Условие максимума и минимума интерференции

Пусть разделение на две когерентные волны происходит в точке О (рис. 8.1).

Рис. 8.1

До точки Р первая волна проходит в среде с показателем расстояние , а вторая в среде с показателем преломления расстояние . Если в точке О фаза колебаний (), то первая волна возбждает в точке Р колебание

, а вторая ,

где , – фазовые скорости первой и второй волны. Следовательно, разность фаз возбуждаемых волнами колебаний в точке Р равна:

.

Учитывая, что , получим выражение для разности фаз двух когерентных волн:

,

где – оптическая разность хода, L – оптическая длина пути, s – геометрическая длина пути.

Если разность хода равна целому числу длин волн в вакууме

,

(8.1.3)

то , и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в одинаковой фазе. Следовательно, (8.1.3) является условием интерференционного максимума.

Если оптическая разность хода

,

(8.1.4)

то , и колебания, возбуждаемые в точке Р обеими волнами, будут происходить в противофазе. Следовательно, (8.1.4) является условием интерференционного минимума. Если в какой-либо области пространства распространяются одновременно несколько волн, то в каждой точке происходит сложение нескольких колебаний. Это может привести к явлению интерференции, когда в различных точках интенсивность результирующей волны окажется различной, возникнут максимумы и минимумы интенсивности. Условиями наблюдения интерференции являются совпадение направлений колебания в накладывающихся волнах, равенство частот колебаний и постоянство разности фаз во всех точках наложения. Волны, удовлетворяющие этим условиям, называются когерентными. При наложении когерентных волн квадрат амплитуды результирующих колебаний в каждой точке определяется формулой (4.9)

,

где (φ₂–φ₁) – разность фаз накладывающихся колебаний. Интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды колебаний, значит, для интенсивности можно записать соотношение

. (4.86)

Из формул (4.54) и (4.55) следует, что разность фаз колебаний, обусловленных наложением в точке двух волн,

, (4.87)

где х ₁ и х ₂ – расстояния, проходимые волнами от источников до точек наложения. Величина Δх = х ₂ – х ₁называется разностью хода волн, именно она определяет результат интерференции в каждой точке. В местах, где φ₂–φ₁ близко к четному числу, умноженному на π, наблюдаются максимумы интенсивности волны. Там же, где φ₂–φ₁ близко к нечетному числу π, наблюдаются минимумы интенсивности.

Частным случаем интерференции волн являются стоячие волны. Они образуются в результате наложения двух бегущих синусоидальных волн, которые распространяются навстречу друг другу и имеют одинаковые частоты, амплитуды и направления колебаний. Обычно это происходит при отражении бегущей волны от препятствия. Рассмотрим простейший случай, когда прямая и обратная волны распространяются вдоль оси х и описываются формулами:

;

.

В каждой точке оси происходит сложение этих колебаний. Используем тригонометрическую формулу суммы двух косинусов:

. (4.88)

Формула (4.88) описывает происходящие во всей области колебания, амплитуда которых различна в различных точках. На рисунке 4.15 представлен график зависимости амплитуды от координаты х.

 

График показывает, что имеются точки, в которых амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами. Имеются также точки, в которых амплитуда достигает максимального значения 2А. Эти точки называются пучностями. Расстояние между соседними узлами и соседними пучностями одинаково, оно равно половине длины волны. Из формулы (4.88) видим, что колебания в промежутке между соседними узлами происходят в одной фазе, но при переходе через узел фаза колебаний меняется на величину представлен график зависимости амплитуды π.

В стоячей волне происходит обмен энергией между узлами, где она кинетическая, и соседними с ними пучностями, где она превращается в потенциальную энергию силы упругости. Средний поток энергии в любом сечении волны равен нулю.

 

Получение электромагнитных волн. Волновое уравнение для электромагнитного поля. Плоская электромагнитная волна. Энергия и импульс, переносимые электромагнитной волной.