважаються абсолютними та iснуючими не залежно один вiд одного. Тому i хiд годинникiв (тобто плин часу) не залежить вiд системи вiдлiку i всюди є однаковим.

Розглянемо спочатку рух найпростiшого об’єкту — матерiальної точки. Визначимо деякi поняття, якi використовують пiд час описування цього руху.

Траєкторiя — це уявна лiнiя, вздовж якої рухається матеріальна точка (рис. 1.3).

Шлях (∆S або S) — це довжина траєкторiї (рис. 1.3). Шлях — величина скалярна, в системi СІ вимiрюється в метрах (м).

Перемiщення ∆r — це найкоротша вiдстань мiж початковою i кiнцевою точками траєкторїi (рис. 1.4). Перемiщення — величина векторна, має напрямок вiд початковоїi до кiнцевої точки траєкторiї; в системi СІ вимiрюється в метрах.

У декартовiй системi координат положення матерiальної точки М може бути задане не тiльки трьома координатами (х, у, z), а й за допомогою радiуса-вектора. Радiус — вектором точки називається вектор, який проведено з початку координат у дану точку (рис. 1.5).

Радiус-вектор може бути записаний через його проекцiї на вiдповiднi координатнi осi:

(1.1)

та за модулем:

, (1.2)

де - одиничні вектори (орти) відповідних осей координат:

де

Оскільки формули (1.1) і (1.2) можуть бути записані ще й так:

, (1.3)

 

. (1.4)

У фізиці прийнято модуль будь-якого вектора позначати а.

Зрозумiло, що пiд час руху матерiальної точки‚ її радіус-вектор, шлях та координати з часом змiнюються. Вiдповiдно до цього в кiнематицi використовуються три способи описування руху:

— векторний, коли вiдоме рiвняння залежностi радіус-вектора точки вiд часу:

(1.5)

— траєкторний, коли вiдоме рiвняння руху точки вздовж траєкторії:

(1.6)

— координатний, коли вiдомi рiвняння руху точки в декартових координатах:

х = х(t), у =у(t), z=z(t). (1.7)

Рiвняння (1.5), (1.6), (1.7) називаються кінематичними рiвняннями руху.

Основна (пряма) задача кiнематики полягає в тому, щоб за кiнематичними рiвняннями руху знайти положення матеріальної точки в просторi i кiнематичнi характеристики руху в будь-який момент часу.

1.3. Кiнематичнi характеристики поступального руху матерiальної точки

До кiнематичних характеристик поступального руху вiдносяться: перемiщення, швидкiсть та прискорення.

Перемiщення

Нехай у момент часу t матерiальна точка пребувала в положеннi 1, а за деякий промiжок часу ∆t — в положеннi 2 (рис. 1.6,а).

Проведемо радiус-вектори і в точки 1 i 2. Тодi вектор перемiщення визначиться як

(1.8)

тобто вектор перемiщення являє собою змiну (прирiст) радіуса-вектора за часом. З урахуванням (1.3) вектор ∆ r можна записати через прирiст координат матерiальної точки (∆х, ∆у, ∆z) за час ∆t:

(1.9)

а його модуль як

(1.10)

Як видно з рис. (1.6,б) вектор перемiщення збiгається з хордою, що стягує вiдповiдну дiлянку траєкторії. Тому завжди, крiм прямолiнiйного руху, модуль вектора перемiщення менший, нiж шлях, пройдений за той же промiжок часу:

(1.11)

Тепер будемо зменшувати промiжок часу ∆t до достатньо малого значення, яке назвемо елементарним i позначимо dt. При цьому вiдбудеться також мале перемiщення, яке називатиметься відповiдно елементарним перемiщенням d i матерiальна точка пройде досить малий, тобто елементарний шлях d S. Ясно, що iз зменшенням ∆t значення ∆r буде все бiльше наближатися до ∆S. Тобто при () можна вважати, що

dr = dS (1.12)

За напрямком d буде спрямовано по дотичній до траєкторiї в бiк руху матерiальної точки. Позначимо орт дотичної , тодi у векторному виглядi можна записати (при ):

Швидкість

Розрiзняють швидкiсть середню i миттєву. Середньою швидкiстю перемiщення () за промiжок часу ∆t називається векторна величина, що дорiвнює вiдношенню вектора перемiщення до цього промiжку часу:

(1.13)

Вектор спрямований так, як i вектор (рис. 1.7,а).

Будемо нескiнченно зменшувати промiжок часу, направляючи його до нуля (). Показано, що при цьому, починаючи з деяких значень ∆t, вiдношення перестає змiнюватися. Тобто iснує певна границя, до якої прямує вiдношення при .

Ця границя i визначає швидкiсть руху в даному мiсцi траєкторiї в даний момент часу, тобто миттєву швидкiсть (при цьому точки 1 i 2 на рис. 1.7,а будуть нескiнченно наближатися одна до одної).

(1.14)

Враховуючи (1.12) одержимо:

(1.15)

Прискорення

Прискоренням називається фiзична величина, що характеризує змiну швидкостi з часом. Розрiзняють прискорення середнє i миттєве.

Середнє прискорення ()— це векторна величина, що визначається вiдношенням змiни швидкостi до промiжку часу , за який ця змiна вiдбулася:

(1.16)

Напрямок вектора збігається з напрямком .

Миттєве прискорення (або просто прискорення) , тобто прискорення в певний момент часу це границя, до якої прямує середнє прискорення при

(1.17)

Використовуючи рівність (1.16) маємо,

(1.18)

Прискорення є векторна величина, що дорівнює похiднiй вектора швидкості за часом. З урахуванням формули (1.16) прискорення можна записати як другу похiдну радіус-вектора за часом:

(1.19)

Як буде показано далi, в загалом вектор спрямований пiд кутом до вектора в бiк угнутостi траєкторiї. На рис. 1.8. вектор вiдповідає прискореному руху, вектор —сповiльненому руху. Оскiльки змiна швидкостi вiдбувається i за модулем i за на напрямком, розрiзняють двi складовi прискорення:

- прискорення (дотичне), яке характеризує змiну швидкості за модулем i спрямоване по дотичнiй до траєкторії;

- нормальне прискорення (доцентрове), яке характеризує змiну швидкості за напрямком i спрямоване по нормалi до траєкторії.

Повне прискорення дорівнює їх векторнiй сумi

(1.20)

Для знаходження цих складових прискорення, пiдставимо вираз для швидкостi в означення (1.18) i зробимо вiдповiдне диференцiювання:

Враховуючи, що , а можна подати у виглядi:

Матимемо вираз:

(1.21)

Можна показати, що

, (1.22)

де - орт нормалі, R – радіус кривизни траєкторії в даній точці.

Остаточно вираз (1.21) набуде вигляду:

(1.23)

Порiвнюючи цей вираз з рiвнянням (1.20) бачимо, що перший член виразу визначає тангенцiальне прискорення

(1.24)

що спрямоване по дотичнiй до траєкторiї в данiй точцi i за модулем дорівнює

. (1.25)

Другий член визначає нормальне прискорення

, (1.26)

що спрямоване по нормалi до траєкторії в данiй точцi (тобто до центру кривизни траєкторiї) i за модулем дорівнює

(1.27)

Як видно з рис.1.9, модуль повного прискорення

(1.28)

Аналогiчно до того, як записувався вектор швидкостi, вектор прискорення теж можна подати через проекцiї на координатнi осi:

(1.29)

(1.30)

Цi проекцiї знаходяться як похiднi за часом:

(1.31)

Обернена задача кiнематики

Обернена задача кiнематики полягає в знаходженнi рiвняння руху за вiдомими характеристиками руху.

Розглянемо, як за вiдомими i можна знайти рiвняння руху в траєкторному виглядi . Запишемо з виразу (1.12) елементарний шлях, пройдений за час :

(1.32)

Щоб знайти весь шлях, пройдений за певний промiжок часу , слід проiнтегрувати цей вираз:

(1.33)

Графiчно цей iнтеграл зображений на рис. 1.10, з якого видно, що шлях чисельно дорiвнює площi фiгури (криволiнiйної трапеції), що обмежена кривою .

Аналогiчно за вiдомим прискоренням можна знайти швидкiсть у довiльний момент часу :

(1.34)

Якщо в початковий момент часу , тiло мало початкову швидкiсть , то

(1.35)

Застосуємо наведенi вирази для рiвнозмiнного прямолiнiйного руху при . Тодi рiвняння (1.35) перепишеться:

(1.36)

З виразу (1.33) можна одержати:

Остаточно:

(1.37)

Знайшовши з виразу (1.36) i пiдставивши його у вираз (1.37), можна одержати рiвняння, яке часто зручно використовувати в задачах:

(1.38)

Кут повороту

Положення матерiальної точки пiд час руху по колу можна визначити кутом повороту . Як видно з рис. 1.11,а, кут повороту з центральним кутом, який вiдповiдає дузi , описанiй матерiальною точкою за час . Вимiрюється кут повороту в радiанах (рад) i є скалярною величиною. Один оберт точки по колу дорiвнює 2 , а при N обертах:

(1.39)

Із геометрiї вiдомий зв’язок мiж довжиною дуги та кутом повороту:

(1.40)

де R— радiус кола. Для малих промiжкiв часу цей вираз матиме вигляд:

(1.41)

де - елементарний кут повороту. Для того, щоб показати i напрямок руху точки по колу, домовились елементарний кут повороту показувати як вектор , що вiдкладається вздовж осi обертання. Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта: вектор елементарного кута повороту збiгається за напрямком з поступальним рухом гвинта, ручка якого обертається в напрямку руху точки по колу (рис. 1.11,а). Такi „штучні” вектори називаються псевдовекторами.

Кутова швидкiсть

Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.2, розрiзняють середню і миттєву кутові швидкостi. Середня кутова швидкiсть () визначається вiдношенням кута повороту до вiдповiдного промiжку часу :

(1.42)

Для миттєвої кутової швидкостi (або просто кутової швидкості) можна записати:

(1.43)

тобто чисельно вона дорiвнює похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутова швидкiсть у радiанах за секунду (рад/с). Вона теж є псевдовектором, що напрямлений вздовж осi обертання, вiдповiдно до правила гвинта (рис. 1.11). Тому можна записати у векторному виглядi:

(1.44)

Якщо з часом кутова швидкiсть не змiнюється, тобто , рух по колу називається рiвномiрним, для нього

(1. 45)

У цьому разі називають циклічною частотою обертання. Час, за який матерiальна точка проходить один оберт по колу, називається перiодом обертання Т, який вимiрюється в секундах. Вираз (1.45) дає:

(1.46)

звідки

Величина, обернена до перiоду, називається частотою обертання :

(1.47)

Вона показує, скiльки обертiв по колу робить точка за одиницю часу i вимiрюється в секунду мінус першій ступені (с^-1) або в герцах (Гц). Зв’язок мiж частотою i кутовою частотою має такий вигляд:

(1.48)

Кутове прискорення

Кутове прискорення характеризує змiну кутової швидкостi за часом. Аналогiчно до означень, наведених в п. 1.3.3, розрiзняють середнє i миттєве кутове прискорення.

Середнє кутове прискорення () визначається вiдношенням змiни кутової швидкостi до вiдповiдного промiжку часу:

(1.49)

Для миттєвого кутового прискорення (або просто кутового прискорення) можна записати:

(1.50)

Тобто воно чисельно дорiвнює першiй похiднiй кутової швидкості за часом або другiй похiднiй кута повороту за часом. Вимiрюється кутове прискорення в радiанах на секунду в квадратi (рад/с²). Воно також є псевдовектором, спрямованим по осi обертання

(1.51)

На рис.1.11, в напрямок вiдповiдає прискореному руху по колу, напрямок — сповiльненому руху по колу.

Знайдемо зв’язок мiж лiнiйними i кутовими характеристиками руху.

1. Зв’язок мiж лiнiйною i кутовою швидкiстю:

тобто

(1.52)

2. Зв’язок мiж тангенцiальним i кутовим прискоренням:

тобто

(1.53)

3. Зв’язок між нормальним прискоренням і кутовою швидкістю:

тобто

(1.54)

Для розв’язання оберненої задачi під час руху точки по колу використовують вирази аналогiчнi виразам (1.33) та (1.35):

(1.55)

(1. 56)

Тодi для рiвнозмiнного руху по колу вiдповiднi математичнi перетворення дадуть вирази аналогiчнi виразам (1.36), (1.37),(1.38):

(1.57)

(1.58)

(1.59)

де — початкова кутова швидкiсть у момент часу t =0, — кутова швидкiсть у момент часу t.

 

ДІНАМIКА

Розглянемо основнi закони динамiки — тiєї частини класичної механiки, що вивчає причини виникнення i змiни руху тiл. Для цього, перш за все, слід ввести динамiчнi характеристики руху. Будемо дотримуватися тiєї ж послiдовностi, що i в кiнематицi: спочатку розглянемо поступальний рух, а потiм — обертальний. У кiнцi розділу розглянемо питання пов’язанi з енергiєю i роботою в механiцi.

Маса

Iмпульс

Iмпульсом або кiлькiстю руху тiла в класичнiй механiцi називається величина, що дорiвнює добутку маси тiла на його швидкість

(2.6)

З означення випливає, що напрямок вектора збiгається з напрямком вектора . Одиницею вимiрювання iмпульсу в системi СІ є кiлограм на метр за секунду (кг м/с).

 

Закони Ньютона

Закони Ньютона з узагальненням дослiдних фактiв i виступають у ролi постулатiв класичної механiки. Вони вiдносяться до поступального руху.

Перший закон Ньютона (закон iнерцiї): тiло (матерiальна точка), яке вiльне вiд зовнiшнiх впливiв, рухається прямолiнiйно i рiвномірно або перебуває в станi спокою.

Тiло, вiльне вiд зовнiшнiх впливiв, називається вiльним, а його рух — вiльним рухом або рухом за iнерцiєю.

Зауважимо, що вiльне тiло — фiзична абстракцiя, проте можна створити умови, за яких зовнiшнi впливи компенсують один одного або, по можливостi, усуненi. На практицi це означає, що рiвнодiйна всiх сил, що дiють на тiло, має бути рiвною нулю.

Другий закон Ньютона (основний закон динамiки поступального руху): прискорення тiла (матерiальної точки) прямо пропорцiйне дiючiй на тiло силi, збiгається з нею за напрямком i обернено пропорцiйне масi тiла (матерiальної точки):

(2.7)

Звідси

(2.8)

або, з урахуванням означення прискорення,

(2.9)

Через проекції на осi координат рiвняння (2.9) буде:

(2.10)

Рiвняння (2.10) називаються динамiчними рiвняннями руху тіл (матерiальної точки).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, то кожна з них надає тiлу такого прискорення, ніби iнших сил немає. В цьому полягає принцип незалежностi дiї сил. Результат дiї цих сил аналогiчний результату дiї їх рiвнодiйної:

(2.11)

Запишемо вираз (2.8) в iншiй формi. Врахуємо, що , тоді

(2.12)

Оскiльки , остаточно виходить

(2.13)

тобто швидкiсть змiни iмпульсу тiла (матерiальної точки) дорiвнює дiючiй силi (iнше формулювання другого закону Ньютона).

З останнього рiвняння виходить такий запис:

(2.14)

Добуток називасться імпульсом сили. Отже, рiвняння (2.14) означає, що імпульс сили дорівнює змiнi iмпульсу тіла (матеріальної точки).

Третiй закон Ньютона: два тіла (матерiальнi точки) діють одне на одне з силами, рiвними за модулем i протилежно напрямленими вздовж прямої, що з’єднує ці тіла (матерiальнi точки).

Або, за формулюванням Ньютона: „Дії завжди є рiвна i протилежна протидiя”. Це виражається рівнянням:

(2.15)

Звернемо увагу, що сили i прикладенi до рiзних тiл, тому нiколи не врiвноважують одна одну (тобто рiвнодiйну для них визначати не можна).

Обговоримо наведенi закони докладнiше. Перший закон Ньютона приводить до роздiлення всiх систем вiдлiку на iнерцiальнi та неiнерцiальнi. Справа в тому, що в кiнематицi вибiр системи вiдлiку не був суттєвим i диктувався тiльки математичними зручностями. В динамiцi це питання розглядається iнакше. Дiйсно, якщо в деякiй системi вiдлiку тiло рухається прямолiнiйно i рiвномiрно, то в системi вiдлiку, що сама рухається вiдносно першої системи прискорено, рух цього тiла стає прискореним, хоча не з’явилося нiяких дiючих сил. Це означає, що динамiчне описування одного й того ж руху в рiзних системах вiдлiку здійснюється по-рiзному, i перший закон Ныотона в одних системах вiдлiку виконується, а в iнших — нi. Тому з цієї точки зору всi системи в механiцi подiляються на iнерцiальнi й неiнерцiальнi. Системи вiдлiку, в яких всi вiльнi тiла рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно, називаються iнерцiальними. Системи вiдлiку, що знаходяться в станi спокою або рухаються прямолiнiйно i рiвномiрно вiдносно iнерцiальної системи, теж є iнерцiальними. Системи вiдлiку, якi не задовольняють дані умови, називаються неiнерцiальними. Закони Ньютона виконуються тiльки в iнерцiальних системах.

Прикладом iнерцальної системи вiдлiку може бути гелiоцентрична система, початок якої розмiщено в центрi Сонця, а координатнi осi напрямленi на три вiддаленi зiрки. Система вiдлiку, що зв’язана з Землею (геоцентрична система), є неiнерцiальною, оскiльки Земля обертається навколо власної осi i навколо Сонця. тобто рухається прискорено вiдносно гелiоцентричної системи. Однак часто цi обертання можна вважати повiльними i ними знехтувати, розглядаючи Землю як iнерцiальну систему вiдлiку.

Другий i третiй закони Ньютона дозволяють розглядати рух не тiльки окремих тiл (матерiальних точок), але й механiчних систем. Нагадаємо, що сили, що дiють у механiчнiй системi, подiляються на зовнiшнi та внутрiшнi. Вочевидь, що за третiм законом Ньютона, векторна сума всiх внутрiшнiх сил механiчної системи завжди дорiвнює нулю:

(2.16)

де - сили, з якими взаємодiють попарно i -те та j -те тiла. Тодi для механiчної системи рiвняння (2.13) набуде вигляду:

(2.17)

де — iмпульс системи, що дорiвнює векторнiй сумi імпульсів всiх частин системи:

(2,18)

Таким чином, швидкiсть змiни iмпульсу механiчної системи дорiвнює головному вектору зовнiшнiх сил, що дiють на систему.

Пружна сила — виникає при пружних деформацiях i визначається законом Гука:

(2.19)

де k — коефiцiєнт пружностi, х — деформацiя тiла чи системи. Знак ”-” показує, що пружна сила спрямована протилежно напрямку деформації.

 

Момент сили

Моментом сили . або обертальним моментом вiдносно точки обертання О називається векторний добуток радiус-вектора , проведеного з точки О в точку прикладання сили, на цю силу :

(2.20)

Визначення моменту сили дано так, щоб кутове прискорення i кутова швидкiсть, якi виникають внаслiдок дiї моменту сили, збiгалися за напрямком з цим моментом. Тобто вектор спрямований перпендикулярно площинi розташування векторiв i , вiдповiдно до правила правого гвинта (рис.2.3,а).

Модуль моменту сили дорiвнює:

(2.21)

де — кут мiж векторами i , а — перпендикуляр, проведений з точки О на лiнiю дiї сили , який навивається плечем сили. Одиницею вимiрiв моменту сили є ньютон ×метр (Н м).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, можна знайти суму моментiв цих сил відносно точки обертання О. Ця сума називається головним моментом зовнiшнiх сил вiдносно точки обертання О:

(2.22)

Моментом сили вiдносно осi обертання z називають проекцiю вектора вiдносно точки обертання О<