Выборочные уравнения регрессии

Для определения значений теоретических коэффициентов, входящих в уравнения регрессии, вообще говоря, необходимо знать и использовать все значения переменных генеральной совокупности, что практически невозможно. В связи с этим по выборке ограниченного объема строится так называемое выборочное (эмпирическое) уравнение регрессии. В силу несовпадения статистической базы для генеральной совокупности и выборки оценки коэффициентов, входящих в уравнение регрессии, практически всегда отличаются от истинных (теоретических) значений, что приводит к несовпадению эмпирической и теоретической линий регрессии. Различные выборки из одной и той же генеральной совокупности обычно приводят к отличающимся друг от друга оценкам. Задача состоит в том, чтобы по конкретной выборке найти оценки неизвестных параметров так, чтобы построенная линия регрессии являлась бы наилучшей, среди всех других линий.

Линейная регрессия

Если функция регрессии линейна, то говорят о линейной регрессии. Линейная регрессия (линейное уравнение) является наиболее распространенным (и простым) видом зависимости между экономическими переменными. Для этого простейшего случая имеем:

или

Последнее соотношение называется теоретической линейной регрессионной моделью; коэффициенты – теоретическими параметрами регрессии; – случайным отклонением.

По выборке ограниченного объема строится выборочное уравнение регрессии:

, (1)

где – оценки неизвестных параметров , называемые выборочными (эмпирическими) коэффициентами регрессии, – оценка условного математического ожидания . Для величин справедлива формула: , (2)

где отклонение – оценка теоретического отклонения .

Построенная прямая выборочной регрессии должна наилучшим образом описывать эмпирические данные, т.е. коэффициенты должны быть такими, чтобы случайные отклонения были минимальны. Наиболее распространенным методом нахождения коэффициентов уравнения регрессии является метод наименьших квадратов (МНК).

Если по выборке требуется определить оценки выборочного уравнения регрессии (2), то вводится в рассмотрение и минимизируется функция:

.

Необходимым условием существования минимума данной функции двух переменных является равенство нулю ее частных производных по неизвестным параметрам :

.

Отсюда:

,

выразив из последних соотношений коэффициенты, получим окончательно:

, (3)

где введены обозначения:

.

Нелинейная регрессия

Многие экономические зависимости не являются линейными, и поэтому их моделирование линейными уравнениями регрессии не может дать положительного реультата. Например, при анализе эластичности спроса по цене применяется так называемая логарифмическая модель, при анализе издержек от объема выпуска – полиномиальная (кубическая) модель. Достаточно широко применяются и многие другие модели – в частности, обратная и экспоненциальная модели. Кратко рассмотрим некоторые из моделей нелинейной регрессии.

Логарифмическая модель

Пусть некоторая экономическая зависимость моделируется формулой , где A, b – параметры модели. Эта функция может отражать зависимость спроса Y на благо от его цены X
(в этом случае b<0) или от дохода X (b>0 – функция Энгеля). Прологарифмировав обе части последнего соотношения, получим , замена переменных вида позволяет формально свести уравнение к линейному виду:

.

По МНК можно рассчитать значения параметров аналогично случаю линейной модели (при этом вместо наблюдений рассматриваются наблюдения ).

Обратная модель

Обратная модель имеет вид . Заменой эта модель сводится к линейной. Модель применяется, например, для характеристики связи удельных расходов сырья, материалов, топлива с объемом выпускаемой продукции. Кроме этого, классическим примером применения модели является кривая Филлипса, характеризующая нелинейное соотношение между нормой безработицы x и процентом прироста заработной платы y.

Степенная модель

Степенная функция вида при m=3 (кубическая функция) в микроэкономике моделирует зависимость общих издержек от объема выпуска; квадратичная функция (m=2) отражает зависимость между объемом выпуска и средними или предельными издержками (или между расходами на рекламу и прибылью). Модель может быть сведена к линейной модели множественной регрессии с помощью замены . Параметры модели ищут с помощью МНК.

Показательная модель

Показательная функция может использоваться при анализе изменения переменной Y с постоянным темпом прироста во времени. Например, производственная функция Кобба – Дугласа с учетом научно – технического прогресса:

.

Прологарифмировав, получаем соотношение:

,

которое сводится к линейному виду с помощью замен

.