Развитие идеи математической логики во второй половине 19 века (бубль пирс пеано фреге порецкий)

В конце XIX — начале XX веков были заложены основы т. н. математической, или символической, логики. Её суть заключается в том, что для обнаружения истинностного значения выражений естественного языка можно применять математические методы. Именно использование символической логики отличает современную логическую науку от традиционной.

Огромный вклад в развитие символической логики внесли такие учёные, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др. В XX веке математическая логика оформилась в качестве самостоятельной дисциплины в рамках логической науки.

Начало ХХ века ознаменовалось становлением идей неклассической логики, многие важные положения которой были предвосхищены и/или заложены Н.А. Васильевым и И.Е. Орловым.

С помощью синкретной логики Федосину С.Г. удалось доказать, что философские категории составляют в совокупности математическую группу. ^[2] Геометрической моделью множества категорий философии может быть бесконечноразмерная система координат. Если каждой оси координат сопоставить свою категорию, то все оси будут расположены симметрично в пространстве и взаимно противоположны друг другу. Для однозначного определения конкретной категории или любого понятия в такой системе координат необходимо найти его сущность как соответствующую проекцию на каждую ось (поскольку ни одно понятие не существует самостоятельно, и может быть понято только через другие понятия). Кроме этого было показано, что совокупность наборов истинности дискретной формальной логики с операциями сложения и отрицания составляют математическую группу, эквивалентную группе чисел в арифметике.

Математическая логика тесно связана с логикой и обязана ей своим возникновением. Основы логики, науки о законах и формах человеческого мышления (отсюда одно из ее названий - формальная логика), б ыли заложены величайшим древнегреческим философом Аристотелем (384-322 гг. до н. э.), который в своих трактатах обстоятельно исследовал терминологию логики, подробно разобрал теорию умозаключений и доказательств, описал ряд логических операций, сформулировал основные законы мышления, в том числе законы противоречия и исключения третьего

После Лейбница исследования вели многие выдающиеся ученые, однако настоящий успех пришел здесь к английскому математику-самоучке Джорджу Булю (1815-1864), целеустремленность которого не знала границ. В 1847 году Буль опубликовал статью «Математический анализ логики, или Опыт исчисления дедуктивных умозаключений», а в 1854 году появился главный его труд «Исследование законов мышления, на которых основаны математические теории логики и вероятностей».

Буль изобрел своеобразную алгебру - систему обозначений и правил, применимую ко всевозможным объектам, от чисел и букв до предложений. Пользуясь этой системой, он мог закодировать высказывания (утверждения, истинность или ложность которых требовалось доказать) с помощью символов своего языка, а затем манипулировать ими, подобно тому, как в математике манипулируют числами. Основными операциями булевой алгебры являются конъюнкция (И), дизъюнкция (ИЛИ) и отрицание (НЕ).

Через некоторое время стало понятно, что система Буля хорошо подходит для описания электрических переключательных схем. Ток в цепи может либо протекать, либо отсутствовать, подобно тому, как утверждение может быть либо истинным, либо ложным.

Отдельные положения работ Буля в той или иной мере затрагивались и до, и после него другими математиками и логиками. Однако сегодня в данной области именно труды Джорджа Буля причисляются к математической классике, а сам он по праву считается основателем математической логики и тем более важнейших ее разделов - алгебры логики (булевой алгебры) и алгебры высказываний.

Большой вклад в развитие логики внесли и русские ученые П.С. Порецкий (1846-1907), И.И. Жегалкин (1869-1947).

В XX веке огромную роль в развитии математической логики сыграл Д. Гильберт (1862-1943), предложивший программу формализации математики, связанную с разработкой оснований самой математики. Наконец, в последние десятилетия XX века бурное развитие математической логики было обусловлено развитием теории алгоритмов и алгоритмических языков, теории автоматов, теории графов (С.К. Клини, А. Черч, А.А Марков, П.С. Новиков, Гегель и многие другие).

Гегель (1770-1831) весьма иронично отзывался о законе противоречия и законе исключенного третьего.. Гегелевская критика логических законов опиралась, как это нередко бывает, на придание им того смысла, которого у них нет, и приписывание им тех функций, к которым они не имеют отношения. Случай с критикой закона исключенного третьего - один из примеров такого подхода. Критика закона исключенного третьего (Л.Бауэр) привела к созданию нового направления в логике - интуиционистской логики. В последней не принимается этот закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны. Среди отброшенных, например, оказывается доказательство путем приведения к противоречию, или абсурду..

Наука логики в 20 веке

Логика - является не только философской, но также и математической наукой. В современном мире эти две взаимозависимые стороны одного целого оказались разделенными. Если посмотреть с одной стороны - логика является наукой, которая учит законы правильного мышления, а с другой - точки зрения она является сочетанием слабо связанных друг с другом искусственных языков, которые в науке называются формальными логическими системами.

В 20 столетии формальная логика продолжила свое развитие. Появилась математическая логика, которая широко использовала метод математической формализации и специфический набор символов к определенному кругу логических операций. Основными представителями математической логики стали такие мыслители, как Г. Фреге, Б. Рассел, Б. Аккерман и другие ученые.

Ряд трудных логических задач в области математики позволили решить формализация и предельное абстрагирование от конкретного содержания высказываний. Они нашли применение в работе электронно-вычислительных машин, теории программирования и т.д. Российские ученые-математики А.П. Колмогоров, А.А. Марков, П.С. Новиков, М.В. Келдыш внесли большой вклад в развитие современной математической логики. В настоящее время математическая логика не дает решение всем проблемам естественной логики мышления. Познавательная функция и методологическая роль как науки о законах и формах правильной мысли, ведущей к утверждению истины, остаются за традиционной логикой.

Большое значение на развитие символической логики оказали такие мировые учёные, как Дж. Буль, О. де Морган, Г. Фреге, Ч. Пирс и др. В 20 веке произошло выделение математической логики из логической науки в самостоятельную дисциплину.

В начале 20 века произошло становление идеи неклассической логики, многие важные положения которой были определены отечественными учеными Н.А. Васильевым и И.Е. Орловым.

Середина 20 века ознаменовалась дополнительной разработкой новых областей логики. Произошло развитие вычислительной техники, что привело к созданию логических элементов, логических блоков и приспособлений вычислительной техники. Такими областями стали: проблемы логического синтеза, логическое проектирование и логического моделирования логических устройств и средств вычислительной техники.

В восьмидесятых годах 20 века на базе языков и систем логического программирования проводились исследования в области искусственного интеллекта. Для верификации алгоритмов и программ для ЭВМ были созданы специальные системы, в которых были использованы методы автоматизированного доказательства теорем, а также методы доказательного программирования.

В это же время произошли серьезные изменения в образовании. В средних школах для учебы стали применяться персональные компьютеры, что привело к написанию учебников информатики с изучением элементов математической логики. Это было необходимо для объяснения логических принципов работы логических схем и устройств вычислительной техники, а также принципов логического программирования для компьютеров и разработки новых учебников по информатике с изучением языка исчисления предикатов для создания баз знаний.

2. Основные направления логики 20 века

Современная логика - одно из названий этапа в развитии формальной логики, который начался во второй половине 19в. - начале 20 в. Также этот этап в развитии логики получил название математическая логика и символическая логика. Родство данной логики по применяемым методам с математикой принесло ей имя - математическая. Применение в логике специально созданных для целей логического анализа языков формализованных, являющихся, так сказать, «насквозь символическими» дает ей определение - символическая. Новый этап формалистической логики противопоставляется традиционной логике, отличительной особенностью которой было то, что она использовала при описании правильных способов рассуждения обычный, или естественный, язык, дополненный небольшим количеством специальных символов.

Математическая логика - это такая логика, которая развивается математическим методом. Отличительной чертой для математической логики является использование формальных языков с точным синтаксисом и чёткой семантикой, которые однозначно определяют значение формул. Необходимость в данной логике появилась в начале 20 века в связи с тем, что были интенсивно разработаны основы математики, возникло множеств теории, где открыли антиномии, были уточнены понятия алгоритма и другими глубокими и принципиальными вопросами математической науки. Несмотря на это влияние математической логики для науки в целом не заканчивается её математическими приложениями, поскольку правильные рассуждения и умение доказывать свою точку зрения нужны во всех сферах деятельности. Поэтому математическая логика является современной логикой.

Идея создания универсального языка для всей математики и формализации на базе такого языка математических доказательств предлагалась еще в 17 в. Г. Лейбницем. Но первые научные работы по алгебраизации логики появились только в середине 19 века. Их авторами были Дж. Буль и О. де Морган. Реальная возможность применить этот язык к вопросам оснований математики появилась после того, как Г. Фреге и Ч. Пирс ввели в язык алгебры логики предикаты, предметные переменные и кванторы.

Формулировка суждения на некотором точном языке привело к применению в логике математических методов. Точные языки имеют две основные стороны, которые называются синтаксисом и семантикой. Синтаксис, так называемые формулы, это совокупность правил построения объектов языка. Семантикой является совокупность соглашений, описывающих понимание формул и позволяющих считать одни формулы точными, а другие - нет.

Одну из главных ролей в математической логике играют понятия дедуктивной теории исчисления. Собрание правил вывода, которые помогают обозначать некоторые формулы выводимыми, называется исчислением. Существует два класса, на которые делятся все правила вывода. Первые правила вывода, которые непосредственно квалифицируют некоторые формулы как выводимые называются - аксиомами. Вторые же позволяют считать выводимыми.

Выражение понятия семантической пригодности и семантической полноты исчисления приводит к причислению исчислений к синематике. Исчисление называется семантически пригодным для языка, если любая выводимая в исчисление формула языка является точной. Если любая верная формула языка выводима, то такое исчисление называется семантически полным в языке.

Логические связи и отношения, которые находятся в основе логического (дедуктивного) вывода, с использованием языка математики изучает математическая логика.

Часть из рассматриваемых в математической логике языков обладает семантически полными и пригодными расчетами. Так, известно, что логик К. Гёдель получил результат о том, что для предикатов первого порядка классическое исчисление предикатов будет семантически полным и семантически пригодным для языка классической логики. А с другой стороны, существует немало языков, для которых нельзя провести семантически полного и семантически пригодное исчисление. Теорема Гёделя о неполноте, говорящая о невозможности семантически полного и семантически пригодного исчисления для языка формальной арифметики является классическим результатом этого.

Также можно отметить, что на практике множество элементарных логических операций является обязательной частью набора инструкций большинства современных микропроцессоров и соответственно входит в языки программирования. Это является одним из наиболее значимых практических приложений методов математической логики, которые даны в современных учебных пособиях по информационным технологиям.8

Основными разделами математической логики являются:

- алгебра логики или алгебра высказываний - один из разделов математической логики, в котором проводятся логические операции над высказываниями. Предполагается, что применяется так называемая бинарная или двоичная логика, где высказывания могут быть только истинными или ложными, чем она отличается, например, от троичной логики.

логика высказываний, также она называется пропозициональной логика или исчисление высказываний - это раздел символической логики, изучающий взаимоотношения сложные высказывания, которые образованны из простых. Она отличается от логики предикатов тем, что не рассматривается внутренняя структура простых высказываний, а учитываются лишь союзы, с помощью которых простые высказывания соединяются в сложные и в каком порядке это происходит.6

Логику высказываний можно определить как классическую логику нулевого порядка.

Логика высказываний является простейшей логикой и имеет очень ограниченные средства для исследования суждений, и это несмотря на то, что она важна и имеет широкую сферу применения.

теория доказательств - это один из разделов математической логики, дающий доказательства в виде формальных математических объектов. Он проводит анализ с помощью математических методов. Доказательства обычно даются в виде индуктивно определённых структур данных, таких как списки и деревья, созданных в соответствии с аксиомами и правилами вывода формальных систем. Можно сделать вывод, что теория доказательств является синтаксической, в отличие от семантической теории моделей. Теория доказательств вместе с теорией моделей, аксиоматической теорией множеств и теорией вычислений, является одним из четырёх столпов математики.

теория моделей - один из разделов математической логики, занимающийся исследованием связи между формальными языками и их интерпретациями, или моделями. Данное название теория моделей впервые получила в 1954 году.

Такие ученые как Тарский, Мальцев и Робинсон независимо друг от друга занимались разработкой данной теории.

Основным направлением теории моделей является изучение полученных связей между синтаксисом, которому отвечает формальный язык, и семантикой, которая является математической системой, частично допускающая описание этим языком. Данная теория моделей появилась при изучении имеющихся подходов решения математических проблем, которые были связанны с такими науками как алгебра и математическая логика. Эти подходы уже давно существовали, но еще ни кем не были изучены в рамках одной логико-философской парадигмы. Проблема, связанная с пятым постулатом Евклида о параллельности линий является естественным примером в данном контексте. Много веков математикам не удавалось доказать его истинность, пока, наконец, в 19 веке Бойяи и Лобачевский, построили неевклидову геометрию, доказав тем самым, что данный постулат параллельности не имеет ни доказательств, ни опровержений. Это означает, что с точки зрения теории моделей, система аксиом без пятого постулата предполагает несколько вариантов реализации геометрии, то есть в этом случае - несколько различных моделей.

Из вышесказанного можно сделать вывод, что теория моделей произошла из математической логики, универсальная алгебра, теория множеств в качестве обобщения и укрупнения полученных данных. Поэтому можно утверждать, что первые предпосылки теории моделей появились еще до её официального открытия. Одним из первых результатов принято считать теорему Лёвенгейма - Сколема (1915). Следующим крупным достижением стала теорема компактности, доказанная Гёделем (1930) и Мальцевым (1936).логика дедуктивный философский