Наибольшее и наименьшее значения функции

Существует два типа задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции:

1) Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на отрезке . Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:

1. найти критические точки

2. выбрать те критические точки, которые лежат внутри , и найти значение функции в этих точках

3. найти значения функции на концах отрезка, т.е. и

4. из полученных значений функции выбрать наибольшее и наименьшее

Пример: Найти наибольшее и наименьшее значения функции

Решение:

1.

2.

3.

4.

2) Наибольшее и наименьшее значения функции, заданной на интервале или полуинтервале.

а). На практике, особенно в геометрии, наиболее часто встречаются задачи, когда внутри рассматриваемого промежутка функция имеет только одну точку экстремума. Тогда помогает теорема:

Т. Пусть функция дифференцируема в интервале и имеет в этом интервале только одну точку экстремума - . Если - точка максимума, то - наибольшее значение функции на ; если - точка минимума, то - наименьшее значение функции на .

б). Если точек экстремума несколько, то:

1). построить график функции на и по нему сделать выбор.

2). если график построить сложно, то необходимо исследовать функцию на экстремум и исследовать поведение функции на концах промежутка, т.е. найти .

Пример: Найти наименьшее значение функции

Решение:

 

 

Лекция № 33.

Тема: «Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты».

Опр. Кривая выпукла на интервале , если она расположена ниже любой своей касательной.

Опр. Кривая вогнута на интервале , если она расположена выше любой своей касательной.

Достаточные признаки выпуклости и вогнутости графика функции:

Обозначим отклонение функции от касательной за .

на - кривая вогнута

на - кривая выпукла

Найдем отклонение :

Точка находится между и . Итак, отклонение , где , .

Т. Если на интервале , то кривая вогнута на ; если на , то кривая выпукла на .

(Без док-ва)

Пример: Исследовать функцию на выпуклость и вогнутость: .

Решение:

 

Различные виды точек перегиба

 

 

Асимптоты

Вертикальная асимптота	Горизонтальная асимптота	Наклонная асимптота

 

Опр. Асимптотой кривой называется прямая, к которой кривая неограниченно приближается по мере удаления в бесконечность.

Как найти асимптоты?

1) Если существует , то график имеет вертикальную асимптоту, уравнение которой .

2) Если , то кривая имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой

3) Пусть кривая имеет наклонную асимптоту , найдем и . Кривая приближается к асимптоте, а следовательно , удобнее рассматривать отрезок , т.к. .

, тогда

Т.к. , тогда

Пример: Найти асимптоты графика функции

Решение:

1) Горизонтальная асимптота:

, горизонтальной асимптоты нет

2) Вертикальная асимптота:

- вертикальная асимптота

3) Наклонная асимптота:

- наклонная асимптота

 

 

Лекция № 34.

Тема: «Полное исследование функции и построение ее графика»

0) Если возможно, построить схематично график функции.

1) Найти область определения функции.

2) Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

3) Исследовать на непрерывность: найти точки разрыва и выяснить их характер.

4) Найти асимптоты графика функции.

5) Найти точки экстремума функции, вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы монотонности.

6) Найти точки перегиба графика функции. Вычислить значение функции в этих точках. Установить интервалы выпуклости и вогнутости.

7) Найти контрольные точки, точки пересечения графика с осями координат.

8) Используя полученный результат, построить график функции.

Примеры:

I.

1)

2) а). - график симметричен относительно 0.

б).

Функция ни четная, ни нечетная.

3) Функция непрерывна на всей области определения, как сумма непрерывных функций.

4) Вертикальная асимптота: - вертикальных асимптот нет

Горизонтальная асимптота: - горизонтальных нет

Наклонная асимптота: - наклонных нет

 

5) - критические точки.

возрастает, когда

убывает, когда

6)

7)

x			-2	-1
y			-18	-2

 

 

II.

1)

2) Функция ни четная, ни нечетная, т.к. не является симметричным множеством относительно 0.

3) Функция непрерывна на всей , как произведение непрерывных функций.

4) Вертикальная асимптота:

Вертикальных асимптот нет.

Горизонтальная асимптота: - горизонтальных асимптот нет.

Наклонная асимптота: - наклонных асимптот нет

5)

возрастает при

убывает при

6)