Матеріальною точкою (МТ) називають тiло, геометричними розмiрами якого в умовах конкретної задачi можна знехтувати.

Абсолютно твердим тiлом (АТТ) називають тiло, у якого вiдстань мiж будь-якими двома точками нiколи не змiнюється. Іншими словами, це тіло, деформацією якого можна знехтувати.

Основна задача механіки- визначення положення тіла в будь який момент часу.

 

КIНЕМАТИКА

Кiнематика — роздiл механiки, в якому вивчається рух тiл, не встановлюючи причин, що викликали цей рух. Сам термiн походить вiд грецького слова „кiнета”, що означає рух. За законами i залежностями, встановленими в кiнематицi, визначаються параметри польоту лiтальних апаратiв, виконуються розрахунки передач рухiв у рiзних авiацiйних механiзмах та iн.

1.1. Механiчний рух. Система вiдлiку

Механiчним рухом називається змiна положення тiла в просторi вiдносно iнших тiл. Це все свідчить, що механiчний рух є вiдносним. Дiйсно, будь-яке тiло може бути нерухомим вiдносно одних тiл i рухається вiдносно iнших. Разом з тим цей рух є абсолютним, оскiльки завжди можна вказати, таке тiло, вiдносно якого дане „нерухоме” тiло рухається, тобто абсолютно нерухомих тiл в природi не iснує. Отже, починаючи дослiджувати рух якогось тiла, слід визначити, вiдносно якого iншого тiла вiн буде розглядатися. Тiло, вiдносно якого розглядається рух, називається тiлом вiдлiку. Для математичного описування руху з тiлом вiдлiку необхiдно зв’язати систему координат. Як вiдомо, iснує багато рiзних систем координат (полярна, цилiндрична, сферична та iн.). Найбiльш поширеною є прямокутна декартова система координат.

Слiд звернути увагу, що iснують два види декартових систем:

права (рис. 1.1) та лiва (рис.1.2), якi розрiзняють за допомогою правила гвинта: якщо обертати ручку гвинта вiд додатнього кiнця осi ОХ до додатнього кiнця осi ОУ, то в правiй системi координат гвинт буде поступально рухатись у додатньому напрямку осi ОZ, а в лiвiй системi — у вiд’ємному напрямку. У фiзицi здебiльшого застосовується права система.

Перемiщення тiл вiдбувається з плином часу, тому для описування руху слід мати також годинник. Тiло вiдлiку, повязана з ним система координат та годинник становлять систему вiдлiку.

1.2. Способи описування руху матерiальноiї точки. Основна (пряма) задача кінематик

Важливо зазначити, що в класичнiй механiцi загальновизначеною є концепцiя простору i часу, розроблена Ньютоном. Вiдповiдно до цiєї концепцiї простiр i час розглядаються як такi, що не пов’язанi нi мiж собою, нi з рухом тiл. Iншими словами, в класичнiй механiцi простiр i час вважаються абсолютними та iснуючими не залежно один вiд одного. Тому i хiд годинникiв (тобто плин часу) не залежить вiд системи вiдлiку i всюди є однаковим.

Розглянемо спочатку рух найпростiшого об’єкту — матерiальної точки. Визначимо деякi поняття, якi використовують пiд час описування цього руху.

Траєкторiя — це уявна лiнiя, вздовж якої рухається матеріальна точка (рис. 1.3).

Шлях (∆S або S) — це довжина траєкторiї (рис. 1.3). Шлях — величина скалярна, в системi СІ вимiрюється в метрах (м).

Перемiщення ∆r — це найкоротша вiдстань мiж початковою i кiнцевою точками траєкторїi (рис. 1.4). Перемiщення — величина векторна, має напрямок вiд початковоїi до кiнцевої точки траєкторiї; в системi СІ вимiрюється в метрах.

У декартовiй системi координат положення матерiальної точки М може бути задане не тiльки трьома координатами (х, у, z), а й за допомогою радiуса-вектора. Радiус — вектором точки називається вектор, який проведено з початку координат у дану точку (рис. 1.5).

Радiус-вектор може бути записаний через його проекцiї на вiдповiднi координатнi осi:

(1.1)

та за модулем:

, (1.2)

де - одиничні вектори (орти) відповідних осей координат:

де

Оскільки формули (1.1) і (1.2) можуть бути записані ще й так:

, (1.3)

 

. (1.4)

У фізиці прийнято модуль будь-якого вектора позначати а.

Зрозумiло, що пiд час руху матерiальної точки‚ її радіус-вектор, шлях та координати з часом змiнюються. Вiдповiдно до цього в кiнематицi використовуються три способи описування руху:

— векторний, коли вiдоме рiвняння залежностi радіус-вектора точки вiд часу:

(1.5)

— траєкторний, коли вiдоме рiвняння руху точки вздовж траєкторії:

(1.6)

— координатний, коли вiдомi рiвняння руху точки в декартових координатах:

х = х(t), у =у(t), z=z(t). (1.7)

Рiвняння (1.5), (1.6), (1.7) називаються кінематичними рiвняннями руху.

Основна (пряма) задача кiнематики полягає в тому, щоб за кiнематичними рiвняннями руху знайти положення матеріальної точки в просторi i кiнематичнi характеристики руху в будь-який момент часу.

1.3. Кiнематичнi характеристики поступального руху матерiальної точки

До кiнематичних характеристик поступального руху вiдносяться: перемiщення, швидкiсть та прискорення.

Перемiщення

Нехай у момент часу t матерiальна точка пребувала в положеннi 1, а за деякий промiжок часу ∆t — в положеннi 2 (рис. 1.6,а).

Проведемо радiус-вектори і в точки 1 i 2. Тодi вектор перемiщення визначиться як

(1.8)

тобто вектор перемiщення являє собою змiну (прирiст) радіуса-вектора за часом. З урахуванням (1.3) вектор ∆ r можна записати через прирiст координат матерiальної точки (∆х, ∆у, ∆z) за час ∆t:

(1.9)

а його модуль як

(1.10)

Як видно з рис. (1.6,б) вектор перемiщення збiгається з хордою, що стягує вiдповiдну дiлянку траєкторії. Тому завжди, крiм прямолiнiйного руху, модуль вектора перемiщення менший, нiж шлях, пройдений за той же промiжок часу:

(1.11)

Тепер будемо зменшувати промiжок часу ∆t до достатньо малого значення, яке назвемо елементарним i позначимо dt. При цьому вiдбудеться також мале перемiщення, яке називатиметься відповiдно елементарним перемiщенням d i матерiальна точка пройде досить малий, тобто елементарний шлях d S. Ясно, що iз зменшенням ∆t значення ∆r буде все бiльше наближатися до ∆S. Тобто при () можна вважати, що

dr = dS (1.12)

За напрямком d буде спрямовано по дотичній до траєкторiї в бiк руху матерiальної точки. Позначимо орт дотичної , тодi у векторному виглядi можна записати (при ):

Швидкість

Розрiзняють швидкiсть середню i миттєву. Середньою швидкiстю перемiщення () за промiжок часу ∆t називається векторна величина, що дорiвнює вiдношенню вектора перемiщення до цього промiжку часу:

(1.13)

Вектор спрямований так, як i вектор (рис. 1.7,а).

Будемо нескiнченно зменшувати промiжок часу, направляючи його до нуля (). Показано, що при цьому, починаючи з деяких значень ∆t, вiдношення перестає змiнюватися. Тобто iснує певна границя, до якої прямує вiдношення при .

Ця границя i визначає швидкiсть руху в даному мiсцi траєкторiї в даний момент часу, тобто миттєву швидкiсть (при цьому точки 1 i 2 на рис. 1.7,а будуть нескiнченно наближатися одна до одної).

(1.14)

Враховуючи (1.12) одержимо:

(1.15)