Сучасна формальна логіка. Логіка класів. Логіка висловлювань. Логіка предикатів. Девіантні логіки. Модальні логіки. Релевантна логіка. Параконсистентна логіка. Імовірнісна логіка. Проблеми металогіки

Передісторія сучасної формальної логіки пов’язана з діяльністю британського філософа Т.Гоббса (1588 – 1679), французького вченого й філософа Р.Декарта (1596 – 1650) й, особливо, німецького філософа й вченого Г.Ляйбніца (1646 – 1716), якого вважають засновником сучасної символічної логіки. Внесок Гоббса і Декарта у розвиток логіки проаналізовано раніше, тому наведемо лише декілька узагальнюючих думок. Гоббс одним із перших запропонував розглядати процес міркування як своєрідне числення. Звідси ідея Ляйбніца про перетворення міркування у математичне числення. Декарт увів та обґрунтував такі важливі для сучасної формальної логіки терміни як «змінна величина» та «функція». Він створив ідею універсальної математики, яку потім розвинув Ляйбніц у вигляді універсальної характеристики як формалізованої мови наукової теорії.

Ідея універсальної характеристики Ляйбніца полягає у наданні поняттям (термінам) числових значень (характерів). При цьому складеним термінам приписується добуток числових значень термінів, що є його складовими. Так, якщо термін «тварина» виражається через число 2, термін «розумна» – через число 3, то термін «людина» буде виражений через число 6 = 2 ∙ 3. Перевірка істинності тверджень зводиться до умови ділення відповідних чисел.

Ляйбніц, увага якого була сконцентрована навколо двох головних ідей – універсальної символіки та логічного числення, у працях «Про комбінаторне мистецтво», «Елементи універсальної характеристики», «Дослідження універсального числення», по-перше, розробив та обґрунтував науково-дослідницьку програму створення математичної логіки й, по-друге, побудував два її фрагменти – числення висловлювань та числення класів. Однак арифметизоване числення Ляйбніца не витримало перевірки, що, звичайно, помітив й сам Ляйбніц, який перейшов згодом до побудови числення за зразком алгебри. Але також невдало.

Ляйбніц увів у термінологічний арсенал сучасної символічної логіки терміни «числення», «модель», «постійна» й на підставі цього спробував створити спеціальну штучну мову логіки, спочатку у вигляді своєрідної арифметики, потім – алгебри, а також, як і Декарт, розробити метод, за допомогою якого усі істини можна було б звести до певного математико-логічного числення.

Метод Ляйбніца базується на кількох принципах. Філософ сформулював їх таким чином:

1) принцип несуперечності: будь-яке суперечливе твердження хибне;

2) принцип достатньої підстави (його вперше сформулював саме Ляйбніц): існує дійсна або достатня підстава для кожної істини, навіть якщо вона й невідома;

3) принцип приписування: усе, що відбувається із річчю (усе, що приписується їй), є частиною самої речі, як логічно, так і фактично;

4) принцип тотожності нерозрізнюваних речей: не існує двох цілком однакових речей, насправді це одна річ;

5) принцип кращого світу: Бог створив цей світ найкращим зі всіх можливих світів; він містить найбільшу кількість логічних ймовірностей та простіший за інші для розуміння.

Останній принцип, в якому виражений безмежний оптимізм Ляйбніца, був висміяний Вольтером (1694 – 1778) у творі «Кандід». Однак у ХХ ст. ідею «можливих світів» Ляйбніца запровадили у логічну семантику, вона стала базовою для модальних логік. На базі цієї ідеї були створені реляційні, навхресні та окільні семантики, які використовуються для розв’язання проблем інтерпретації синтаксично побудованих систем модальної логіки.

Сам Ляйбніц теорію можливих світів застосовував для аналізу висловлювань, які містять модальності «необхідно» та «можливо». Висловлювання, за Ляйбніцем, вважається необхідним, якщо воно є істинним у всіх можливих світах; якщо ж воно є істинним хоча б в одному можливому світі, тоді таке висловлювання вважається можливим. Ляйбніц розробив систему логічних модальностей. Серед них він вирізняв «можливе» (несуперечливе), «необхідне» (те, заперечення чого є суперечністю), «випадкове» (те, заперечення чого не є суперечністю) й «неможливе» (суперечливе).

Відомий фундатор кібернетики Н.Вінер (1894 – 1964) зазначав, що якби йому спало на думку обрати святого – покровителя кібернетики, то обрав би Ляйбніца. На погляд Вінера, в ідеї міркування як математичного числення Ляйбніца міститься у згорнутому вигляді машина, що вміє думати.

Праці Ляйбніца з математичної логіки не публікувалися при його житті, й залишились невідомими широкому колу вчених. Через це вони не мали безпосереднього впливу на ту інтенсивну розробку цієї дисципліни, яка розпочалася з другої половини ХІХ ст. Математична логіка була відкрита вдруге британським логіком та математиком Дж. Булем (1815 – 1864) у працях «Математичний аналіз логіки» та «Дослідження законів думки». Ці праці започаткували період алгебри логіки.

Предметом дослідження Буля були класи (як обсяги понять), співвідношення між ними та пов’язані з цим операції. Він увів у логіку класів як головні операції додавання («+»), множення («×» або пропуск знака) та віднімання («–»). У численні класів Буля додавання відповідало об’єднанню класів, виключаючи їх спільну частину, а множення – перетину. Віднімання Буль розглядав як дію, протилежну додаванню, – відокремлення частини від цілого, як те, що в природній мові виражається словом «окрім».

У численні висловлювань, за Булем, додавання відповідає сильній диз’юнкції, а множення – кон’юнкції. Буль увів у свою логічну систему логічні рівносильності, які він записував за допомогою знака «=», що відповідав логічній зв’язці «є». Висловлювання «Світила є сонця і планети» у вигляді логічної рівносильності ним записувалися так: x = y + z, звідси випливає, що x – z = y. За Булем, в логіці, як і в алгебрі, можна переносити члени із однієї частини рівносильності в іншу з оберненим знаком. Буль відкрив закон комутативності для віднімання (x – y = – y + x) та закон дистрибутивності множення стосовно віднімання (z(x – y) = z x – z y).

Аби висловлювання записати у символічній формі, Буль складав логічну рівносильність. Якщо який-небудь із термінів висловлювання не розподілений, він вводив термін V для позначення класу, не визначеного у деякому відношенні. За Булем, існують три типи символічного виразу висловлювання: X = V Y (тільки предикат не розподілений); X = Y (обидва терміни – суб’єкт та предикат – розподілені); V X = V Y (обидва терміни не розподілені).

Логічні результати Буля були піддані переробці й узагальненню у працях його учня Вільяма Джевонса (1835 – 1882) та німецького математика і логіка Ернста Шредера (1841 – 1902).

Англійський логік та математик В.Джевонс у праці «Чиста логіка» виклав свою систему логіки, яка ґрунтувалась на принципі заміщення (або підстановки). Цей принцип формулювався ним таким чином: якщо тільки існує однаковість, тотожність чи схожість, то все, що вірно про одну річ, буде вірно й про іншу. Цікаві й оригінальні погляди Джевонса на категоричний силогізм із двома заперечними засновками. Англійський вчений стверджував, що його принцип силогізму дає змогу чітко відрізнити випадки, коли силогізм виявляється правильним, від тих випадків, коли він неправильний. Він вважав, що там, де можливо підставляти тотожне замість тотожного, можна робити висновок із двох заперечних засновків. Англійський логік наводив приклад такого силогізму:

Усі неметалеві речі не підпадають під сильний магнітний вплив.

Вугілля не металеве.

Отже, вугілля не підпадає під сильний магнітний вплив.

Тут із двох заперечних засновків отримується істинний заперечний висновок.

Завдяки дослідженням Джевонса алгебра Буля набула сучасного вигляду.

Напрацювання Буля і його найближчих послідовників зібрав та узагальнив у «Лекціях з алгебри логіки» Е.Шредер. Він запровадив термін «логічне числення», поняття «нормальна форма», сформулював аксіому інгерентності знаків (тобто незмінюваності в рамках даної системи), засобами булевої алгебри досліджував модуси простого силогізму.

Алгебраїчну традицію в математичній логіці продовжив американський філософ, логік, математик і природодослідник Чарльз Сандерс Пірс (1839 – 1914). Математична логіка, на його думку, є наукою про «формальні умови істинності символів, що позначають певні об’єкти». Відштовхуючись від булевого логічного числення, він у праці «Про алгебру логіки» відрізняв строгу диз’юнкцію свого попередника від слабкої диз’юнкції, використовував табличну розв’язуючу процедуру в ролі загального методу вирішення проблеми розв’язання в класичній пропозиційній логіці, вказував на можливість її побудови за допомогою лише однієї операції – заперечення слабкої диз’юнкції. Поряд із матеріально-імплікативним Пірс допускав змістовне трактування відношення логічного слідування. У зв’язку із введенням кванторів американський вчений ґрунтовно дослідив роль змінних у науковій мові. Пірс висунув принцип, за яким зміст поняття цілком вичерпується уявленням про його можливі наслідки.

Для логіки науки важливе значення має відкриття Пірсом абдукції (пояснюючої гіпотези) як третього поряд із дедукцією та індукцією способу логічного виводу. Якщо дедукція виводить висновок від правила та випадку до результату, індукція – від випадку та результату до правила, то абдукція – від результату та правила до випадку. Приклад абдукції Пірса:

Результат: Ця квасоля біла.

Правило: Уся квасоля із цього мішка біла.

Випадок: Ця квасоля із цього мішка.

В останній чверті ХІХ століття, незалежно від алгебраїчної традиції, започаткованої Булем, ідеї математичної логіки розвивав німецький логік, математик та філософ Готлоб Фреге (1848 – 1925). З його ім’ям пов’язаний період розробки логіки як теорії обґрунтування математики. На противагу Булю, який вважав, що логіка є частиною математики, Фреге ставив перед собою за мету вивести усю змістовну математику із формальної логіки. По суті, це була спроба відродити «універсальну характеристику» Ляйбніца. Якщо Ляйбніц тільки накреслив програму зведення математики до логіки, то Фреге здійснив певну математизацію логіки. У праці «Числення понять» Фреге побудував аксіоматичне числення предикатів, в якому вже містились всі основні елементи сучасних логічних числень. Він наполягав, аби суб’єкт-предикатна структуризація речення розглядалась не як логічний, а як лінгвістичний феномен. Для математичної логіки, на думку вченого, більш відповідними інструментами аналізу формалізованих висловлювань є не суб’єкт та предикат, а функція та аргумент, які не зачіпають смислового змісту тих чи інших виразів. Він запропонував розуміння предиката як пропозиційної функції виду F(x). В серії логіко-філософських статей «Смисл і денотат», «Поняття і річ», «Думка: логічне дослідження» Фреге поставив низку важливих проблем смислу та значення, заклав основи сучасної логічної семантики.

Праці Фреге мали великий вплив на розвиток логіцизму – особливого напряму в дослідженні основ математики, що намагався обґрунтувати можливість зведення математики до логіки. У своїй головній праці «Основні закони арифметики» Фреге запропонував варіант логічної формалізації арифметики. Незважаючи на скрупульозність наукової роботи, в процесі якої Фреге спробував звести математику до логіки та побудувати систему формальної арифметики, йому не вдалось уникнути парадоксів, розв’язати які він так і не зміг. Фреге не зміг обґрунтувати тезу, за якою арифметика є частиною логіки. Причину своєї невдачі німецький математик бачив у сформульованій ним гіпотезі, що у кожного поняття є обсяг в розумінні постійної, строго фіксованої множини, що не містить в собі жодної невизначеності або розпливчастості. Адже саме через цей обсяг Фреге і визначив основне поняття математики – поняття числа.

Згодом чергову спробу зведення математики до логіки здійснив британський філософ, логік, математик та громадський діяч Бертран Рассел (1872 – 1970). Спільно із британським логіком та математиком Альфредом Уайтхедом (1861 – 1942) Рассел розробив оригінальну систему математичної логіки у трьохтомній праці «Принципи математики». У цій праці обґрунтована математична логіка способом аксіоматизації та формалізації числення висловлювань та предикатів, а також теорія типів як спосіб подолання логічних парадоксів. За теорією типів Рассела, множина (клас) та її елементи зараховуються до різних логічних типів, тип множини вище типів її елементів, що усуває «парадокс Рассела» – поняття «множини усіх множин, що не включає в якості елемента саму себе». Цей парадокс виявлений Расселом у логічній теорії множин Фреге, яку останній заклав в основу математики. Багато математиків, однак, не прийняли Расселового розв’язання, вважаючи, що воно накладає занадто строгі обмеження на математичні твердження.

На початку ХХ століття виявилось, що теорія множин, на основі якої передбачалось логічно обґрунтувати всю математику, насправді суперечлива. У зв’язку із кризою в математиці почалася критика класичної логіки. Ця критика спричинила появу девіантних логік, які в чомусь мали розбіжності з класичною логікою, та започаткувала становлення некласичної логіки. У процесі формування некласичної логіки можна виокремити три головних напрями:

– критика принципу двозначності;

– нове тлумачення смислу логічних сполучників;

– перегляд розділів традиційної логіки засобами некласичної логіки та розширення виражальних можливостей логіки.

Критика принципу двозначності класичної логіки привела до появу інтуїціоністської логіки, конструктивної логіки й систем полівалентної або багатозначної логіки.

Інтуїціоністську логіку започаткував голландський математик та логік Лейтзен Брауер (1881 – 1966) у своєму дисертаційному дослідженні «Про обґрунтування математики». Вона базується на інтуїціонізмі – філософському напрямі в математиці та логіці, який відмовляється від використання абстракції актуальної безкінечності, відкидає логіку як науку, що передує математиці, та розглядає інтуїтивну ясність й переконливість («інтуїцію») як кінцеву підставу математики й логіки, а також як критерій правильності міркувань.

Брауер протиставив свої погляди концепції зведення математики до логіки, інтуїціонізм – логіцизму. Він вважав, що математику не можна обґрунтовувати за допомогою логічних засобів. Не можна зводити математику й до мови. Об’єктом математики є нелінгвістичні конструкції, а та чи інша математична мова слугує лише для передачі математичних ідей. Брауер показав, що деякі закони класичної логіки не є абсолютно істинними. Так, закон виключеного третього й пов’язаний з ним принцип двозначності не можна застосовувати у міркуваннях про нескінченні множини. Тому в інтуїціоністській логіці не діють закон виключеного третього, закон подвійного заперечення та деякі інші закони класичної логіки.

Серед математиків програма Брауера викликала дискусію. Більшість математиків виступила проти неї. Найбільш авторитетним опонентом інтуїціонізму став німецький математик Давид Гільберт (1862 – 1943). Однак у Брауера виявилось й багато прибічників. Найбільш відомі з них – німецький математик та філософ Герман Вейль (1885 – 1955) та голландський математик і логік Аренд Гейтінг (1898 – 1980).

Деякі ідеї інтуїціоністської логіки, зокрема ті, що стосувалися обмеженого застосування законів виключеного третього, усунення подвійного заперечення, способу міркування «від протилежного» та інших, були розвинуті в Радянському Союзі у працях Андрія Маркова (1903 – 1979), Андрія Колмогорова (1903 – 1987), Миколи Шаніна (нар. 1919). В результаті критичного осмислення основних принципів інтуїціоністської логіки виникла конструктивна логіка, в якій перенесення ряду логічних принципів, справедливих для міркувань про скінченні множини на область нескінченних множин також вважалося неправильним. Багато конструктивістів відмовились від уявлення про кінцеву чи вихідну інтуїцію та використали при заданні смислу логічних операцій поняття алгоритму – скінченного набору правил, які дозволяють суто механічно розв’язувати будь-яку коректну задачу із деякого класу однотипних задач. Теорія алгоритмів, таким чином, стала важливим розділом сучасної формальної логіки.

Виникнення інтуїціоністського й конструктивного напрямів в математиці та логіці знаменувало собою поворотну подію в науці. Інколи їй приписують не менше значення, ніж створенню неевклідових геометрій для розвитку геометрії.

Першу систему багатозначної логіки створив польський логік Ян Лукасевич (1878 – 1956). Він виклав концепцію цієї системи у статті «Про трьохзначну логіку». При побудові трьохзначної системи Лукасевич виходив з того, що деякі висловлювання не можуть бути оцінені як істинні чи хибні в момент їх виголошення. Це, наприклад, висловлювання типу: «Ян завтра опівдні буде вдома», «25 квітня майбутнього року в 16:00 Анджей буде у Варшаві» тощо. У системі Лукасевича деяке висловлювання про майбутні події може мати одне з трьох значень: 1, ½, 0. Якщо в даний момент часу існує причина майбутньої події, то висловлюванню про те, що дана подія відбудеться, приписується значення 1. Якщо в даний момент часу існують причини, які виключають прихід майбутньої події, то відповідному висловлюванню приписується значення 0. Якщо ж в даний момент відсутня причина майбутньої події, як і відсутня причина, що виключає її прихід, то відповідному висловлювання приписується значення ½. У цій трьохзначній системі 1 означає «істина», 0 – «хиба», ½ – «нейтрально».

Незалежно від Лукасевича, систему багатозначної логіки у 1921 р. запропонував американський логік Еміль Пост (1897 – 1954). На відміну від польського логіка, Пост побудував свою систему на суто формальних міркуваннях. При такому підході всілякі філософські проблеми просто вилучаються з розгляду. У статті «Вступ до загальної теорії пропозицій» Пост припустив, що висловлювання може мати не декілька фіксованих значень, а нескінченну множину значень «n» (1, 2, 3, …, n) та вивів усі можливі наслідки із такого припущення для логіки висловлювань. На його погляд, ці значення можуть бути різної природи, а не тільки «істина» та «хиба». Наприклад, логічні значення «добро» та «зло», «включено» та «виключено», «прекрасне» та «потворне» тощо. Головне тут показати відношення, у які вступають аргументи (висловлювання).

Нове тлумачення смислу логічних сполучників (а саме матеріальної імплікації) привело до виникнення систем «строгої імплікації» американського філософа та логіка Кларенса Льюїса (1883 – 1964) та «сильної імплікації» німецького математика та логіка Вільгельма Аккермана (1896 – 1962).

К.Льюїс першим звернув увагу на те, що при інтерпретації класичної пропозиційної логіки зі знаком матеріальної імплікації (А → В) в ролі теорії логічного випливання (що було зроблено Расселом та Уайтхедом в «Принципах математики») виникають дивні наслідки, які не відповідають інтуїції. Зокрема, найбільші розбіжності виникають між імплікацією класичної пропозиційної логіки та умовними реченнями природної мови. Як відомо, в матеріальній імплікації антецедент й консеквент зв’язані між собою не за змістом думок, а за значенням істинності висловлювань. Саме тому в класичній пропозиційній логіці, наслідки чи консеквенти яких є істинним висловлюваннями, вважаються істинними. А це, очевидно, не узгоджується із практикою вживання умовних речень в природній мові. Такого роду наслідки отримали назву парадоксів матеріальної імплікації. Наприклад, для класичної пропозиційної логіки імплікація «Якщо Місяць зроблений із зеленого сиру, тоді 2 × 2 = 4» буде істинною, а для природної мови – безглуздим виразом, бо не передбачає ніякого осмисленого зв’язку між частинами умовного речення.

Аби розв’язати парадокси матеріальної імплікації й узгодити її з умовними виразами природної мови, Льюїс увів поняття строгої імплікації, яке визначається за допомогою модального оператора «необхідно»: A = > B = Df □ (A → B). Вона є такою логічною операцією, засобами якої встановлюється необхідний зв’язок між антецедентом та консеквентом за змістом, а не суто формально, як це є в матеріальній імплікації.

Система сильної імплікації була запропонована у 1956 р. В.Аккерманом. Поняття сильної імплікації записується формулою А → В. Вона читається: «В є частиною змісту А».

Перегляд розділів традиційної логіки засобами сучасної некласичної логіки спричинив появу модальної та релевантної логіки. Біля витоків модальної логіки стояли дослідження Я.Лукасевича та К.Льюїса.

На початку 50-х років ХХ століття з’явилася серія статей фінського логіка Густава Хенріка Врігта (1916 – 2003) «Деонтична логіка», «Норми, істина, логіка», які знаменували появу деонтичної логіки. У 1962 р. опубліковано статтю фінського логіка та філософа Яааокко Хінтикки (нар. 1929) «Знання і думка», яка поклала початок епістемічній логіці.

З іменем Аккермана пов’язується напрям, який отримав назву релевантної логіки. Проблеми релевантної імплікації та релевантного випливання досліджували російські логіки Євген Войшвилло (1913 – 2002), Євген Сидоренко (нар. 1940) та інші.

Із багатьма некласичними логіками – багатозначними логіками, релевантною логікою, модальною логікою, – пов’язана паранесуперечлива чи параконсистентна логіка. Попередниками паранесуперечливої логіки були праці російського логіка Миколи Васильєва (1880 – 1940) та польського логіка Яна Лукасевича. Паранесуперечлива логіка розроблялась в працях польського логіка С.Яськовського (1906 – 1965) та бразильського математика Ньютона да Кости (нар. 1929). Вона побудована на двох головних принципах:

1) із двох суперечливих формул А та ~А в загальному випадку неможливо вивести довільну формулу В;

2) дедуктивні засоби класичної логіки повинні бути максимально збережені, оскільки вони – основа усіх звичайних міркувань.

Перегляд розділів традиційної логіки засобами некласичної логіки пов’язаний не тільки з розробкою модальної та релевантної логіки, але й зі створенням логічних систем, які формалізують силогістику Аристотеля, та побудовою імовірнісної логіки. Найбільш відомою із формалізованих силогістик вважається система Я.Лукасевича, викладена ним у монографії «Аристотелева силогістика з погляду сучасної формальної логіки». Польський логік запропонував записувати чотири форми атрибутивних висловлювань типу «Усі S є P», «Деякі S є P», «Жодне S не є P», «Деякі S не є P» у вигляді відповідних елементарних силогістичних формул: «SаP», «SіP», «SеP», «SоP». За Лукасевичем, силогістична формула може бути отримана із формули логіки висловлювань шляхом підстановки замість пропозиційних змінних елементарних формул силогістики. Образно кажучи, «макроструктура» силогістичної формули, на його погляд, збігається зі структурою формули логіки висловлювань. Це дає змогу подати Аристотелеву силогістику у вигляді натурального числення. Відомий модус простого силогізму Barbara у системі Лукасевича записується такою формулою:

M a P S a M

S a P

Змістовною інтерпретацією наведеної формули може бути, наприклад, такий простий силогізм:

Усі люди смертні (MаP).

Усі розумні істоти люди (SаM).

Отже, усі розумні істоти смертні (SаP).

Внаслідок перегляду індуктивної логіки як розділу традиційної логіки засобами сучасної некласичної логіки та синтезу індуктивної логіки із теорією ймовірностей виникла імовірнісна логіка. Її, як правило, зараховують до різновиду модальних логік. Вона досліджує висловлювання з модальним оператором «ймовірно», встановлює правила побудови імовірнісних міркувань, визначає умови, при яких забезпечується правдоподібність висновків, з’ясовує формально-логічну функцію ймовірності у пізнавальному процесі. Унікальна специфіка імовірнісної логіки полягає в тому, що широкий набір методів теорії ймовірностей дозволяє застосовувати цю логіку у багатьох емпіричних дослідженнях. Саме тому імовірнісна логіка називається також логікою науки. Найбільш поширеними підходами всередині імовірнісної логіки вважаються ті, які, по-перше, базуються на частотній інтерпретації ймовірності, коли ймовірність розглядається як властивість послідовності подій; по-друге, коли вони ґрунтуються на інтерпретації ймовірності як логічного відношення між висловлюваннями. Перший підхід розробляв німецько-американський філософ та логік Ганс Рейхенбах (1891 – 1953), другий – німецько-американський логік та філософ Рудольф Карнап (1891 – 1970).

У імовірнісній логіці значення висловлювання отримує розширене тлумачення. Так, якщо значення «істина» позначити за допомогою цифри «1», а значення «хиба» – за допомогою цифри «0», то можливими значеннями висловлювання А в імовірнісній логіці будуть усі дійсні числа інтервалу [ 0, 1 ], причому значення «1» буде виражати достовірність висловлювання, а значення «0» – його суперечливість.

У 30-ті роки ХХ століття розвиток сучасної формальної логіки був пов’язаний із розв’язанням багатьох проблем металогіки. Ці результати пов’язані з іменами Курта Геделя (1906 – 1978), Альфреда Тарського (1901 – 1983) та Алонзо Чорча (1903 – 1995) й справедливо вважаються епохальними.

У 1931 р. австрійський математик та логік К.Гедель у статті «Про формально нерозв’язувані речення Principia Mathematika й родинних систем» опублікував доведення теореми про неповноту. У цій теоремі австрійський вчений стверджував, що якщо арифметика несуперечлива, то її несуперечність неможливо довести формальними засобами. Звідси його висновок: формалізовану систему необхідно доповнювати змістовною науковою теорією.

Поряд з досягненнями Геделя знаходяться здобутки польського логіка А.Тарського. У працях «Поняття істини в мовах дедуктивних наук» та «Проблема істини у формалізованих мовах» він розглядав логіко-семантичну концепцію істини. Результатом цих досліджень стало наступне визначення істини: мовний вираз є істинним, коли він позначає (іменує) певну адекватну йому позамовну реальність; якщо цього іменування не відбувається, то такий вираз означає хибу. Тарський запропонував наступну схему:

Х є істинним, якщо і тільки якщо Р.

Для того, щоб отримати визначення істинності якогось конкретного висловлювання, на місце Х ставиться висловлювання, взяте в лапки, а на місце Р – саме це висловлювання.

Нарешті, варто відзначити важливий результат американського логіка А.Чорча, який у 1936 р. в праці «Вступ до математичної логіки» обґрунтував нерозв’язуваність проблеми розв’язання для чистого числення предикатів першого порядку. Тим самим негативно вирішувалася проблема про існування алгоритму, за видом формули, яка встановлює, чи є вона доказаною чи ні.

Сьогодні розвиток сучасної формальної логіки йде двома головними напрямами:

– шляхом розробки нових систем некласичної логіки, дослідження властивостей цих систем та відношень між ними, створення їхньої загальної теорії;

– шляхом розширення сфери практичного застосування сучасної формальної логіки.