Динамiчнi характеристики обертального руху абсолютно твердого тiла (АТТ)

З’ясуємо особливостi обертального руху АТТ з динамiчноiї точки зору, розглядаючи такий дослiд. Вiзьмемо тiло у виглядi хрестовини, яке закрiплене на горизонтальнiй осi i може обертатися навколо неї (так званий маятник Обербека). На хрестовинi симетрично осi обертання можуть закрiплятись однаковi тягарцi масами кожний. На горизонтальнiй осi хрестовини є два шкiви рiзних дiаметрів R₁ і R₂. Намотаємо на шкiв дiаметром R₁ нитку, другий кiнець якої з тягарцем перекинемо через нерухомий блок (Бл.). Пiд дiєю тягарця, тобто сили , хрестовина почне обертатися з кутовим прискоренням (рис. 2.2,а).

Якщо ж нитку намотати на шкiв з дiаметром R₂, що менший за R₁, то кутове прискорення зменшиться ( - ) (рис. 2.2,б). Це означає, що одна й та ж сила, залежно вiд точки прикладання, спричиняє рiзну обертальну дiю. Тому в обертальному русi вводиться поняття моменту сили ().

Продовжимо дослiд. Залишимо нитку на другому шкiвi, але змiнимо розташування тягарцiв на стрижнях хрестовини, закрiпивши їх ближче до центра (рис. 2.2,в). При цьому кутове прискорення обертання хрестовини теж змiниться. Отже, кутове прискорення залежить не тiльки вiд маси, а й вiд розподiлу маси тiла, що обертається. Характеристика, що визначає цю залежнiсть, називається моментом iнерцiї тiла (І).

Третьою характеристикою обертального руху АТТ є момент iмпульсу (). Визначимо цi характеристики, розглядаючи обертання АТТ навколо нерухомої точки О та навколо нерухомої осi, що проходить через цю точку обертання.

 

Момент сили

Моментом сили . або обертальним моментом вiдносно точки обертання О називається векторний добуток радiус-вектора , проведеного з точки О в точку прикладання сили, на цю силу :

(2.20)

Визначення моменту сили дано так, щоб кутове прискорення i кутова швидкiсть, якi виникають внаслiдок дiї моменту сили, збiгалися за напрямком з цим моментом. Тобто вектор спрямований перпендикулярно площинi розташування векторiв i , вiдповiдно до правила правого гвинта (рис.2.3,а).

Модуль моменту сили дорiвнює:

(2.21)

де — кут мiж векторами i , а — перпендикуляр, проведений з точки О на лiнiю дiї сили , який навивається плечем сили. Одиницею вимiрiв моменту сили є ньютон ×метр (Н м).

Якщо на тiло дiє кiлька сил, можна знайти суму моментiв цих сил відносно точки обертання О. Ця сума називається головним моментом зовнiшнiх сил вiдносно точки обертання О:

(2.22)

Моментом сили вiдносно осi обертання z називають проекцiю вектора вiдносно точки обертання О на цю вiсь за умови, що вiсь проходить через цю точку О (рис. 2.3,б);

(2.23)

Якщо вектор збігається за напрямком з вiссю, то його проекцiя дорiвнює модулю вектора :

(2.24)

Нехай на тiло дiють двi сили, якi рiвнi за модулем, а спрямованi протилежно вздовж паралельних прямих. Такi сили називаються парою сил (рис. 2.4).

Згiдно з виразом (2.20), момент пари сил вiдносно точки О

а його модуль

(2.25)

Оскільки то

(2.26)

де l = l ₁ +l ₂ - плече пари, тобто найкоротша вiдстань мiж прямими, вздовж яких дiють сили одержаний вираз не залежить вiд розташування точки О.

Узагалі, щоб тiло, на яке дiють рiзнi зовнiшнi сили, не оберталося, тобто знаходилось в рiвновазi, сумарний момент цих сил має дорiвнювати нулю:

(2.27)

Момент iнерції

Уявно розiб’ємо АТТ на малi елементи об’ємом та масою m _i якi можна вважати матерiальними точками (тобто представимо АТТ як систему матерiальних точок з масою m _i).

Моментом iнерції І матерiальної точки вiдносно деякої осi z, називається добуток маси матерiальної точки m_i на квадрат її вiдстанi , вiд цiєї осi (рис.2.5):

(2.28)

Момент iнерцiї всього тiла вiдносно деякоiї осi Z дорівнює сумi моментiв iнерції всiх його точок вiдносно цiєї осi:

(2.29)

Ця величина скалярна, одиниця вимiрювання в системi СІ — кг м².

Момент iнерцiї має кожне тiло, незалежно вiд свого руху. Подiбно до того, як тiло має масу незалежно вiд свого стану руху чи спокою, воно має i момент iнерцiї вiдносно будь-якої осi незалежно вiд того, обертається воно навколо цiєї осi чи нi.

Як виходить iз означення (2.29), момент iнерцiї залежить не тiльки вiд маси тiла, але й вiд того, як ця маса розподiлена за об’ємом тiла. Враховуючи, що та переходячи вiд додавання до iнтегрування перепишемо вираз (2.29):

(2.30)

де ρ — густина речовини у вибраному об’ємi dV, r — вiдстань цього об’єму вiд осi, вiдносно якої обчислюється момент iнерцiї. Знаходження цього iнтеграла загалом випадках є досить складним. Задача значно спрощується, якщо розглядати однорiднi тiла правильної форми. Наведемо вирази для моментiв iнерцiї деяких таких тiл:

· момент iнерцiї диска (цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрiї:

(2.31)

· момент iнерцiї обруча (тонкостiнного порожнього цилiндра) з радiусом R вiдносно осi симетрії:

(2.32)

· момент iнерції суцiльної кулi з радiусом R вiдносно осi, що проходить через центр кулi:

(2.33)

· момент iнерцiї однорiдного стрижня довжиною l вiдносно осi, що проходить через його середину перпендикулярну до l:

(2.34)

· те ж саме вiдносно осi, що проходить через кiнець стрижня:

(2.35)

Як бачимо, момент iнерцiї тiла залежить не тiльки вiд маси, форми i розмiрiв тiла, але й вiд розташування тiла вiдносно осi.

Можна обчислити момент iнерцiї тiла вiдносно будь-якої осi. Для цього зручно використовувати теорему Штейнера: момент iнерцiї тiла І вiдносно довiльноiї осi z ’дорiвнює сумi моменту інерції тiла I₀, вiдносно осi, що проходить через його центр мас паралельно данiй осi z ’, i добутку маси тiла m на квадрат вiдстанi d мiж осями (рис. 2.6):

(2.36)

Момент iмпульсу

Моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно точки О називається векторний добуток радiус-вектора цiєї точки на її імпульс:

(2.37)

Напрямок вектора визначається за правилом правого гвинта (рис.2.7,а) одиниця вимiрювання в системi СІ - .

Якщо через точку О проходить вiсь z, навколо якої точка обертається, то моментом iмпульсу матерiальної точки вiдносно осi називається проекцiя моменту iмпульсу вiдносно точки О на цю вiсь (рис. 2.7,б):

(2.38)

Розглянемо тепер АТТ, що обертається навколо нерухомої осi z. Як i в попередньому пунктi, представимо його як систему N матерiальних точок масою m _i.Тодi момент iмпульсу АТТ вiдносно точки О, через яку проходить вiсь обертання, дорiвнюватиме геометричнiй сумi моментiв iмпульсiв його точок вiдносно цiєї точки обертання О:

(2.39)

де — радiус-вектор кожної точки тiла вiдносно точки обертання О, — iмпульс кожної точки тiла. Взагалі, коли тiло несиметричне, вектор може не збiгатися з вектором кутової швидкостi (рис. 2.8,а).

Моментом iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання Z, що проходить через точку О, називається проекцiя вектора моменту iмпульсу відносно цiєї точки на вiсь (рис. 2.8,б).

 

Виходячи з виразiв (2.38) та (2.39), можемо записати

(2.40)

Iз мiркувань симетрiї зрозумiло, що для однорiдного тiла, симетричного вiдносно осi обертання, вектор буде спрямований за віссю обертання, i його модуль збiжиться з проекцiєю на цю вiсь: (рис.2.9). Знайдемо модуль L, враховуючи, що а куг мiж векторами , та завжди дорiвнює 90^о.

Оскiльки для обертального руку , то з урахуванням виразiв (2.28) та (2.39) можна записати:

тобто момент iмпульсу АТТ вiдносно осi обертання дорiвнює добутку моменту iнерцiї тiла вiдносно тiєї ж осi на кутову швидкість обертання:

(2.41)

даний вираз не залежить вiд положення на осi обертання точки О, вiдносно якої визначався момент iмпульсу.