Общеметодические подходы к количественной оценке риска

Риск — категория вероятностная, поэтому методы его количественной оцен­ки базируются на ряде важнейших понятий теории вероятностей и математической статистики. Так, главными инструментами статистического метода расчета риска являются:

1) математическое ожидание m, например, такой случайной величины, как результат финансовой операции [8] k: m = Е { k };

2) дисперсия как характеристика степени вариации значений случайной величины k вокруг центра группирования m (напомним, что дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания );

3) стандартное отклонение ;

4) коэффициент вариации , который имеет смысл риска на единицу среднего дохода.

Замечание. Для небольшого набора n значений – малой выборки! – дискретной случайной величины речь, строго говоря, идет лишь об оценках перечисленных измерителей риска.

Так, средним (ожидаемым) значением выборки, или выборочным аналогом математического ожидания, является величина , где р_i – вероятность реализации значения случайной величины k. Если все значения равновероятны, то ожидаемое значение случайной выборки вычисляется по формуле .

Аналогично, дисперсия выборки (выборочная дисперсия) определяется как среднеквадратичное отклонение в выборке: или

. В последнем случае выборочная дисперсия представляет собой смещенную оценку теоретической дисперсии. Поэтому предпочтительнее использовать несмещенную оценку дисперсии , которая задана формулой .

Очевидно, что оценка стандартного (среднего квадратического) отклонения может быть рассчитана следующим образом или .

Ясно, что оценка коэффициента вариации принимает теперь вид .

В экономических системах в условиях риска принятие решений основывается чаще всего на одном из следующих критериев.

1. Ожидаемого значения (доходности, прибыли или расходов).

2. Выборочной дисперсии или стандартного (среднего квадратического) отклонения .

3. Комбинации ожидаемого значения и дисперсии или среднего квадратического отклонения выборки .

Замечание. Под случайной величиной k в каждой конкретной ситуации понимается соответствующий этой ситуации показатель, который обычно записывается в принятых обозначениях: m_p – доходность портфеля ценных бумаг, IRR – (Internal Rate of Return) внутренняя (норма) доходности [9] и т.д.

Рассмотрим изложенную идею на конкретных примерах.

 

Распределения вероятностей и ожидаемая доходность

Как уже не раз говорилось, риск связан с вероятностью того, что фактическая доходность будет ниже ее ожидаемого значения. Поэтому распределения вероятностей являются основой для измерения риска проводимой операции. Однако, надо помнить, что получаемые при этом оценки носят вероятностный характер.

Пример 1. Предположим, например, что Вы намерены инвестировать 100000 дол. сроком на один год. Альтернативные варианты инвестиций приведены в табл. 3.1.

Во-первых, это ГКО-ОФЗ со сроком погашения один год и став­кой дохода 8%, которые могут быть приобретены с дисконтом, т. е. по цене ниже номинала, а в момент погашения будет выплачена их номи­нальная стоимость.

Таблица 3.1

Оценка доходности по четырем инвестиционным альтернативам

 

Состояние экономики	Вероятность рi	ГКО-ОФЗ,%	Доходность инвестиций при данном состоянии экономики, %
корпоративные ценные бумаги	проект 1	Проект 2
Глубокий спад	0.05	8.0	12.0	-3.0	-2.0
Незначительный спад	0.20	8.0	10.0	6.0	9.0
Стагнация	0.50	8.0	9.0	11.0	12.0
Незначительный подъем	0.20	8.0	8.5	14.0	15.0
Сильный подъем	0.05	8.0	8.0	19.0	26.0
Ожидаемая доходность	—	8.0	9.2	10.3	12.0

Примечание. Доходность, соответствующую различным состояниям экономики, следует рас­сматривать как интервал значений, а отдельные ее значения — как точки внутри этого интервала. Например, 10%-ная доходность облигации корпорации при незначительном спаде представляет со­бой наиболее вероятное значение доходности при данном состоянии экономики, а точечное значение используется для удобства расчетов.

Во-вторых, корпоративные ценные бумаги (голубые фишки), которые продаются по номиналу с купон­ной ставкой 9% (т. е. на 100000 дол. вложенного капитала можно получать 9000 дол. годовых) и сроком погашения 10 лет. Однако Вы собираетесь продать эти ценные бумаги в конце первого года. Следовательно, фактическая до­ходность будет зависеть от уровня процентных ставок на конец года. Этот уровень в свою очередь зависит от состояния экономики на конец года: быстрые темпы экономического развития, вероятно, вызовут повышение процентных ставок, что снизит рыночную стоимость голубых фишек; в случае эко­номического спада возможна противоположная ситуация.

В-третьих, проект капиталовложений 1, чистая стоимость которого составляет 100000 дол. Денежный поток в течение года равен нулю, все выплаты осуще­ствляются в конце года. Сумма этих выплат зависит от состояния экономики.

И, наконец, альтернативный проект капиталовложений 2, совпадающий по всем па­раметрам с проектом 1 и отличающийся от него лишь распределением вероят­ностей ожидаемых в конце года выплат.

Под распределением вероятностей, будем понимать множество вероятностей возможных исходов (в случае непрерывной случайной величины это была бы плотность распределения вероятностей). Именно в этом смысле следует истолковывать представленные в табл. 3.1 четыре распределения вероятностей, соответствующие четырем альтернативным вариантам инвестирования. Доходность по ГКО-ОФЗ точно известна. Она составляет 8% и не зависит от состояния эконо­мики.

 

Вопрос 1. Можно ли риск по ГКО-ОФЗ безоговорочно считать равным нулю?

Ответ: а) да; б) думаю, что не все так однозначно, но затрудняюсь дать более полный ответ; в) нет.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 1.

 

Справка 1. Инвестиции в ГКО-ОФЗ являются безрисковыми только в том смысле, что их номинальная доходность не изменяется в течение данного периода времени. В то же время их реальная доходность содержит определенную долю риска, т.к. она зависит от фактических темпов роста инфляции в течение пери­ода владения данной ценной бумагой. Более того, ГКО могут представлять проблему для инвестора, который обладает портфелем ценных бумаг с целью получения непрерыв­ного дохода: когда истекает срок платежа по ГКО-ОФЗ, необходимо осуще­ствить реинвестирование денежных средств, и если процентные ставки снижаются, до­ход портфеля также уменьшится. Этот вид риска, который носит название риска нормы реинвестирования, не учитывается в нашем примере, так как период, в течение кото­рого инвестор владеет ГКО-ОФЗ, соответствует сроку их погашения. Наконец, отметим, что релевантная доходность любых инвестиций — это доходность после уплаты налогов, поэтому значения доходности, используемые для принятия решения, должны отражать доход за вычетом налогов.

По трем другим вариантам инвестирования реальные, или фактические, значения доходности не будут известны до окончания соответствующих периодов владения активами. Поскольку значения доходности не известны с полной определенно­стью, эти три вида инвестиций являются рисковыми.

Распределения вероятностей бывают дискретными или непрерывными . Дискретное распределение вероятностей имеет конечное число исходов; так, в табл. 3.1 приведены дискретные распределения вероятностей доходностей различных вариантов инвестирования. Доходность ГКО-ОФЗ принимает только одно возможное значение, тогда как каждая из трех оставшихся альтернатив имеет пять возможных исходов. Ка­ждому исходу поставлена в соответствие вероятность его появления. Например, вероятность того, что ГКО-ОФЗ будут иметь доходность 8%, равна 1.00, а вероятность того, что доходность корпоративных ценных бумаг составит 9%, равна 0.50.

Если умножить каждый исход на вероятность его появления, а затем сло­жить полученные результаты, мы получим средневзвешенную исходов. Весами служат соответствующие вероятности, а средневзвешенная представляет собой ожидаемое значение. Так как исходами являются внутренние нормы доходности (Internal Rate of Return, аббревиатура IRR), ожидаемое зна­чение — это ожидаемая норма доходности (Expected Rate of Return, аббревиатура ERR), которую можно представить в следующем виде:

ERR = IRR_i, (3.1)

где IRR_i, — i-й возможный исход; p_i — вероятность появления i-го исхода; п — число возможных исходов.

Используя формулу (3.1), найдем, что ожидаемая норма доходности, например, проекта 2 равна 12.0%:

ERR = -2.0% ´ 0.05 + 9.0% ´ 0.20 + 12.0% ´ 0.50 + 15% ´ 0.20 + 6.0% ´ 0.05 = = 12.0%.

 

Упражнение 1. По формуле (1) рассчитать ожидаемые доходности трех других альтернативных вариантов инвестирования. Результаты сравните с последней строкой таблицы 3.1.

 

Напомним, что дискретные распределения вероятностей могут быть представлены не только в табличной, но и в графи­ческой форме. На рис. 3.1 приведены столбиковые диаграммы (или гистограммы) проектов 1 и 2.

 

Рис. 3.1. Графическое представление дискретного распределения вероятностей.

а — проект 1; б — проект 2.

Возможные значения доходности проекта 1 принадлежат промежутку от -3.0 до +19.0%, а проекта 2 – от -2.0 до +26.0%. Отметим, что высота каждого столбца представляет собой вероятность появле­ния соответствующего исхода, а сумма этих вероятностей по каждому вари­анту равна 1.00. Отметим также, что распределение значений доходности про­екта 2 симметрично, тогда как соответствующее распределение для проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию.

 

 

Упражнение 2. Постройте аналогичные диаграммы для ГКО-ОФЗ и корпоративных ценных бумаг. Сравните свои результаты с ответом.

Ответ: доходность ГКО будет представлена единственным столбцом, а доходность корпоратив­ных ценных бумаг – диаграммой, имеющей правостороннюю асиммет­рию.

 

Таким образом, использование ожидаемого значения в качестве критерия риска обусловлено стремлением мак­симизировать ожидаемую прибыль или минимизировать ожидаемые затраты. В частности, этот критерий можно количественно выразить в денеж­ных единицах или в единицах полезности денег. Для пояснения раз­ницы между непосредственно деньгами и их полезностью предпо­ложим, что инвестиции в 2000 руб. дают с равными вероятностями либо нулевой доход, либо доход в 10 000 руб. В денежных единицах ожидаемый чистый доход составит

(10 000´0,5 + 0´0,5) – 2000 = 3000 (руб.)

Подобное вложение денег, на первый взгляд, представляется опти­мальным. Однако такое решение не для всех ЛПР приемлемо. Например, для лица А, имеющего ограниченные ресурсы, потеря 2000 руб. может привести к банкротству. Напротив, лицо В, капи­тал которого значительно превосходит данную сумму, может пой­ти на такой риск. Следовательно, нецелесообразно ис­пользовать ожидаемое значение стоимостного выражения в каче­стве единственного критерия для принятия решений. Этот критерий служит только ориентиром, а окончательное решение может быть принято ЛПР лишь на основе всех существенных факторов, его отношения к полезности денег.

Необходимо также отметить, что использование критерия ожидаемого значения целесообразно лишь в случае, когда одно и то же решение приходится принимать достаточно большое число раз. Иными словами, ориентация на ожидаемую доходность может приводить к неверным результатам для тех решений, которые приходится принимать эпизодически.