Лекция 5. Математическое обеспечение САПР

Компоненты математического обеспечения. Математическое обеспечение (МО) объединяет в себе математические модели проектируемых объектов, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур, используемые при автоматизированном проектировании.

Компоненты МО определяются базовым математическим аппаратом, специфичным для каждого из иерархических уровней проектирования.

На микроуровне типичные математические модели представлены диффе­ренциальными уравнениями в частных производных вместе с краевыми усло­виями. Допущение, выражаемое дискретизацией пространства, позволяет перейти к моделям макроуровня. Моделями макроуровня, называемыми также сосредоточенными, являются системы алгебраических и обыкновенных дифференциальных уравнений, поскольку независимой переменной здесь остается только время. Упрощение описания отдельных компонентов (деталей) позволяет исследовать модели процессов в устройствах, приборах, механических узлах, число компонентов в которых может доходить до нескольких тысяч.

В тех случаях, когда число компонентов в исследуемой системе превышает некоторый порог, сложность модели системы на макроуровне вновь становится чрезмерной. Поэтому, принимая соответствующие допущения, переходят на функционально-логический уровень. На этом уровне используют аппарат пере­даточных функций для исследования аналоговых (непрерывных) процессов или аппарат математической логики и конечных автоматов, если объектом исследо­вания является дискретный процесс, т. е. процесс с дискретным множеством состояний.

Требования к математическим моделям и численным методам в САПР

Основными требованиями к МО являются требования адекватности, точности, экономичности.

Модель всегда лишь приближенно отражает некоторые свойства объекта. Адекватность имеет место, если модель отражает заданные свойства объекта с приемлемой точностью. Под точностью понимают степень соответствия оценок одноименных свойств объекта и модели.

Экономичность (вычислительная эффективность) определяется затра­тами ресурсов, требуемых для реализации модели. Поскольку в САПР исполь­зуются математические модели, далее речь пойдет о характеристиках именно математических моделей, и экономичность будет характеризоваться затрата­ми машинных времени и памяти.

Адекватность оценивается перечнем отражаемых свойств и областями адекватности. Область адекватности — область в пространстве параметров, в пределах которой погрешности модели остаются в допустимых пределах. Например, область адекватности линеаризованной модели поверхности детали определяется системой неравенств.

Место процедур формирования моделей в маршрутах проектирования. Вычислительный процесс при анализе состоит из этапов формирования мо­дели и ее исследования (решения). В свою очередь, формирование модели вклю­чает две процедуры: во-первых, разработку моделей отдельных компонентов, во-вторых, формирование модели системы из моделей компонентов.

Первая из этих процедур выполняется предварительно по отношению к ти­повым компонентам вне маршрута проектирования конкретных объектов. Как правило, модели компонентов разрабатываются специалистами в прикладных областях, причем знающими требования к моделям и формам их представления в САПР. Обычно в помощь разработчику моделей в САПР предлагаются мето­дики и вспомогательные средства, например, в виде программ анализа для экспериментальной отработки моделей. Созданные модели включаются в биб­лиотеки моделей прикладных программ анализа.

На маршруте проектирования каждого нового объекта выполняется вто­рая процедура (рисунок 4) – формирование модели системы с использованием библиотечных моделей компонентов. Как правило, эта процедура выполняется автоматически по алгоритмам, включенным в заранее разработанные про­граммы анализа. Примеры таких программ имеются в различных приложени­ях и прежде всего в отраслях общего машиностроения и радиоэлектроники.

Рисунок 4 –Место процедур формирования моделей на маршрутах

проектирования

Математические модели в процедурах анализа на макроуровне

Исходные уравнения моделей. Исходное математическое описание процессов в объектах на макроуровне представлено системами обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Аналитические решения таких систем при типичных значениях их порядков в практических задачах получить не удается, поэтому в САПР преимущественно используются алгоритмические модели.

Исходными для формирования математических моделей объектов на макроуровне являются компонентные и топологические уравнения.

Компонентными уравнениями называют уравнения, описывающие свойства элементов (компонентов), другими словами, это уравнения математических моделей элементов (ММЭ).

Топологические уравнения описывают взаимосвязи в составе моделируе­мой системы.

В совокупности компонентные и топологические уравнения конкретной физической системы представляют собой исходную математическую модель системы (ММС).

Требования к математическим моделям

Требования к математическим моделям:

· универсальность;

· адекватность;

· точность;

· экономичность.

Степень универсальности ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта.

Точность ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ.

Адекватность ММ – способность отражать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. Адекватность ММ, как правило, имеет место лишь в ограниченной области изменения внешних параметров - в области адекватности (ОА).

Экономичность модели характеризуется затратами вычислительных ресурсов (времени и памяти) на ее реализацию.