Аналитические условия равновесия сходящихся сил

Сходящиеся силы находятся в равновесии, если их равнодействующая равна нулю. В математической форме это условие выражается векторным равенством

называемым векторным условием равновесия сходящихся сил. Это условие можно выразить в геометрической форме (в терминах силового многоугольника) и в аналитической форме (через проекции сил на координатные оси).

Применительно к силовому многоугольнику равенство (1) означает, что длина замыкающей стороны силового многоугольника равна нулю. Следовательно, в силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой силы . Такой силовой многоугольник называется замкнутым. Отсюда вытекает следующее геометрическое условие равновесия сходящихся сил: чтобы сходящиеся силы находилисъ в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил, был замкнутым.

Аналитические условия равновесия представляют собой покоординатную запись векторного равенства (1):

Из равенств (2) следует, что для равновесия сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на координатные оси были равны нулю.

Если сходящиеся силы расположены в одной плоскости, то имеем плоскую систему сходящихся сил. Воспользуемся произволом в выборе координатных осей и выберем их так, чтобы координатные оси оказались в одной плоскости с заданными силами. Тогда третье условие в (2) будет выполняться тождественно (всегда, при любых силах). Следовательно, для плоской системы сходящихся сил имеют место только два аналитических условия равновесия:

Два условия равновесия плоской системы сходящихся сил остаются и при произвольном выборе осей. Кажущаяся возможность составить в этом случае также и третье условие оказывается несостоятельной: третье условие будет простым следствием первых двух, то есть не будет являться независимым.

Если среди сил, удовлетворяющих условиям равновесия, имеются неизвестные силы, тогда условия равновесия служат для определения этих сил и называются уравнениями равновесия. Такими неизвестными обычно являются реакции связей: заранее мы можем указать только направления реакций, а численные значения реакций определяются в результате составления и решения уравнений равновесия.

 

Момент силы относительно точки

Моментом силы F относительно точки О называется векторное произведение радиуса-вектора r, проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы F:

M _O = r F.

Вектор M _O считается приложенным к точке О и перпендикулярен плоскости треугольника ОАВ, в которой лежат векторы r и F. При этом он направлен в сторону, с которой кратчайший поворот (на угол, меньший 180°) вектора r к вектору F (если его мысленно приложить к точке О; см. рис.) виден происходящим против хода часовой стрелки, то есть по правилу правого винта.
Модуль момента M_O равен произведению модуля силы F на ее плечо h, равное расстоянию от моментной точки О до линии действия силы:

M_O = F · h.

Момент силы измеряется в системе единиц СИ в ньютон-метрах (Н · м).

Момент силы относительно точки не изменяется при переносе точки приложения силы вдоль ее линии действия.

Момент силы относительно точки О равен нулю (M_O = 0), если:

· сила равна нулю (F = 0);

· линия действия силы проходит через точку О (плечо h = 0).

Аналитический метод вычисления момента силы относительно точки.

 

Пара сил. Момент пары сил

Парой сил называется приложенная к твердому телу система двух сил (F, F'), равных по модулю, параллельных и направленных в противоположные стороны:

F = - F'; F=F'.

Расстояние d между линиями действия сил пары называется плечом пары; плоскость , в которой действуют силы пары, называется плоскостью действия пары. Совокупность нескольких пар, действующих на тело, называется системой пар.

Пара сил не имеет равнодействующей. Она стремится сообщить телу некоторое вращение. Вращательный эффект пары характеризуется векторной величиной, называемой моментом пары. Момент пары сил относительно точки O

M_O (F, F') = M_O (F) + M_O (F')

не зависит от выбора точки O и равен моменту одной из сил пары относительно точки приложения другой силы

M (F, F') = M_A (F') = M_B (F).

Момент пары сил M перпендикулярен плоскости действия пары, направлен по правилу правого винта и равен по модулю произведению модуля любой из сил на плечо пары: M = F · d.

Векторный момент пары сил может быть приложен в любой точке пространства, т.е. является свободным вектором.

Две пары сил, имеющие одинаковые векторные моменты, эквивалентны, т.е. оказывают на тело одинаковое механическое действие.

Эквивалентность пар: действие пары сил на твердое тело не изменится, если

· переместить пару в другое положение в плоскости ее действия;

· плоскость ее действия переместить параллельно самой себе;

· любым образом изменить модули сил и плечо пары, сохранив неизменным их произведение, т.е. момент пары M=F · d.

Сложение пар сил: система n пар сил с моментами M ₁, M ₂,..., M _n эквивалентна одной паре с моментом M, равным векторной сумме моментов этих пар: M = M _k.

Условие равновесия системы пар, приложенных к твердому телу: M = M _k= 0.